Абелева группа

Коммутативная группа (математика)

В математике абелева группа , также называемая коммутативной группой , — это группа , в которой результат применения групповой операции к двум элементам группы не зависит от порядка их записи. То есть групповая операция коммутативна . С помощью операции сложения целые и действительные числа образуют абелевы группы, и концепцию абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала XIX века Нильса Хенрика Абеля . ^[1]

Понятие абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраических структур , таких как поля , кольца , векторные пространства и алгебры . Теория абелевых групп обычно проще, чем теория их неабелевых аналогов, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью классифицированы.

Определение

Абелева группа представляет собой набор вместе с операцией , которая объединяет любые два элемента и из для формирования другого элемента обозначенного . Символ является общим заполнителем для конкретной операции. Чтобы квалифицироваться как абелева группа, множество и операция должны удовлетворять четырем требованиям, известным как аксиомы абелевой группы (некоторые авторы включают в аксиомы некоторые свойства, которые принадлежат определению операции: а именно, что операция определена для любого упорядоченного пары элементов A , что результат четко определен и что результат принадлежит A ): ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$

Ассоциативность

Для всех , и в уравнение выполняется. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Элемент идентификации

Существует элемент из , такой, что для всех элементов из уравнение выполняется. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

Обратный элемент

Для каждого in существует элемент in такой, что , где – единичный элемент. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

Коммутативность

Для всех , в ,. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой». ^{[2] : 11}

Факты

Обозначения

Существует два основных соглашения об обозначениях абелевых групп – аддитивное и мультипликативное.

Обычно мультипликативная запись является обычным обозначением групп, а аддитивная запись — обычным обозначением модулей и колец . Аддитивное обозначение также может использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретная группа является абелевой, всякий раз, когда рассматриваются как абелевы, так и неабелевы группы, некоторыми заметными исключениями являются почти кольца и частично упорядоченные группы , где операция записывается аддитивно, даже если она неабелева. . ^{[3] : 28–29  [4] : 9–14}

Таблица умножения

Чтобы проверить, что конечная группа является абелевой, можно построить таблицу (матрицу), известную как таблица Кэли , аналогично таблице умножения . ^{[5] : 10} Если группа находится под операцией , -я запись этой таблицы содержит продукт . ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$

Группа абелева тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа абелева тогда и только тогда , когда для всех , то есть тогда и только тогда , когда элемент таблицы равен элементу для всех , т. е. таблица симметрична относительно главной диагонали. ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$ ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (j,i)}$ ${\displaystyle i,j=1,...,n}$

Примеры

• Для целых чисел и операции сложения , обозначенной , операция + объединяет любые два целых числа в третье целое число, сложение ассоциативно, ноль является аддитивным тождеством , каждое целое число имеет обратное аддитивное число , и операция сложения коммутативна, поскольку для любого два целых числа и . ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n+m=m+n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
• Каждая циклическая группа абелева, потому что если , находятся в , то . Таким образом, целые числа , , при сложении образуют абелеву группу, как и целые числа по модулю , . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Каждое кольцо является абелевой группой относительно операции сложения. В коммутативном кольце обратимые элементы или единицы образуют абелеву мультипликативную группу . В частности, действительные числа представляют собой абелеву группу при сложении, а ненулевые действительные числа являются абелевой группой при умножении.
• Каждая подгруппа абелевой группы нормальна , поэтому каждая подгруппа порождает факторгруппу . Подгруппы, факторы и прямые суммы абелевых групп снова абелевы. Конечные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка . ^{[6] : 32}
• Понятия абелевой группы и модуля совпадают . Более конкретно, каждый -модуль является абелевой группой со своей операцией сложения, и каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел уникальным образом. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В общем, матрицы , даже обратимые, не образуют абелеву группу при умножении, поскольку умножение матриц обычно не является коммутативным. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при умножении матриц — одним из примеров является группа матриц вращения . ${\displaystyle 2\times 2}$

