Римская поверхность

Самопересекающееся, высокосимметричное отображение реальной проективной плоскости в трехмерное пространство.

Анимация римской поверхности

В математике римская поверхность или поверхность Штейнера — это самопересекающееся отображение реальной проективной плоскости в трёхмерное пространство с необычайно высокой степенью симметрии . Это отображение не является погружением проективной плоскости; однако цифра, полученная в результате удаления шести особых точек , равна единице. Его название возникло потому, что он был открыт Якобом Штайнером, когда он был в Риме в 1844 году. ^[1]

Самая простая конструкция — это изображение сферы с центром в начале координат под картой. Это дает неявную формулу ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy).}$

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

Кроме того, параметризация сферы с точки зрения долготы ( θ ) и широты ( φ ) дает параметрические уравнения для римской поверхности следующим образом:

${\displaystyle x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi }$

Начало координат представляет собой тройную точку, и каждая из плоскостей xy- , yz- и xz -плоскостей касается ее поверхности. Остальные места самопересечения представляют собой двойные точки, определяющие сегменты вдоль каждой оси координат, оканчивающиеся шестью точками защемления. Вся поверхность имеет тетраэдрическую симметрию . Это особый тип (называемый типом 1) поверхности Штейнера, то есть трехмерная линейная проекция поверхности Веронезе .

Вывод неявной формулы

Для простоты мы рассматриваем только случай r = 1. Дана сфера, определяемая точками ( x , y , z ) такими, что

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

мы применяем к этим точкам преобразование Т, определенное скажем. ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$

Но тогда у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$

и так по желанию. ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$

Обратно , предположим, что нам даны ( U , V , W ), удовлетворяющие

(*) ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0.\,}$

Докажем, что существуют ( x , y , z ) такие, что

(**) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

для которого ${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

за одним исключением: В случае 3.b. ниже мы покажем, что это невозможно доказать.

1. В случае, когда ни одно из U , V , W не равно 0, мы можем установить

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW}{U}}}.\,}$

(Обратите внимание, что (*) гарантирует, что либо все три из U, V, W положительны, либо ровно два отрицательны. Таким образом, эти квадратные корни имеют положительные числа.)

Легко использовать (*), чтобы подтвердить, что (**) справедливо для x , y , z , определенных таким образом.

2. Предположим, что W равно 0. Из (*) отсюда следует ${\displaystyle U^{2}V^{2}=0\,}$

и, следовательно, хотя бы один из U , V также должен быть равен 0. Это показывает, что невозможно, чтобы ровно одно из U , V , W было равно 0.

3. Предположим, что ровно двое из U , V , W равны 0. Без ограничения общности считаем, что

(***) ${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

Следует, что ${\displaystyle z=0,\,}$

(поскольку это подразумевает и, следовательно, противоречит (***).) ${\displaystyle z\neq 0,\,}$ ${\displaystyle x=y=0,\,}$ ${\displaystyle U=0,\,}$

а. В подслучайе, где

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

если мы определим x и y по

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}}$

и ${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},}$

это гарантирует выполнение (*). Легко убедиться в том, что ${\displaystyle x^{2}y^{2}=U^{2},\,}$

и, следовательно, правильный выбор знаков x и y будет гарантировать ${\displaystyle xy=U.\,}$

Поскольку также ${\displaystyle yz=0=V{\text{ and }}zx=0=W,\,}$

это показывает, что этот подслучай приводит к желаемому обратному результату.

б. В этом оставшемся подслучае случая 3. имеем ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}.}$

С ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

это легко проверить ${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

и, таким образом, в этом случае, где ${\displaystyle |U|>1/2,\ V=W=0,}$

не существует ( x , y , z ), удовлетворяющих ${\displaystyle U=xy,\ V=yz,\ W=zx.}$

Следовательно, решения ( U , 0, 0) уравнения (*) с ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

и аналогично (0, V , 0) с ${\displaystyle |V|>{\frac {1}{2}}}$

и (0, 0, W ) с ${\displaystyle |W|>{\frac {1}{2}}}$

(каждая из которых представляет собой некомпактную часть координатной оси, состоящую из двух частей) не соответствуют ни одной точке римской поверхности .

4. Если ( U , V , W ) — точка (0, 0, 0), то если любые два из x , y , z равны нулю, а третий имеет абсолютное значение 1, очевидно, как и хотелось. ${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$

Это охватывает все возможные случаи.

