Изгиб

Математическая идеализация следа, оставляемого движущейся точкой.

Парабола , одна из простейших кривых, после (прямых) линий .

В математике кривая (в старых текстах ее также называли изогнутой линией ) — это объект, похожий на линию , но не обязательно должен быть прямым .

Интуитивно кривую можно рассматривать как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в « Началах » Евклида : «[Кривая] линия ^[а] есть […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и есть не что иное, как течение или бег точки, которая [...] оставит после своего воображаемого движения некоторый след в длину, свободный от какой-либо ширины». ^[1]

Это определение кривой было формализовано в современной математике следующим образом: Кривая — это изображение интервала топологического пространства с помощью непрерывной функции . В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая является параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называются топологическими кривыми , чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые представляют собой объединения кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .

Тем не менее класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривых, заполняющих пространство, и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функцию, определяющую кривую, часто считают дифференцируемой , и тогда кривую называют дифференцируемой кривой .

Плоская алгебраическая кривая — это множество нулей многочлена от двух неопределённых . В более общем смысле, алгебраическая кривая — это нулевое множество конечного набора многочленов, которое удовлетворяет дополнительному условию того, что оно является алгебраическим многообразием размерности один . Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k , говорят, что кривая определена над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k — поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда рассматриваются комплексные нули, получается комплексная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Алгебраические кривые, определенные в других полях, хотя и не являются кривыми в здравом смысле, широко изучались. В частности, в современной криптографии широко используются алгебраические кривые над конечным полем .

История

Мегалитическое искусство из Ньюгрейнджа, демонстрирующее ранний интерес к кривым.

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. ^[2] Кривые или, по крайней мере, их графическое представление легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины «прямая линия» и «правая линия» использовались, чтобы отличить то, что сегодня называют линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I « Начал» Евклида линия определяется как «длина без ширины» (Опр. 2), а прямая линия определяется как «линия, лежащая равномерно с точками на самой себе» (Опр. 4). . Идея Евклида о линии, возможно, проясняется утверждением: «Концы линии суть точки» (Определение 3). ^[3] Более поздние комментаторы далее классифицировали строки по различным схемам. Например: ^[4]

• Составные линии (линии, образующие угол)
• Некомпозитные линии
  • Определенные (линии, которые не простираются бесконечно, например круг)
  • Неопределенные (линии, простирающиеся бесконечно, например прямая линия и парабола)

Кривые, созданные путем разрезания конуса ( конические сечения ), были среди кривых, изучавшихся древнегреческой математикой .

Греческие геометры изучали множество других видов кривых. Одной из причин был их интерес к решению геометрических задач, которые невозможно было решить с помощью стандартного циркуля и линейки . Эти кривые включают в себя:

• Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским.
• Циссоида Диокла , изученная Диоклом и использованная как метод удвоения куба . ^[5]
• Раковина Никомеда , изученная Никомедом как метод удвоения куба и разделения угла на три части . ^[6]
• Спираль Архимеда , изученная Архимедом как метод разделения угла на три части и квадратуры круга . ^[7]
• Спирические сечения , сечения торов , изученные Персеем как сечения конусов, были изучены Аполлонием.

Аналитическая геометрия позволяла определять кривые, такие как «Фолиум Декарта» , с помощью уравнений вместо геометрического построения.

Фундаментальным достижением в теории кривых стало введение Рене Декартом в семнадцатом веке аналитической геометрии . Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми , которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми , которые не могут быть определены. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. ^[2]

Конические сечения были применены в астрономии Кеплером . Ньютон также работал над первым примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы брахистохроны и таутохроны , по-новому представили свойства кривых (в данном случае циклоиды ) . Цепная линия получила свое название как решение проблемы висящей цепи, вопроса, который стал обычно доступен с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке зародилось вообще теории плоских алгебраических кривых. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, связанных с особыми точками и комплексными решениями.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, такие как кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана о кривой и шестнадцатая проблема Гильберта .