Исторические замечания

Камилла Джордан назвала абелевы группы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , поскольку Абель обнаружил, что коммутативность группы многочлена подразумевает , что корни многочлена могут быть вычислены с помощью радикалов . ^{[7] : 144–145  [8] : 157–158}

Характеристики

Если – натуральное число и является элементом абелевой группы, записанной аддитивно, то его можно определить как ( слагаемые) и . Таким образом, становится модулем над кольцом целых чисел. Фактически модули над можно отождествить с абелевыми группами. ^{[9] : 94–97.} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle nx}$ ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Теоремы об абелевых группах (т.е. модулях в области главных идеалов ) часто можно обобщить до теорем о модулях в произвольной области главных идеалов. Типичным примером является классификация конечно порожденных абелевых групп , которая является специализацией структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов . В случае конечно порожденных абелевых групп эта теорема гарантирует, что абелева группа распадается как прямая сумма периодической группы и свободной абелевой группы . Первый может быть записан как прямая сумма конечного числа групп вида для простых чисел, а второй является прямой суммой конечного числа копий . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Если два групповых гомоморфизма между абелевыми группами, то их сумма , определяемая , снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если группа неабелева.) Таким образом, множество всех гомоморфизмов групп от до является абелевой группой само по себе. ${\displaystyle f,g:G\to H}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

В некоторой степени подобно размерности векторных пространств , каждая абелева группа имеет ранг . Он определяется как максимальная мощность набора линейно независимых (по целым числам) элементов группы. ^{[10] : 49–50} Конечные абелевы группы и периодические группы имеют нулевой ранг, и каждая абелева группа нулевого ранга является периодической группой. Целые и рациональные числа имеют ранг один, а также каждая ненулевая аддитивная подгруппа рациональных чисел. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, поскольку это свободная абелева группа с набором простых чисел в качестве основы (это следует из фундаментальной теоремы арифметики ).

Центр группы — это набор элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы . Группа абелева тогда и только тогда, когда она равна своему центру . Центром группы всегда является характерная абелева подгруппа группы . Если факторгруппа группы по ее центру циклическая, то она абелева. ^[11] ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/Z(G)}$ ${\displaystyle G}$

Конечные абелевы группы

Циклические группы целых чисел по модулю ${\displaystyle n}$ , были одними из первых примеров групп. Оказывается, произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп простого степенного порядка, причем эти порядки определяются однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть описана непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера , а затем была одновременно упрощена и обобщена на конечно порожденные модули в области главных идеалов, образуя важную главу линейной алгебры . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также является абелевой. ^[12] В действительности для каждого простого числа существует (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка , а именно и . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

Классификация

Фундаментальная теорема о конечных абелевых группах утверждает, что каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклических подгрупп простого порядка; она также известна как основная теорема для конечных абелевых групп . Более того, группы автоморфизмов циклических групп являются примерами абелевых групп. ^[13] Это обобщено фундаментальной теоремой о конечно порожденных абелевых группах , причем конечные группы являются частным случаем, когда G имеет нулевой ранг ; это, в свою очередь, допускает многочисленные дальнейшие обобщения. ${\displaystyle G}$

Классификация была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году, хотя в современных теоретико-групповых терминах она была сформулирована лишь позже, и ей предшествовала аналогичная классификация квадратичных форм Карла Фридриха Гаусса в 1801 году; подробности смотрите в истории .

Циклическая группа порядка изоморфна прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты . Отсюда следует, что любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме вида ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}$

одним из следующих канонических способов:

• числа представляют собой степени простых чисел (не обязательно различных), ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$
• или делит , что делит , и так далее до . ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}}$ ${\displaystyle k_{u}}$

Например, может быть выражена как прямая сумма двух циклических подгрупп порядка 3 и 5: . То же самое можно сказать и о любой абелевой группе пятнадцатого порядка, что приводит к замечательному выводу, что все абелевы группы пятнадцатого порядка изоморфны . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$

Другой пример: каждая абелева группа порядка 8 изоморфна либо (целым числам от 0 до 7 при сложении по модулю 8), (нечетным целым числам от 1 до 15 при умножении по модулю 16), либо . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$

См. также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 или меньше.

