В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии теория исключения — это классическое название алгоритмических подходов к исключению некоторых переменных между полиномами нескольких переменных с целью решения систем полиномиальных уравнений .
Классическая теория исключения достигла кульминации в работе Фрэнсиса Маколея о многомерных результирующих , как описано в главе о теории исключения в первых изданиях (1930) « Современной алгебры» Бартеля ван дер Вардена . После этого теория исключения игнорировалась большинством алгебраических геометров в течение почти тридцати лет, вплоть до появления новых методов решения полиномиальных уравнений, таких как базисы Грёбнера , которые были необходимы для компьютерной алгебры .
Область теории исключения была мотивирована необходимостью методов решения систем полиномиальных уравнений .
Одним из первых результатов была теорема Безу , ограничивающая количество решений (в случае двух полиномов от двух переменных во время Безу).
За исключением теоремы Безу, общий подход заключался в исключении переменных для сведения проблемы к одному уравнению с одной переменной.
Случай линейных уравнений был полностью решен методом исключения Гаусса , при этом старый метод правила Крамера не использует исключение и работает только тогда, когда количество уравнений равно количеству переменных. В 19 веке это было распространено на линейные диофантовы уравнения и абелеву группу с нормальной формой Эрмита и нормальной формой Смита .
До 20-го века были введены различные типы элиминантов , включая результирующие , и различные виды дискриминантов . В общем, эти элиминанты также инвариантны относительно различных замен переменных и также являются фундаментальными в теории инвариантов .
Все эти концепции эффективны в том смысле, что их определения включают метод вычислений. Примерно в 1890 году Дэвид Гильберт представил неэффективные методы, и это было воспринято как революция, которая побудила большинство алгебраических геометров первой половины 20-го века попытаться «устранить исключение». Тем не менее , Nullstellensatz Гильберта можно считать принадлежащим к теории исключения, поскольку он утверждает, что система полиномиальных уравнений не имеет решения тогда и только тогда, когда можно исключить все неизвестные, чтобы получить постоянное уравнение 1 = 0.
Кульминацией теории исключения стали работы Леопольда Кронекера и, наконец , Маколея , который ввел многомерные результирующие и U-результаты , предоставив полные методы исключения для систем полиномиальных уравнений, которые описаны в главе, посвященной теории исключения , в первых изданиях (1930 г.) книги. «Современная алгебра» Ван дер Вардена .
Позже теорию исключения сочли старомодной и удалили из последующих изданий Moderne Algebra . Его обычно игнорировали до появления компьютеров и, в частности, компьютерной алгебры , которая снова сделала актуальной разработку эффективных алгоритмов исключения, а не просто существование и структурные результаты. Основными методами такого обновления теории исключения являются базисы Грёбнера и цилиндрическая алгебраическая декомпозиция , введенные примерно в 1970 году.
У теории исключения есть также логический аспект, как видно из проблемы булевой выполнимости . В худшем случае, по-видимому, будет сложно исключить переменные вычислительным путем. Устранение квантора — это термин, используемый в математической логике для объяснения того, что в некоторых теориях каждая формула эквивалентна формуле без квантора. Это случай теории полиномов над алгебраически замкнутым полем , где теорию исключения можно рассматривать как теорию методов, позволяющих сделать алгоритмическое исключение кванторов эффективным. Устранение кванторов над действительными числами — еще один пример, который является фундаментальным в вычислительной алгебраической геометрии .