Названная в честь британского математика XIX века Артура Кэли , таблица Кэли описывает структуру конечной группы путем расположения всех возможных произведений всех элементов группы в квадратной таблице, напоминающей таблицу сложения или умножения . Многие свойства группы — например, является ли она абелевой , какие элементы являются обратными для каких элементов, а также размер и содержимое центра группы — можно обнаружить из ее таблицы Кэли.
Простым примером таблицы Кэли является таблица для группы {1, −1} при обычном умножении :
Таблицы Кэли были впервые представлены в статье Кэли 1854 года «О теории групп в зависимости от символического уравнения θ n = 1». В этой статье они назывались просто таблицами и носили лишь иллюстративный характер — позже они стали известны как таблицы Кэли в честь их создателя.
Поскольку многие таблицы Кэли описывают группы, которые не являются абелевыми , произведение ab относительно бинарной операции группы не обязательно будет равно произведению ba для всех a и b в группе. Чтобы избежать путаницы, принято соглашение, согласно которому фактор, помечающий строку (названный Кэли « ближайшим фактором »), стоит первым, а фактор, который помечает столбец (или дальнейший фактор ), является вторым. Например, пересечение строки a и столбца b — это ab , а не ba , как в следующем примере:
Таблица Кэли говорит нам, является ли группа абелевой . Поскольку групповая операция абелевой группы коммутативна , группа является абелевой тогда и только тогда, когда значения ее таблицы Кэли симметричны вдоль ее диагональной оси. Группа {1, −1}, приведенная выше, и циклическая группа порядка 3 при обычном умножении являются примерами абелевых групп, и проверка симметрии их таблиц Кэли подтверждает это. Напротив, наименьшая неабелева группа, группа диэдра порядка 6 , не имеет симметричной таблицы Кэли.
Поскольку при работе с группами ассоциативность считается аксиомой, при работе с таблицами Кэли ее часто воспринимают как нечто само собой разумеющееся. Однако таблицы Кэли можно использовать и для характеристики работы квазигруппы , которая не предполагает ассоциативность как аксиому (действительно, таблицы Кэли можно использовать для характеристики работы любой конечной магмы ). К сожалению, обычно невозможно определить, является ли операция ассоциативной, просто взглянув на ее таблицу Кэли, как это происходит в случае с коммутативностью. Это связано с тем, что ассоциативность зависит от уравнения с тремя членами, в то время как таблица Кэли показывает продукты с двумя членами. Однако тест Лайта на ассоциативность может определить ассоциативность с меньшими усилиями, чем грубая сила.
Поскольку свойство отмены справедливо для групп (и даже для квазигрупп), ни одна строка или столбец таблицы Кэли не может содержать один и тот же элемент дважды. Таким образом, каждая строка и столбец таблицы представляют собой перестановку всех элементов группы. Это сильно ограничивает то, какие таблицы Кэли могут определять допустимую групповую операцию.
Чтобы понять, почему строка или столбец не может содержать один и тот же элемент более одного раза, пусть a , x и y являются элементами группы, причем x и y различны. Тогда в строке, представляющей элемент a , столбец, соответствующий x , содержит продукт ax , и аналогичным образом столбец, соответствующий y , содержит продукт ay . Если бы эти два произведения были равны – то есть, строка a содержала один и тот же элемент дважды, наша гипотеза – тогда ax был бы равен ay . Но поскольку закон сокращения выполняется, мы можем заключить, что если ax = ay , то x = y , противоречие . Следовательно, наша гипотеза неверна, и строка не может содержать один и тот же элемент дважды. Точно такого же аргумента достаточно, чтобы доказать случай столбца, и поэтому мы заключаем, что каждая строка и столбец не содержат ни одного элемента более одного раза. Поскольку группа конечна, принцип группировки гарантирует, что каждый элемент группы будет представлен в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Таким образом, таблица Кэли группы является примером латинского квадрата . Альтернативное и более краткое доказательство следует из свойства отмены . Это свойство подразумевает, что для каждого x в группе одна переменная функция yf(x,y)= xy должна быть взаимно однозначным отображением. Результат следует из того факта, что взаимно-однозначные отображения на конечных множествах являются перестановками.
В стандартной форме таблицы Кэли порядок элементов в строках такой же, как порядок в столбцах. Другая форма состоит в том, чтобы расположить элементы столбцов так, чтобы n -й столбец соответствовал обратному элементу в n -й строке. В нашем примере с D 3 нам нужно поменять местами только два последних столбца, поскольку f и d — единственные элементы, которые не являются обратными сами себе, а являются обратными друг другу.
Этот конкретный пример позволяет нам создать шесть матриц перестановок (все элементы 1 или 0, ровно по одной 1 в каждой строке и столбце). Матрица 6x6, представляющая элемент, будет иметь 1 в каждой позиции, содержащей букву элемента в таблице Кэли, и ноль в каждой другой позиции, дельта-функция Кронекера для этого символа. (Обратите внимание, что e находится в каждой позиции вниз по главной диагонали, что дает нам в данном случае единичную матрицу для матриц 6x6, как и следовало ожидать.) Вот , например, матрица, которая представляет наш элемент a .
Это непосредственно показывает нам , что любая группа порядка n является подгруппой группы перестановок Sn порядка n !.
Вышеуказанные свойства зависят от некоторых аксиом, справедливых для групп. Естественно рассматривать таблицы Кэли для других алгебраических структур, таких как полугруппы , квазигруппы и магмы , но некоторые из вышеперечисленных свойств не выполняются.