Автоморфизмы

Фундаментальную теорему можно применить для подсчета (а иногда и определения) автоморфизмов данной конечной абелевой группы . Для этого используется тот факт, что если распадается в прямую сумму подгрупп взаимно простого порядка, то ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\oplus K}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).}$

Учитывая это, основная теорема показывает, что для вычисления группы автоморфизмов достаточно вычислить группы автоморфизмов силовских -подгрупп отдельно (т.е. все прямые суммы циклических подгрупп, каждая из которых имеет порядок степени ). Зафиксируем простое число и предположим, что показатели циклических факторов силовской -подгруппы расположены в порядке возрастания: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

для некоторых . Требуется найти автоморфизмы ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.}$

Особым случаем является ситуация, когда , так что в силовской -подгруппе имеется только один циклический фактор простой степени . В этом случае можно воспользоваться теорией автоморфизмов конечной циклической группы . Другой частный случай — когда произвольно, но для . Здесь рассматривается форма ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{i}=1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},}$

поэтому элементы этой подгруппы можно рассматривать как содержащие векторное пространство размерности над конечным полем элементов . Таким образом, автоморфизмы этой подгруппы задаются обратимыми линейными преобразованиями, поэтому ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),}$

где – соответствующая общая линейная группа . Легко показать, что это имеет порядок ${\displaystyle \mathrm {GL} }$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}$

В самом общем случае, когда и произвольны, группу автоморфизмов определить труднее. Однако известно, что если определить ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

и

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

тогда, в частности, имеются , , и ${\displaystyle k\leq d_{k}}$ ${\displaystyle c_{k}\leq k}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$

Можно проверить, что это приводит к порядку из предыдущих примеров как к особым случаям (см. Хиллар и Рея).

Конечно порожденные абелевы группы

Абелева группа A конечно порождена, если она содержит конечный набор элементов (называемых генераторами ) такой , что каждый элемент группы является линейной комбинацией с целыми коэффициентами элементов G. ${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

Пусть L — свободная абелева группа с базисом. Существует единственный гомоморфизм группы такой, что ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$ ${\displaystyle p\colon L\to A,}$

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

Этот гомоморфизм сюръективен , а его ядро ​​конечно порождено (поскольку целые числа образуют нётерово кольцо ). Рассмотрим матрицу M с целыми элементами, элементы j -го столбца которой являются коэффициентами j- го генератора ядра. Тогда абелева группа изоморфна коядру линейного отображения, определенного M . И наоборот, каждая целочисленная матрица определяет конечно порожденную абелеву группу.

Отсюда следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение порождающего набора A эквивалентно умножению M слева на унимодулярную матрицу (то есть обратимую целочисленную матрицу, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение порождающего набора ядра M эквивалентно умножению M справа на унимодулярную матрицу.

Нормальная форма Смита матрицы M представляет собой матрицу

${\displaystyle S=UMV,}$

где U и V унимодулярны, а S - матрица такая, что все недиагональные элементы равны нулю, ненулевые диагональные элементы являются первыми и является делителем для i > j . Существование и вид нормальной формы Смита доказывают, что конечно порожденная абелева группа A представляет собой прямую сумму ${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$ ${\displaystyle d_{j,j}}$ ${\displaystyle d_{i,i}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

где r — количество нулевых строк внизу S (а также ранг группы). Это основная теорема о конечно порожденных абелевых группах .

