Список малых групп

Следующий список по математике содержит конечные группы малого порядка с точностью до группового изоморфизма .

имеет значение

Для n = 1, 2,... число неизоморфных групп порядка n равно

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (последовательность A000001 в OEIS )

Для помеченных групп см. OEIS : A034383 .

Глоссарий

В библиотеке малых групп каждая группа называется Go _i^, где o — порядок группы, а i — индекс, используемый для обозначения группы в этом порядке.

Общие названия групп:

Zn _: циклическая группа порядка n ( также используется обозначение Cn _; она изоморфна аддитивной группе Z / n Z )
Dih _n : группа диэдра порядка 2 n (часто используется обозначение D _n или D _{2 n )}
- K ₄ : четверная группа Клейна порядка 4, такая же, как Z ₂ × Z ₂ и Dih _2.
D _{2 n} : группа диэдра порядка 2 n , такая же, как Dih _n (обозначения, используемые в разделе Список малых неабелевых групп)
Sn _: симметрическая группа степени n , содержащая n ! перестановки n элементов
An : переменная группа степени n , содержащая четные перестановки n элементов порядка 1 для n = 0, 1 и порядка n !/2 в противном случае _.
Dic _n или Q _{4 n} : дициклическая группа порядка 4 n
- Q ₈ : группа кватернионов 8-го порядка, также Dic _2.

Обозначения Z _n и Dih _n имеют то преимущество, что группы точек в трех измерениях C _n и D _n не имеют одинаковых обозначений. Существует больше групп изометрии , чем эти две, одного и того же типа абстрактной группы.

Обозначение G × H обозначает прямое произведение двух групп; G ⁿ обозначает прямое произведение группы на саму себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение , где H действует на G ; это также может зависеть от выбора действия H на G.

Отмечаются абелевы и простые группы . (Для групп порядка n < 60 простые группы — это в точности циклические группы Z _n для простых n .) Знак равенства («=") обозначает изоморфизм.

Единичный элемент на графиках циклов обозначен черным кружком. Самый низкий порядок, для которого граф циклов не представляет группу однозначно, — это порядок 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не указаны. При наличии нескольких изоморфных подгрупп количество таких подгрупп указывается в скобках.

Угловые скобки <отношения> показывают представление группы .

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямыми произведениями; см. абелеву группу . Числа неизоморфных абелевых групп порядков n = 1, 2, ... равны

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (последовательность A000688 в OEIS )

Для помеченных абелевых групп см. OEIS : A034382 .

Список малых неабелевых групп

Числа неабелевых групп по порядку подсчитываются (последовательность A060689 в OEIS ). Однако во многих порядках неабелевы группы отсутствуют. Порядки, для которых существует неабелева группа:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (последовательность A060652 в OEIS )

Классификация групп малого порядка

Малые группы порядка простой степени p ⁿ задаются следующим образом:

Порядок p : Единственная группа является циклической.
Порядок p ² : Есть только две группы, обе абелевы.
Порядок p3 ^: существует три абелевы группы и две неабелевы группы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p2 ^на циклическую группу порядка p . Другой — группа кватернионов для p = 2 и группа показателя p для p > 2 .
Порядок p ⁴ : Классификация усложняется и становится еще сложнее по мере увеличения показателя степени p .

Большинство групп малого порядка имеют силовскую p -подгруппу P с нормальным p -дополнением N для некоторого простого числа p, делящего порядок, поэтому их можно классифицировать в терминах возможных простых чисел p , p -групп P , групп N и действий P. на Н. В некотором смысле это сводит классификацию этих групп к классификации р -групп. Некоторые из небольших групп, не имеющих нормального p -дополнения, включают:

Порядок 24: Симметричная группа S ₄
Порядок 48: Бинарная октаэдрическая группа и произведение S ₄ × Z ₂
Порядок 60: Переменная группа А ₅ .

Наименьший порядок, для которого неизвестно, сколько существует неизоморфных групп, равен 2048 = 2 ¹¹ . ^[7]

Библиотека для малых групп

Система компьютерной алгебры GAP содержит пакет под названием «Библиотека малых групп», который обеспечивает доступ к описаниям групп небольших порядков. Группы перечислены с точностью до изоморфизма . В настоящее время в библиотеке имеются следующие группы: ^[8]

порядка не более 2000 ^[9] кроме порядка 1024 ( в библиотеке 423 164 062 группы; порядка 1024 пришлось пропустить, так как имеется еще 49 487 367 289 неизоморфных 2-групп порядка 1024 ^[10] );
бескубного порядка не более 50 000 (395 703 группы);
те, что имеют бесквадратный порядок;
порядка p ⁿ для n не более 6 и p простого числа;
порядка р ⁷ для р = 3, 5, 7, 11 (907 489 групп);
порядка pq ^n, где q ⁿ делит 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ⁵ или 7 ⁴ и p — произвольное простое число, отличное от q ;
те, чьи порядки разлагаются не более чем на 3 простых числа (не обязательно различных).

Он содержит подробные описания доступных групп в машиночитаемом формате.

Наименьший заказ, по которому в библиотеке малых групп нет информации, — 1024.

Смотрите также

Примечания

^ ab Идентификатор, когда группы нумеруются по порядку o , затем по индексу i из библиотеки малых групп, начиная с 1.

^ аб Докчицер, Тим. «Названия групп» . Проверено 23 мая 2023 г.
^ См. проработанный пример, показывающий изоморфизм Z ₆ = Z ₃ × Z ₂ .
^ Чен, Цзин; Тан, Ланг (2020). «Коммутирующие графы на дициклических группах». Коллоквиум по алгебре . 27 (4): 799–806. дои : 10.1142/S1005386720000668. ISSN 1005-3867. S2CID 228827501.
^ abcdefg Коксетер, HSM (1957). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-25739-5. ISBN 978-3-662-23654-3. <l,m,n>: R ^l =S ^m =T ⁿ =RST:
^ Дикий, Марсель (2005). «Группы шестнадцатого порядка стало проще» (PDF) . Являюсь. Математика. Пн . 112 (1): 20–31. дои : 10.1080/00029890.2005.11920164. JSTOR 30037381. S2CID 15362871. Архивировано из оригинала (PDF) 23 сентября 2006 г.
^ "Структура подгрупп симметричной группы: S4 - Groupprops" .
^ Эйк, Беттина; Хорн, Макс; Хюльпке, Александр (2018). Построение групп малого порядка: последние результаты и открытые проблемы (PDF) . Спрингер. стр. 199–211. дои : 10.1007/978-3-319-70566-8_8. ISBN 978-3-319-70566-8.
^ Ханс Ульрих Беше. Библиотека малых групп. Архивировано 5 марта 2012 г. в Wayback Machine.
^ «Число типов изоморфизма конечных групп заданного порядка». www.icm.tu-bs.de . Архивировано из оригинала 25 июля 2019 г. Проверено 05 апреля 2017 г.
^ Баррелл, Дэвид (08 декабря 2021 г.). «О числе групп порядка 1024». Связь в алгебре . 50 (6): 2408–2410. дои : 10.1080/00927872.2021.2006680.

Внешние ссылки

Отдельные группы в Wiki свойств групп.
Беше, Ху; Эйк, Б.; О'Брайен, Э. «Библиотека для небольших групп». Архивировано из оригинала 5 марта 2012 г.
База данных GroupNames
Холл-младший, Маршалл; Старший, Джеймс Кун (1964). Группы порядка 2n (n ≤ 6). Нью-Йорк: Macmillan / Лондон: Collier-Macmillan Ltd. LCCN 64016861