Вывод параметрических уравнений

Пусть сфера имеет радиус r , долготу φ и широту θ . Тогда его параметрические уравнения имеют вид

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

Тогда применение преобразования T ко всем точкам на этой сфере дает

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

которые являются точками на римской поверхности. Пусть φ варьируется от 0 до 2π, а θ — от 0 до π/2 .

Отношение к реальной проективной плоскости

Сфера до преобразования не гомеоморфна вещественной проективной плоскости RP ² . Но сфера с центром в начале координат обладает тем свойством, что если точка (x,y,z) принадлежит сфере, то то же самое принадлежит и противоположной точке (-x,-y,-z) , и эти две точки различны: они лежат по разные стороны от центра сферы.

Преобразование T преобразует обе эти противоположные точки в одну и ту же точку,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

Поскольку это справедливо для всех точек S ² , то ясно, что римская поверхность представляет собой непрерывное изображение «сферы по модулю антиподов». Поскольку некоторые различные пары антиподов перенесены в одинаковые точки римской поверхности, она не гомеоморфна RP ² , а вместо этого является фактором вещественной проективной плоскости RP ² = S ² / (x~-x) . Более того, отображение T (выше) из S ² в этот фактор обладает тем особым свойством, что оно локально инъективно вне шести пар антиподальных точек. Или из RP ² результирующая карта, делающая это погружением RP ² — минус шесть точек — в 3-мерное пространство.

Структура римской поверхности

Римская поверхность имеет четыре выпуклые «доли», каждая из которых находится в разных углах тетраэдра.

Римскую поверхность можно построить путем соединения трех гиперболических параболоидов и последующего сглаживания краев по мере необходимости, чтобы она соответствовала желаемой форме (например, параметризация).

Пусть существуют эти три гиперболических параболоида:

• х = уз ,
• у = zx ,
• z = ху .

Эти три гиперболических параболоида пересекаются снаружи по шести ребрам тетраэдра и внутри по трем осям. Внутренние пересечения являются местами двойных точек. Три локуса двойных точек: x = 0, y = 0 и z = 0 пересекаются в тройной точке в начале координат .

Например, учитывая x = yz и y = zx , второй параболоид эквивалентен x = y / z . Затем

${\displaystyle yz={y \over z}}$

и либо y = 0, либо z ² = 1, так что z = ±1. Два их внешних пересечения

• х = у , z = 1;
• Икс знак равно - у , z знак равно -1.

Аналогично, другие внешние пересечения

• х знак равно z , у = 1;
• Икс = - z , у = -1;
• у = z , х = 1;
• у = - z , х = -1.

Давайте посмотрим, как части складываются воедино. Присоединитесь к параболоидам y = xz и x = yz . Результат показан на рисунке 1.

Рисунок 1.

Параболоид y = xz показан синим и оранжевым цветом. Параболоид x = yz показан голубым и фиолетовым цветом. На изображении видно, что параболоиды пересекаются по оси z = 0 . Если параболоиды вытянуты, то также следует видеть, что они пересекаются по линиям

• г = 1, у = х ;
• z знак равно -1, y знак равно - Икс .

Два параболоида вместе выглядят как пара орхидей, соединенных спина к спине.

Теперь пропустите через них третий гиперболический параболоид z = xy . Результат показан на рисунке 2.

Фигура 2.

В направлениях запад-юго-запад и восток-северо-восток на рисунке 2 имеется пара отверстий. Эти отверстия являются лепестками и должны быть закрыты. Когда отверстия закрыты, в результате получается римская поверхность, показанная на рисунке 3.

Рисунок 3. Римская поверхность.

Пару лепестков можно увидеть в западном и восточном направлениях на рисунке 3. Другая пара лепестков скрыта под третьим ( z = xy ) параболоидом и лежит в северном и южном направлениях.

Если три пересекающихся гиперболических параболоида провести достаточно далеко, чтобы они пересекались по ребрам тетраэдра, то результат будет таким, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4.

Одна из долей видна спереди — на рисунке 4. Доля — это один из четырех углов тетраэдра.

Если острые края непрерывной поверхности на рисунке 4 закруглены (сглажены), то в результате получится римская поверхность на рисунке 5.

Одна из долей римской поверхности видна спереди на рисунке 5, и ее выпуклая , похожая на воздушный шар форма очевидна.

Если поверхность на рисунке 5 повернуть на 180 градусов, а затем перевернуть, результат будет таким, как показано на рисунке 6.

Рисунок 6. Римская поверхность.