Существование алгоритмов нормальной формы Смита показывает, что фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах является не только теоремой абстрактного существования, но и обеспечивает способ вычисления выражения конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм. ^{[14] : 26–27}

Бесконечные абелевы группы

Простейшая бесконечная абелева группа — это бесконечная циклическая группа . Любая конечно порожденная абелева группа изоморфна прямой сумме копий и конечной абелевой группы, которая, в свою очередь, разложима в прямую сумму конечного числа циклических групп простых степенных порядков. Несмотря на то, что разложение не уникально, число , называемое рангом , и степени простых чисел, задающие порядки конечных циклических слагаемых, определяются однозначно . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

Напротив, классификация общих бесконечно порожденных абелевых групп далека от завершения. Делимые группы , т.е. абелевы группы , в которых уравнение допускает решение для любого натурального числа и элемента из , составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, которые могут быть полностью охарактеризованы. Каждая делимая группа изоморфна прямой сумме с слагаемыми, изоморфными группам Прюфера для различных простых чисел , а мощность множества слагаемых каждого типа определяется однозначно. ^[15] Более того, если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то допускает прямое дополнение: подгруппу такую , что . Таким образом, делимые группы являются инъективными модулями в категории абелевых групп , и наоборот, каждая инъективная абелева группа делима ( критерий Бэра ). Абелева группа без ненулевых делимых подгрупп называется приведенной . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nx=a}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=A\oplus C}$

Двумя важными специальными классами бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположными свойствами являются группы кручения и группы без кручения , примерами которых являются группы (периодические) и (без кручения). ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Торсионные группы

Абелева группа называется периодической или периодической , если каждый элемент имеет конечный порядок . Прямая сумма конечных циклических групп периодична. Хотя обратное утверждение в общем случае неверно, известны некоторые частные случаи. Первая и вторая теоремы Прюфера утверждают, что если — периодическая группа и она либо имеет ограниченный показатель , т. е. для некоторого натурального числа , либо счетна и -высоты элементов группы конечны для каждого , то она изоморфна прямая сумма конечных циклических групп. ^[16] Мощность множества прямых слагаемых, изоморфных в таком разложении, является инвариантом . ^{[17] : 6} Эти теоремы позже были включены в критерий Куликова . В другом направлении Гельмут Ульм нашел распространение второй теоремы Прюфера на счетные абелевы -группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицируются с помощью своих инвариантов Ульма . ^{[18] : 317} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nA=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$

Группы без кручения и смешанные группы

Абелева группа называется без кручения, если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевых групп без кручения широко изучены:

• Свободные абелевы группы , т.е. произвольные прямые суммы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Кокручение и алгебраически компактные группы без кручения, такие как -адические целые числа ${\displaystyle p}$
• Стройные группы ^{[19] : 259–274.}

Абелева группа, не являющаяся ни периодической, ни без кручения, называется смешанной . Если – абелева группа и – ее периодическая подгруппа , то факторгруппа не имеет кручения. Однако в общем случае периодическая подгруппа не является прямым слагаемым группы , поэтому не изоморфна . Таким образом, теория смешанных групп предполагает нечто большее, чем просто объединение результатов о периодических группах и группах без кручения. Аддитивная группа целых чисел является -модулем без кручения . ^{[20] : 206} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A/T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Инварианты и классификация

Одним из основных инвариантов бесконечной абелевой группы является ее ранг : мощность максимального линейно независимого подмножества группы . Абелевы группы ранга 0 являются в точности периодическими группами, а абелевы группы без кручения ранга 1 обязательно являются подгруппами и могут быть полностью описаны. В более общем смысле, абелева группа без кручения конечного ранга является подгруппой . С другой стороны, группа -адических целых чисел является абелевой группой без кручения бесконечного -ранга, а группы с разными неизоморфны, поэтому этот инвариант даже не полностью отражает свойства некоторых знакомых групп. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Теоремы классификации для конечно порожденных, делимых, счетных периодических абелевых групп без кручения ранга 1, объясненные выше, были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются чистые и основные подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения было одним из направлений дальнейшего прогресса. См. книги Ирвинга Каплански , Ласло Фукса , Филлипа Гриффита и Дэвида Арнольда , а также материалы конференций по теории абелевых групп, опубликованные в Lecture Notes in Mathematics , где можно найти более свежие открытия.