Топологическая кривая

Топологическая кривая может быть задана непрерывной функцией из интервала I действительных чисел в топологическое пространство X. Собственно говоря, кривая — это изображение . Однако в некоторых контекстах само по себе называется кривой , особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называют кривой, и недостаточно характеризует ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma .}$

Например, изображение кривой Пеано или, в более общем плане, кривой, заполняющей пространство , полностью заполняет квадрат и поэтому не дает никакой информации о том, как определяется. ${\displaystyle \gamma }$

Кривая замкнута ^[b] или является петлей , если и . Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения окружности . Незамкнутую кривую можно также назвать разомкнутой кривой . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$

Если областью определения топологической кривой является замкнутый и ограниченный интервал , кривая называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто ${\displaystyle I=[a,b]}$дуга ).

Кривая называется простой , если она представляет собой изображение отрезка или окружности инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией с интервалом в качестве области определения, кривая является простой тогда и только тогда, когда любые две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, случаев, когда эти точки являются конечными точками интервала. интервал. Интуитивно простая кривая — это кривая, которая «не пересекает сама себя и не имеет пропущенных точек» (непрерывная несамопересекающаяся кривая). ^[8] ${\displaystyle \gamma }$

Плоская кривая — это кривая, для которой является евклидова плоскость (это первые встречающиеся примеры) или, в некоторых случаях, проективная плоскость . ${\displaystyle X}$Пространственная кривая — это кривая, по крайней мере трехмерная; перекошенная кривая ${\displaystyle X}$ — это пространственная кривая, не лежащая ни в одной плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применимо (действительная алгебраическая кривая может быть несвязной ).

Кривая дракона с положительной площадью

Плоскую простую замкнутую кривую также называют жордановой кривой . Его также определяют как несамопересекающуюся непрерывную петлю на плоскости. ^[9] Теорема жордановой кривой утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух связных компонентов (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны).

В определение кривой входят фигуры, которые в обиходе вряд ли можно назвать кривыми. Например, изображение кривой может охватывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ), а простая кривая может иметь положительную площадь. ^[10] Фрактальные кривые могут иметь свойства, странные для здравого смысла. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. «снежинка Коха ») и даже положительную площадь. Примером может служить кривая дракона , обладающая множеством других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая

Грубо говоря, дифференцируемая кривая — это кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функции из интервала I действительных чисел в дифференцируемое многообразие X , часто ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Точнее, дифференцируемая кривая — это подмножество C в X , где каждая точка C имеет окрестность U , диффеоморфную интервалу действительных чисел. ^{[ нужны разъяснения ]} Другими словами, дифференцируемая кривая — это дифференцируемое многообразие размерности один. ${\displaystyle C\cap U}$

Дифференцируемая дуга

В евклидовой геометрии дуга (символ: ⌒ ) представляет собой связное подмножество дифференцируемой кривой.

Дуги прямых называются сегментами , лучами или линиями , в зависимости от того, как они ограничены.

Распространенным примером изогнутой формы является дуга окружности , называемая дугой окружности .

В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .

Длина кривой

Если — -мерное евклидово пространство, а если — инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина определяется как величина ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

Длина кривой не зависит от параметризации . ${\displaystyle \gamma }$

В частности, длина графика непрерывно дифференцируемой функции, определенной на отрезке, равна ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.}$

В более общем смысле, если это метрическое пространство с метрикой , то мы можем определить длину кривой по формуле ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},}$

где супремум берется по всем разделам . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Спрямляемая кривая — это кривая конечной длины. Кривая называется естественной (или единичной скоростью, или параметризованной длиной дуги), если для любого такого , что имеем ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

Если функция липшицева , то она автоматически спрямляема. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) at как ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$

${\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}$

а потом покажи это

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

Дифференциальная геометрия

Хотя первые примеры встречающихся кривых в основном представляют собой плоские кривые (то есть, говоря обычными словами, изогнутые линии в двумерном пространстве ), существуют очевидные примеры, такие как спираль, которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики, заключаются в том, чтобы иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности мировая линия представляет собой кривую в пространстве-времени .

