Теорема Урсеску

Обобщение замкнутого графика, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

В математике, в частности в функциональном анализе и выпуклом анализе , теорема Урсеску — это теорема, обобщающая теорему о замкнутом графике , теорему об открытом отображении и принцип равномерной ограниченности .

Теорема Урсеску

Используются следующие обозначения и понятия, где — функция множества , а — непустое подмножество топологического векторного пространства : ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• аффинная оболочка обозначается как , а линейная оболочка обозначается как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S.}$
• ${\displaystyle S^{i}:=\operatorname {aint} _{X}S}$обозначает алгебраическую внутренность в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle {}^{i}S:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (S-S)}S}$обозначает относительную алгебраическую внутренность ( т.е. алгебраическую внутренность в ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)}$
• ${\displaystyle {}^{ib}S:={}^{i}S}$если он бочен для некоторых/каждых , в противном случае . ${\displaystyle \operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle {}^{ib}S:=\varnothing }$
  • Если является выпуклым, то можно показать, что для любого тогда и только тогда, когда конус, порожденный является бочкообразным линейным подпространством или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда является бочкообразным линейным подпространством ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in {}^{ib}S}$ ${\displaystyle S-x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)}$ ${\displaystyle X}$
• Домен - ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ это ${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.}$
• Изображение для ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ любого подмножества ${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}$
• График - ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ это ${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$замкнут (соответственно, выпуклый ), если график замкнут (соответственно, выпуклый) в ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
  • Обратите внимание, что является выпуклым тогда и только тогда, когда для всех и всех ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$ ${\displaystyle r\in [0,1],}$ ${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}$
• Обратная функция ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — это функция со значениями множества, определяемая как Для любого подмножества ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}$
  • Если — функция, то ее обратная функция — это функция множества, полученная путем канонического отождествления с функцией множества, определяемой формулой ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}:Y\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle x\mapsto \{f(x)\}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} _{T}S}$является топологической внутренностью относительно того, где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle S\subseteq T.}$
• ${\displaystyle \operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S}$является внутренней частью относительно ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S.}$

Заявление

Теорема ^[1]  ( Урсеску )  —  Пусть — полное полуметризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство и — замкнутая выпуклая многофункция с непустой областью определения. Предположим, что — бочечное пространство для некоторого/каждого Предположим, что и пусть (так что ). Тогда для каждой окрестности в принадлежит относительной внутренности в (то есть ). В частности, если то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}$ ${\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right)}$ ${\displaystyle y_{0}\in {\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}$

Следствия

Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике  —  Пустьибудут пространствами Фреше , абудет линейным отображением. Тогданепрерывно тогда и только тогда, когда графикзамкнут в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Доказательство

Для нетривиального направления предположим, что график замкнут, и пусть Легко видеть, что замкнут и выпукл, а его образ равен Дано принадлежит так, что для каждой открытой окрестности в существует окрестность в Таким образом, непрерывен в КЭД. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (Tx,x)}$ ${\displaystyle Y\times X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Tx}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x.}$

Принцип равномерной ограниченности

Принцип равномерной ограниченности  —  Пустьибудут пространствами Фреше , абудет биективным линейным отображением. Тогдаявляется непрерывным тогда и только тогда, когдаявляется непрерывным. Более того, еслиявляется непрерывным, тоявляется изоморфизмом пространств Фреше . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Доказательство

Применяем теорему о замкнутом графике к и QED ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}.}$

Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении  —  Пустьи— пространства Фреше , а— непрерывное сюръективное линейное отображение. Тогда T — открытое отображение . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

Доказательство

Очевидно, является замкнутым и выпуклым отношением, образом которого является Пусть будет непустым открытым подмножеством пусть будет в и пусть в будет таким, что Из теоремы Урсеску следует, что является окрестностью QED ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T(U),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle y=Tx.}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle y.}$

Дополнительные следствия

Для этих следствий используются следующие обозначения и понятия, где — функция со множеством значений, — непустое подмножество топологического векторного пространства : ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• выпуклый ряд с элементами — ${\displaystyle S}$ это ряд вида , где все и — ряд неотрицательных чисел. Если сходится, то ряд называется сходящимся, а если ограничен, то ряд называется ограниченным и b-выпуклым . ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in S}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$ ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
• ${\displaystyle S}$идеально выпукло , если любой сходящийся b-выпуклый ряд элементов имеет свою сумму в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
• ${\displaystyle S}$называется идеально выпуклым снизу, если существует пространство Фреше такое, что равно проекции на некоторого идеально выпуклого подмножества B множества Каждое идеально выпуклое множество является идеально выпуклым снизу. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Следствие  —  Пусть — бочкообразное пространство, удовлетворяющее первой счетной функции , и пусть — подмножество Тогда: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$

1. Если нижняя идеально выпуклая, то ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C.}$
2. Если идеально выпукло, то ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}$

Связанные теоремы

Теорема Саймонса

Теорема Саймонса ^[2]  —  Пустьиудовлетворяют первой счетности слокально выпуклым. Предположим, что— мультиотображение с непустой областью определения, удовлетворяющее условию (Hw x ), или предположим, что— пространство Фреше и идеально выпуклое снизу . Предположим, чтоявляетсябочкообразным для некоторого/каждого Предположим, чтои пусть Тогда для каждой окрестностивпринадлежитотносительной внутренностив(т.е.). В частности, еслито ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}$ ${\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}$

Теорема Робинсона–Урсеску

Импликация (1) (2) в следующей теореме известна как теорема Робинсона–Урсеску. ^[3] ${\displaystyle \implies }$

Теорема Робинсона–Урсеску ^[3]  —  Пусть и будут нормированными пространствами и будут мультикартой с непустой областью. Предположим, что является бочкообразным пространством , график проверяет условие condition (Hw x ) , и что Пусть (соотв. ) обозначает замкнутый единичный шар в (соотв. ) (so ). Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle (Y,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \operatorname {gr} {\mathcal {R}}.}$ ${\displaystyle C_{X}}$ ${\displaystyle C_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$

1. ${\displaystyle y_{0}}$принадлежит алгебраической внутренности ${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}$
2. ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} {\mathcal {R}}\left(x_{0}+C_{X}\right).}$
3. Существует такое, что для всех ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1,}$ ${\displaystyle y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).}$
4. Существуют и такие, которые для всех и вся ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle x\in x_{0}+AC_{X}}$ ${\displaystyle y\in y_{0}+AC_{Y},}$ ${\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}$
5. Существует такое, что для всех и вся ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in y_{0}+BC_{Y},}$ ${\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq {\frac {1+\left\|x-x_{0}\right\|}{B-\left\|y-y_{0}\right\|}}\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}$

Смотрите также

• Теорема о замкнутом графике  – Теорема, связывающая непрерывность с графиками.
• Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)  – Теоремы, связывающие непрерывность с замкнутостью графиков.
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)  – Условие открытости линейного оператора
• Сюръекция пространств Фреше  – Характеристика сюръекции
• Принцип равномерной ограниченности  – теорема, утверждающая, что точечная ограниченность влечет равномерную ограниченность.
• Сетчатое пространство  – пространство, в котором справедливы теоремы об открытом отображении и замкнутом графике.

Примечания

1. Залинеску 2002, стр. 23.
2. Залинеску 2002, стр. 22-23.
3. Zălinescu 2002, стр. 24.

Ссылки

• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .
• Баггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графиком». Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN  0002-9939.