Аддитивные группы колец

Аддитивная группа кольца является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:

• Тензорное произведение
• Результаты ALS Corner о счетных группах без кручения
• Работа Шела по снятию ограничений по количеству элементов
• Кольцо Бернсайда

Связь с другими математическими темами

Многие большие абелевы группы обладают естественной топологией , превращающей их в топологические группы .

Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию — прообраз абелевой категории . ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

Ванда Шмелев  (1955) доказала, что теория абелевых групп первого порядка, в отличие от ее неабелева аналога, разрешима. Большинство алгебраических структур , кроме булевых алгебр , неразрешимы .

Есть еще много областей текущих исследований:

• Среди абелевых групп без кручения конечного ранга хорошо изучены только конечно порожденный случай и случай ранга 1 ;
• В теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга имеется много нерешенных проблем;
• В то время как счетные периодические абелевы группы хорошо понятны с помощью простых представлений и инвариантов Ульма, случай счетных смешанных групп гораздо менее развит.
• Известно, что многие мягкие расширения теории абелевых групп первого порядка неразрешимы.
• Конечные абелевы группы остаются темой исследований в вычислительной теории групп .

Более того, абелевы группы бесконечного порядка, что весьма удивительно, приводят к глубоким вопросам о теории множеств, которая, как принято считать, лежит в основе всей математики. Возьмем проблему Уайтхеда : все ли группы Уайтхеда бесконечного порядка также являются свободными абелевыми группами ? В 1970-х годах Сахарон Шела доказал, что проблема Уайтхеда состоит в следующем:

• Неразрешима в ZFC ( аксиомах Цермело-Френкеля ), традиционной аксиоматической теории множеств , из которой можно вывести почти всю современную математику. Проблема Уайтхеда также является первым вопросом обычной математики, который оказался неразрешимым в ZFC;
• Неразрешимо, даже если ZFC дополняется принятием гипотезы обобщенного континуума в качестве аксиомы;
• Положительный ответ, если ZFC дополнен аксиомой конструктивности (см. утверждения, верные в L ).

Примечание о типографике

Среди математических прилагательных , происходящих от собственного имени математика , слово «абелев» встречается редко, поскольку оно часто пишется со строчной а , а не с прописной А , причем отсутствие заглавных букв является молчаливым признанием не только степени какое имя Абеля было институционализировано, но также и то, насколько повсеместно в современной математике распространены введенные им концепции. ^[21]

Смотрите также

• Подгруппа коммутанта  - наименьшая нормальная подгруппа, фактор по которой коммутативен.
• Абелианизация  - Факторирование группы по ее коммутанту.
• Группа диэдра 6-го порядка  - некоммутативная группа с 6 элементами, наименьшая неабелева группа.
• Элементарная абелева группа  - коммутативная группа, в которой все ненулевые элементы имеют одинаковый порядок.
• Группа Гротендика  - абелева группа, расширяющая коммутативный моноид.
• Двойственность Понтрягина  - Двойственность для локально компактных абелевых групп.