Если - дифференцируемое многообразие , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие применения кривых в математике. С локальной точки зрения пространство можно считать евклидовым. С другой стороны, полезно быть более общим, поскольку (например) можно определить касательные векторы с помощью этого понятия кривой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если — гладкое многообразие , то гладкая кривая в нем — гладкое отображение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

Это базовое понятие. Есть также все более и более ограниченные идеи. Если это многообразие (т. е. многообразие, карты которого являются временами непрерывно дифференцируемыми ), то кривая в является такой кривой, которая только предполагается (т. е. временами непрерывно дифференцируемой). Если — аналитическое многообразие (т. е. бесконечно дифференцируемое и карты выражаются в виде степенных рядов ) и аналитическое отображение, то говорят, что это аналитическая кривая . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Дифференцируемая кривая называетсярегулярен , если егопроизводнаяникогда не обращается в нуль. (На словах регулярная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается назад.) Дведифференцируемые кривые ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$и

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

называются эквивалентными, если существует биективное отображение ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

такая, что обратное отображение

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

также есть , и ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

для всех . Карта называется репараметризацией ; _ и это создает отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых в . Дуга — это класс эквивалентности кривых относительно отношения репараметризации. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые — это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоская алгебраическая кривая — это набор точек координат x , y таких, что f ( x , y ) = 0 , где f — многочлен от двух переменных, определенный над некоторым полем F. Говорят, что кривая определена над F . Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами из F , но и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле К.

Если C — кривая , определяемая многочленом f с коэффициентами из F , говорят, что кривая определена над F.

В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а совокупность всех реальных точек — реальной частью кривой. Поэтому только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть несвязной и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть совокупность ее комплексных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .

Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут обозначаться C ( G ) . Когда G является полем рациональных чисел , говорят просто о рациональных точках . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: Для n > 2 каждая рациональная точка кривой Ферма степени n имеет нулевую координату .

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокого измерения, скажем, n . Они определяются как алгебраические многообразия размерности один . Их можно получить как общие решения не менее n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n -1 полиномов достаточно, чтобы определить кривую в пространстве размерности n , кривая называется полным пересечением . Устранив переменные (с помощью любого инструмента теории исключения ), алгебраическую кривую можно спроецировать на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких как точки возврата или двойные точки .

^{Плоская кривая также может быть дополнена} до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то wdf ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0 , являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - такими, что w не ноль. Примером может служить кривая Ферма un ⁺ v ⁿ = w ⁿ , которая имеет аффинную форму x ⁿ + y ⁿ = 1 . Аналогичный процесс гомогенизации можно определить для кривых в пространствах более высокой размерности.

За исключением линий , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми рода один, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .

Смотрите также

• Координатная кривая
• Морщинистая дуга
• Подгонка кривой
• Ориентация кривой
• Рисование кривых
• Дифференциальная геометрия кривых
• Галерея кривых
• Индекс кривой
• Список тем кривых
• Список кривых
• Соприкасающийся круг
• Параметрическая поверхность
• Путь (топология)
• Многоугольная кривая
• Вектор положения
• Векторнозначная функция
  • Бесконечномерная векторная функция
• Номер обмотки

Примечания

1. В современном математическом использовании линия прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.
2. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как и линия на плоскости.

Рекомендации

1. На (довольно старом) французском языке: «La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une измерение à sçavoir долготы, sans aucune latitude ni profondité, и n'est autre выбрал que le flux ou coulement du point, lequel [ …] laissera de son mouvement imaginaire quelque остатки в течение длительного времени, освобожденные от всей широты». Страницы 7 и 8 книги Пьера Марделя «Les quinze livres des éléments géométriques d'Eléments d'Elément Géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François» и «augmentez de plusieurs» и демонстраций, с исправлениями ошибок и других переводов , Лион, MDCXLV (1645 г.) .
2. Локвуд с. ix
3. Хит стр. 153
4. Хит стр. 160
5. Локвуд с. 132
6. Локвуд с. 129
7. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
8. «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc» . Словарь.reference.com . Проверено 14 марта 2012 г.
9. Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии. Логотипы Верлаг Берлин ГмбХ. п. 7. ISBN 9783832531195.
10. Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жорданская кривая положительной области». Труды Американского математического общества . Американское математическое общество . 4 (1): 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.

• А.С. Пархоменко (2001) [1994], «Линия (кривая)», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Б.И. Голубов (2001) [1994], «Спрямляемая кривая», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Евклид , комментарии и пер. от TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
• Э. Х. Локвуд. Книга кривых (Кембридж, 1961)

Внешние ссылки

• Индекс знаменитых кривых, Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
• Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
• Галерея космических кривых, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса.
• Галерея бишопских кривых и других сферических кривых, включает анимацию Питера Мозеса.
• Статья в математической энциклопедии о линиях.
• Страница Атласа многообразий, посвященная 1-многообразиям.