На рисунке 6 показаны три доли, если смотреть сбоку. Между каждой парой лепестков находится геометрическое место двойных точек, соответствующее оси координат. Три локуса пересекаются в тройной точке в начале координат. Четвертая доля скрыта и направлена ​​в сторону, прямо противоположную зрителю. Римская поверхность, показанная в верхней части этой статьи, также имеет три лепестка, если смотреть сбоку.

Односторонность

Римская поверхность неориентируема , т. е. односторонняя. Это не совсем очевидно. Чтобы убедиться в этом, взгляните еще раз на рисунок 3.

Представьте себе муравья на вершине «третьего» гиперболического параболоида , z = xy . Пусть этот муравей движется на север. По мере движения он будет проходить через два других параболоида, как призрак, проходящий сквозь стену. Эти другие параболоиды кажутся препятствиями только из-за самопересекающегося характера погружения. Пусть муравей игнорирует все двойные и тройные точки и проходит сквозь них. Итак, муравей перемещается на Север и, так сказать, падает с края света. Теперь он оказывается в северной доле, скрытой под третьим параболоидом на рисунке 3. Муравей стоит вверх тормашками, «снаружи» римской поверхности.

Позвольте муравью двигаться на юго-запад. Он будет подниматься по склону (вверх ногами), пока не окажется «внутри» западной доли. Теперь позвольте муравью двигаться в юго-восточном направлении вдоль внутренней части западной доли к оси z = 0 , всегда выше плоскости xy . Как только он пройдет через ось z = 0, муравей окажется «снаружи» восточной доли, стоя правой стороной вверх.

Затем позвольте ему двигаться на север, через «холм», затем на северо-запад, чтобы он начал скользить вниз к оси x = 0 . Как только муравей пересечет эту ось, он окажется «внутри» северной доли, стоя боком вверх. Теперь позвольте муравью идти на север. Он поднимется вверх по стене, затем по «крыше» Северной доли. Муравей снова оказался на третьем гиперболическом параболоиде, но на этот раз под ним и стоит вверх тормашками. (Сравните с бутылкой Клейна .)

Двойные, тройные и защемляющие точки

Римская поверхность имеет четыре «доли». Границы каждой доли представляют собой набор из трех линий двойных точек. Между каждой парой долей проходит линия двойных точек. Поверхность имеет всего три линии двойных точек, лежащих (в приведенной ранее параметризации) на координатных осях. Три линии двойных точек пересекаются в тройной точке, лежащей в начале координат. Тройная точка разрезает линии двойных точек на пару полупрямых, причем каждая полупрямая лежит между парой долей. Из предыдущих утверждений можно было ожидать, что может быть до восьми лепестков, по одному в каждом октанте пространства, разделенного координатными плоскостями. Но доли занимают чередующиеся октанты: четыре октанта пусты, а четыре заняты долями.

Если бы римская поверхность была вписана внутрь тетраэдра с наименьшим возможным объемом, можно было бы обнаружить, что каждое ребро тетраэдра касается римской поверхности в какой-то точке и что каждая из этих шести точек является особенностью Уитни . Все эти особенности, или точки защемления, лежат на краях трех линий двойных точек и определяются следующим свойством: в этой особенности нет плоскости , касающейся какой-либо поверхности.

Смотрите также

• Поверхность Боя – погружение проекционной плоскости без крестовин.
• Тетрагемигексаэдр – многогранник , очень похожий на римскую поверхность.

Рекомендации

1. Коффман, Адам. «Римские поверхности Штайнера». Национальный банк кривых . Университет Индианы - Университет Пердью Форт-Уэйн.

Общие ссылки

• А. Коффман, А. Шварц и К. Стэнтон: Алгебра и геометрия Штейнера и других квадратично параметризуемых поверхностей . В книге «Компьютерное геометрическое проектирование» (3) 13 (апрель 1996 г.), с. 257-286
• Берт Юттлер, Рагни Пиене: геометрическое моделирование и алгебраическая геометрия . Springer 2008, ISBN 978-3-540-72184-0 , стр. 30 ( ограниченная онлайн-копия , стр. 30, в Google Книгах ) 

Внешние ссылки

• А. Коффман, « Поверхности Штейнера».
• Вайсштейн, Эрик В. «Римская поверхность». Математический мир .
• Римские поверхности в Национальном банке кривых (веб-сайт Калифорнийского государственного университета)
• Ашай Дхарвадкер, Гептаэдр и римская поверхность, Модели электронной геометрии, 2004.