Конструируемое множество (топология)

В топологии , конструктивные множества представляют собой класс подмножеств топологического пространства , которые имеют относительно «простую» структуру. Они используются, в частности, в алгебраической геометрии и смежных областях. Ключевой результат, известный как теорема Шевалле в алгебраической геометрии, показывает, что образ конструктивного множества конструктивен для важного класса отображений (более конкретно морфизмов ) алгебраических многообразий (или, в более общем смысле, схем ). Кроме того, большое количество «локальных» геометрических свойств схем, морфизмов и пучков (локально) конструктивны. Конструктивные множества также фигурируют в определении различных типов конструктивных пучков в алгебраической геометрии и когомологиях пересечений .

Определения

Простое определение, подходящее во многих ситуациях, состоит в том, что конструируемое множество представляет собой конечное объединение локально замкнутых множеств . (Множество является локально замкнутым, если оно является пересечением открытого множества и замкнутого множества .) Однако для того, чтобы иметь определения, которые лучше ведут себя с «большими» пространствами, необходимы модификация и другое, немного более слабое определение:

Определения: Подмножество топологического пространства называется ретрокомпактным, если является компактным для каждого компактного открытого подмножества . Подмножество из конструируемо , если оно является конечным объединением подмножеств вида , где и являются открытыми и ретрокомпактными подмножествами . Подмножество является локально конструируемым, если существует покрытие из , состоящее из открытых подмножеств со свойством, что каждое из них является конструируемым подмножеством . ^{[1] [2]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap (X-V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Эквивалентно, конструктивные подмножества топологического пространства являются наименьшим набором подмножеств, который (i) содержит все открытые ретрокомпактные подмножества и (ii) содержит все дополнения и конечные объединения (и, следовательно, также конечные пересечения) множеств в нем. Другими словами, конструктивные множества являются в точности булевой алгеброй, порожденной ретрокомпактными открытыми подмножествами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle X}$

В локально нётеровом топологическом пространстве все подмножества ретрокомпактны, ^[3] и поэтому для таких пространств упрощенное определение, данное первым выше, эквивалентно более сложному. Большинство часто встречающихся схем в алгебраической геометрии (включая все алгебраические многообразия ) являются локально нётеровыми, но существуют важные конструкции, которые приводят к более общим схемам.

В любом (не обязательно нётеровом ) топологическом пространстве каждое конструируемое множество содержит плотное открытое подмножество своего замыкания. ^[4]

Терминология: Приведенное здесь определение используется в первом издании EGA и Stacks Project . Во втором издании EGA конструируемые множества (согласно определению выше) называются «глобально конструируемыми», в то время как слово «конструируемый» зарезервировано для того, что выше называется локально конструируемым. ^[5]

Теорема Шевалле

Основная причина важности конструктивных множеств в алгебраической геометрии заключается в том, что образ (локально) конструктивного множества также (локально) конструктивен для большого класса отображений (или «морфизмов»). Ключевой результат:

Теорема Шевалле. Если — конечно представленный морфизм схем и — локально конструктивное подмножество, то также локально конструктивно в . ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle f(Z)}$ ${\displaystyle Y}$

В частности, образ алгебраического многообразия не обязательно должен быть многообразием, но (при предположениях) всегда является конструируемым множеством. Например, отображение , которое отправляет в , имеет изображение множества , которое не является многообразием, но конструируемо. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,xy)}$ ${\displaystyle \{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}}$

Теорема Шевалле в указанной выше общности не сработает, если использовать упрощенное определение конструктивных множеств (без ограничения ретрокомпактными открытыми множествами в определении). ^[9]

Строящиеся объекты недвижимости

Большое количество "локальных" свойств морфизмов схем и квазикогерентных пучков на схемах выполняется над локально конструируемым подмножеством. EGA IV § 9 ^[10] охватывает большое количество таких свойств. Ниже приведены некоторые примеры (где все ссылки указывают на EGA IV):