Примечания

1. Джейкобсон (2009) с. 41
2. Рамик, Дж., Метод парных сравнений: теория и применение в принятии решений ( Cham : Springer Nature Switzerland , 2020), стр. 11.
3. Ауслендер, М. , и Буксбаум, Д. , Группы, кольца, модули ( Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications , 1974), стр. 28–29.
4. Станойковски, М., Интенсивные автоморфизмы конечных групп ( Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , 2021), стр. 9–14.
5. Исаев А.П., Рубаков В.А. , Теория групп и симметрии: конечные группы, группы Ли и алгебры Ли ( Сингапур : World Scientific , 2018), стр. 10.
6. Роуз 2012, с. 32.
7. Кокс, Д.А. , Теория Галуа ( Хобокен, Нью-Джерси : John Wiley & Sons , 2004), стр. 144–145.
8. Кепнер Дж. и Х. Джанантан, Математика больших данных ( Кембридж, Массачусетс : MIT Press , 2018), стр. 157–158.
9. Эклоф, Пол К., и Гёбель, Рюдигер, ред., Абелевы группы и модули: Международная конференция в Дублине, 10–14 августа 1998 г. ( Базель : Springer Basel AG , 1999), стр. 94–97.
10. Диксон, М.Р., Курдаченко, Л.А., и Субботин, И.Ю., Линейные группы: акцент на бесконечной размерности ( Милтон-Парк , Абингдон-на-Темзе и Оксфордшир : Тейлор и Фрэнсис , 2020), стр. 49–50.
11. Роуз 2012, с. 48.
12. Роуз 2012, с. 79.
13. Курцвейл, Х., и Стеллмахер, Б., Теория конечных групп: Введение (Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer Verlag , 2004), стр. 43–54.
14. Финкельштейн, Л., и Кантор, В.М. , ред., Группы и вычисления II: Семинар по группам и вычислениям, 7–10 июня 1995 г. ( Провиденс : AMS , 1997), стр. 26–27.
15. Например, . ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$
16. Предположение счетности во второй теореме Прюфера не может быть удалено: периодическая подгруппа прямого произведения циклических групп для всех натуральных групп не является прямой суммой циклических групп. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$
17. Вера, CC, Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века (Провиденс: AMS, 2004), стр. 6.
18. Гао, С., Инвариантная описательная теория множеств ( Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , 2008), стр. 317.
19. Альбрехт У., «Продукты тонких абелевых групп», в Гёбель Р. и Уокер Э., ред., Теория абелевых групп: материалы третьей конференции по теории абелевых групп, состоявшейся в Обервольфахе, 11-17 августа , 1985 (Нью-Йорк: Гордон и Брич , 1987), стр. 259–274.
20. Лал, Р., Алгебра 2: линейная алгебра, теория Галуа, теория представлений, расширения групп и множитель Шура (Берлин, Гейдельберг: Springer, 2017), стр. 206.
21. «Присуждена премия Абеля: Нобелевская премия по математике» . Архивировано из оригинала 31 декабря 2012 года . Проверено 3 июля 2016 г.

Рекомендации

• Кокс, Дэвид (2004). Теория Галуа. Уайли-Интерсайенс . ISBN 9781118031339. МР  2119052.
• Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. Том. 36-я. Академическая пресса . МР  0255673.
• Фукс, Ласло (1973). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. Том. 36-II. Академическая пресса . МР  0349869.
• Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-30870-7.
• Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-02371-Х.
• Хиллар, Кристофер; Рея, Даррен (2007). «Автоморфизмы конечных абелевых групп» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 114 (10): 917–923. arXiv : математика/0605185 . Бибкод : 2006math......5185H. дои : 10.1080/00029890.2007.11920485. JSTOR  27642365. S2CID  1038507.
• Джейкобсон, Натан (2009). Основная алгебра I (2-е изд.). Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-47189-1.
• Роуз, Джон С. (2012). Курс теории групп. Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-68194-8.Полное и неизмененное переиздание работы, впервые опубликованной издательством Cambridge University Press, Кембридж, Англия, в 1978 году.
• Шмелев, Ванда (1955). «Элементарные свойства абелевых групп» (PDF) . Фундамента Математика . 41 (2): 203–271. дои : 10.4064/fm-41-2-203-271 . МР  0072131. Збл  0248.02049.
• Робинсон, Авраам ; Закон, Элиас (1960). «Элементарные свойства упорядоченных абелевых групп» (PDF) . Труды Американского математического общества . 96 (2): 222–236. дои : 10.2307/1993461 . JSTOR  1993461. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

Внешние ссылки

• «Абелева группа». Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].