Поверхность Веронезе

В математике поверхность Веронезе является алгебраической поверхностью в пятимерном проективном пространстве и реализуется посредством вложения Веронезе , вложения проективной плоскости , заданной полной линейной системой коник . Он назван в честь Джузеппе Веронезе (1854–1917). Его обобщение на более высокие измерения известно как разновидность Веронезе .

Поверхность допускает вложение в четырехмерное проективное пространство, определяемое проекцией из общей точки пятимерного пространства. Ее общая проекция на трехмерное проективное пространство называется поверхностью Штейнера .

Определение

Поверхность Веронезе является образом отображения

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

предоставлено

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

где обозначает однородные координаты . Карта известна как вложение Веронезе. ${\displaystyle [x:\cdots ]}$ ${\displaystyle \nu }$

Мотивация

Поверхность Веронезе естественным образом возникает при изучении коник . Коника — это плоская кривая степени 2, определяемая таким образом уравнением:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

Спаривание коэффициентов и переменных линейно по коэффициентам и квадратично по переменным; отображение Веронезе делает его линейным по коэффициентам и линейным по мономам. Таким образом, для фиксированной точки условие того, что коника содержит точку, представляет собой линейное уравнение с коэффициентами, которое формализует утверждение о том, что «прохождение через точку накладывает линейное условие на коники». ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle [x:y:z],}$

Карта Веронезе

Отображение Веронезе или многообразие Веронезе обобщает эту идею на отображения общей степени d от n +1 переменных. То есть отображение Веронезе степени d — это отображение

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

где m задается коэффициентом мультимножества или, более привычно, биномиальным коэффициентом , как:

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

Карта отправляет все возможные мономы полной степени d (из которых есть ); у нас есть, поскольку есть переменные на выбор; и мы вычитаем, поскольку проективное пространство имеет координаты. Второе равенство показывает, что для фиксированного исходного измерения n целевое измерение представляет собой полином от d степени n и старшего коэффициента. ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle 1/n!.}$

Для низкой степени — это тривиальная постоянная карта и — тождественная карта, поэтому d обычно принимается равным 2 или более. ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$

Можно определить карту Веронезе безкоординатным способом, как

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

где V — любое векторное пространство конечной размерности, а — его симметричные степени степени d . Оно однородно степени d при скалярном умножении на V и, следовательно, переходит к отображению на лежащих в его основе проективных пространствах . ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$

Если векторное пространство V определено над полем K , которое не имеет нулевой характеристики , то определение необходимо изменить, чтобы его можно было понимать как отображение в двойственное пространство полиномов на V. Это связано с тем, что для полей с конечной характеристикой p p -е степени элементов V не являются рациональными нормальными кривыми , а, конечно, являются линией. (См., например, аддитивный полином для лечения полиномов над полем конечной характеристики).

Рациональная нормальная кривая

Многообразие Веронезе известно как рациональная нормальная кривая , примеры которой известны на примере более низких степеней. ${\displaystyle n=1,}$

• Ибо карта Веронезе — это просто тождественная карта на проективной прямой. ${\displaystyle n=1,d=1}$
• Для разновидности Веронезе это стандартная парабола в аффинных координатах. ${\displaystyle n=1,d=2,}$ ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• Для многообразия Веронезе это скрученная куба в аффинных координатах ${\displaystyle n=1,d=3,}$ ${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

Бирегулярный

Образ многообразия под картой Веронезе снова является многообразием, а не просто конструируемым множеством ; более того, они изоморфны в том смысле, что обратное отображение существует и регулярно – отображение Веронезе бирегулярно . Точнее, образы открытых множеств в топологии Зарисского снова открыты.

Смотрите также

• Поверхность Веронезе — единственное многообразие Севери размерности 2.

Рекомендации

• Джо Харрис, Алгебраическая геометрия, первый курс , (1992) Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN  0-387-97716-3