• Если — конечно представленный морфизм схем, а — последовательность конечно представленных квазикогерентных -модулей, то множество , для которого является точным, локально конструктивно. (Предложение (9.4.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}}$
• Если — конечно представленный морфизм схем и — конечно представленный квазикогерентный -модуль, то множество , для которого локально свободно, локально конструктивно. (Предложение (9.4.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$
• Если — конечно представленный морфизм схем и — локально конструктивное подмножество, то множество для которого замкнуто (или открыто) в локально конструктивно. (Следствие (9.5.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)\cap Z}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$
• Пусть будет схемой и морфизмом -схем . Рассмотрим множество , для которого индуцированный морфизм слоев над имеет некоторое свойство . Тогда локально конструктивно, если имеет любое из следующих свойств: сюръективность, собственная, конечная, погружение, замкнутое погружение, открытое погружение, изоморфизм. (Предложение (9.6.1)) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Пусть — конечно представленный морфизм схем и рассмотрим множество , для которого слой имеет свойство . Тогда локально конструктивно, если имеет любое из следующих свойств: геометрически неприводимый, геометрически связный, геометрически приведенный. (Теорема (9.7.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Пусть — локально конечно представленный морфизм схем и рассмотрим множество , для которого слой имеет свойство . Тогда локально конструктивно, если — любое из следующих свойств: геометрически регулярно, геометрически нормально, геометрически редуцировано. (Предложение (9.9.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Одна из важных ролей, которую играют эти результаты конструктивности, заключается в том, что в большинстве случаев, предполагая, что морфизмы в вопросах также являются плоскими, следует, что рассматриваемые свойства фактически сохраняются в открытом подмножестве. Значительное количество таких результатов включено в EGA IV § 12. ^[11]

Смотрите также

• Конструируемая топология
• Конструируемый пучок

Примечания

1. Гротендик и Дьедонне 1961, гл. 0 _III , Определения (9.1.1), (9.1.2) и (9.1.11), стр. 12-14.
2. "Определение 5.15.1 (тег 005G)". stacks.math.columbia.edu . Получено 2022-10-04 .
3. Гротендик и Дьедонне 1961, гл. 0 _III , разд. (9.1), с. 12
4. Jinpeng An (2012). «Жесткие геометрические структуры, изометрические действия и алгебраические отношения». Geom. Dedicata 157 : 153–185.
5. Гротендик и Дьедонне 1971, гл. 0 _I , Определения (2.3.1), (2.3.2) и (2.3.10), стр. 55-57.
6. Гротендик и Дьедонне 1964, гл. I , Теорема (1.8.4), с. 239.
7. "Теорема 29.22.3 (Теорема Шевалле) (тег 054K)". stacks.math.columbia.edu . Получено 2022-10-04 .
8. Гротендик и Дьедонне 1971, гл. I , Теорема (7.1.4), с. 329.
9. "Раздел 109.24 Изображения локально замкнутых подмножеств (тег 0GZL)". stacks.math.columbia.edu . Получено 2022-10-04 .
10. Гротендик и Дьедонне 1966, гл. IV , § 9 «Propriétés constructibles», стр. 54–94.
11. Гротендик и Дьедонне 1966, гл. IV , § 12 «Этюд волокон морфизмов площадок представления фини», стр. 173–187.

Ссылки

• Аллуш, Жан Поль. Заметка о конструктивных множествах топологического пространства.
• Андрадас, Карлос; Брёкер, Людвиг; Руис, Хесус М. (1996). Конструируемые множества в реальной геометрии . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Результаты по математике и смежным областям (3). Том. 33. Берлин: Springer-Verlag . стр. х+270. ISBN 3-540-60451-0. МР  1393194.
• Борель, Арман . Линейные алгебраические группы.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 . дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, премьерная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 . дои : 10.1007/bf02684747. МР  0173675.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Тройная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 . дои : 10.1007/bf02684343. МР  0217086.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). Том. 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Мостовский, А. (1969). Конструируемые множества с приложениями . Исследования по логике и основаниям математики. Амстердам --- Варшава: North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Polish Scientific Publishers . стр. ix+269. MR  0255390.

Внешние ссылки

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Топологическое определение (локальной) конструктивности
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Свойства конструктивности морфизмов схем (включая теорему Шевалле)