Конечно порожденная абелева группа

Коммутативная группа, в которой каждый элемент представляет собой сумму элементов из одного конечного подмножества.

В абстрактной алгебре абелева группа называется конечно порожденной, если существует конечное число элементов в таких, что каждый из можно записать в виде для некоторых целых чисел . В этом случае мы говорим, что набор является порождающим набором или что генерирует . ${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots +n_{s}x_{s}}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$ ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ ${\displaystyle G}$

Любая конечная абелева группа конечно порождена. Конечно порожденные абелевы группы можно полностью классифицировать.

Примеры

• Целые числа , , являются конечно порожденной абелевой группой. ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$
• Целые числа по модулю ${\displaystyle n}$ , являются конечной (следовательно, конечно порожденной) абелевой группой. ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}$
• Любая прямая сумма конечного числа конечно порожденных абелевых групп снова является конечно порожденной абелевой группой.
• Каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу .

Других примеров (с точностью до изоморфизма) нет. В частности, группа рациональных чисел не является конечно порожденной: ^[1] если это рациональные числа, выберите натуральное число , взаимно простое со всеми знаменателями; тогда не может быть создан с помощью . Группа ненулевых рациональных чисел также не является конечно порожденной. Группы действительных чисел при сложении и ненулевых действительных чисел при умножении также не являются конечно порожденными. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}$

Классификация

Фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах можно сформулировать двумя способами, обобщая две формы фундаментальной теоремы о конечных абелевых группах . Теорема в обеих формах, в свою очередь, обобщается до структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов , которая, в свою очередь, допускает дальнейшие обобщения.

Первичное разложение

Формулировка первичного разложения утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа G изоморфна прямой сумме примарных циклических групп и бесконечных циклических групп . Примарная циклическая группа — это группа, порядок которой равен степени простого числа . То есть каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна группе вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /q_{t}\mathbb {Z} ,}$

где n ≥ 0 — ранг , а числа q ₁ , ..., q _t — степени простых чисел (не обязательно различных). В частности, G конечна тогда и только тогда, когда n = 0. Значения n , q ₁ , ..., q _t ( с точностью до перестановки индексов) определяются однозначно G , т. е. существует один и только один способ представить G как такое разложение.

Доказательство этого утверждения использует базисную теорему для конечной абелевой группы : каждая конечная абелева группа является прямой суммой примарных циклических групп . Обозначим периодическую подгруппу группы G как tG . Тогда G/tG — абелева группа без кручения и, следовательно, свободная абелева. tG — прямое слагаемое группы G , что означает , что существует подгруппа F группы Gst , где . Тогда F также является свободной абелевой. Поскольку tG конечно порожден и каждый элемент tG имеет конечный порядок, tG конечен. По основной теореме для конечной абелевой группы tG можно записать как прямую сумму примарных циклических групп. ${\displaystyle G=tG\oplus F}$ ${\displaystyle F\cong G/tG}$

Инвариантное факторное разложение

Мы также можем записать любую конечно порожденную абелеву группу G в виде прямой суммы вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /{k_{1}}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /{k_{u}}\mathbb {Z} ,}$

где k ₁ делит k ₂ , что делит k ₃ и так далее до k _u . Опять же, ранг n и инвариантные факторы k ₁ , ..., k _u однозначно определяются G (здесь с уникальным порядком). Ранг и последовательность инвариантных факторов определяют группу с точностью до изоморфизма.

Эквивалентность

Эти утверждения эквивалентны в результате китайской теоремы об остатках , из которой следует, что тогда и только тогда, когда j и k взаимно просты . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}$

История

История и заслуга фундаментальной теоремы осложняются тем фактом, что она была доказана, когда теория групп не была устоявшейся, и поэтому ранние формы, хотя по сути и являются современными результатами и доказательствами, часто излагаются для конкретного случая. Вкратце, ранняя форма конечного случая была доказана Гауссом в 1801 году, конечный случай был доказан Кронекером в 1870 году и сформулирован в теоретико-групповых терминах Фробениусом и Стикельбергером в ^{1878 году .} нормальной формой Смита и, следовательно, часто приписывают его (Smith 1861), ^[3] хотя конечно порожденный случай иногда вместо этого приписывают Пуанкаре в 1900 году; ^{[ нужна ссылка ]} Подробности приведены ниже.

Теоретик групп Ласло Фукс утверждает: ^[3]

Что касается фундаментальной теоремы о конечных абелевых группах, то неясно, насколько далеко в прошлое нужно зайти, чтобы проследить ее происхождение. ...потребовалось много времени, чтобы сформулировать и доказать основную теорему в ее нынешнем виде...

Фундаментальная теорема для конечных ^{абелевых} групп была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году ^с использованием теоретико-группового доказательства, ^{[4] хотя} и без формулировки его в теоретико-групповых терминах; ^[5] современное изложение доказательства Кронекера дано в (Stillwell 2012), 5.2.2 Теорема Кронекера, 176–177. Это обобщило более ранний результат Карла Фридриха Гаусса из Disquisitiones Arithmeticae (1801), который классифицировал квадратичные формы; Кронекер привел этот результат Гаусса. Теорема была сформулирована и доказана на языке групп Фердинандом Георгом Фробениусом и Людвигом Штикельбергером в 1878 году. ^{[6] [7]} Другая теоретико-групповая формулировка была дана учеником Кронекера Ойгеном Нетто в 1882 году ^{. [8] [9]}

Фундаментальная теорема для конечно представленных абелевых групп была доказана Генри Джоном Стивеном Смитом в (Smith 1861), ^[3] , поскольку целочисленные матрицы соответствуют конечным представлениям абелевых групп (это обобщается на конечно представленные модули в области главных идеалов), а Смит нормальная форма соответствует классификации конечно представленных абелевых групп.

Фундаментальная теорема для конечно порожденных абелевых групп была доказана Анри Пуанкаре в 1900 году с использованием матричного доказательства (которое обобщается на области главных идеалов). ^{[ нужна цитата ]} Это было сделано в контексте вычисления гомологии комплекса, в частности числа Бетти и коэффициентов кручения измерения комплекса, где число Бетти соответствует рангу свободной части, а коэффициенты кручения соответствуют к торсионной части. ^[4]

Доказательство Кронекера было обобщено на конечно порожденные абелевы группы Эмми Нётер в 1926 году. ^[4]

Следствия

Другими словами, основная теорема гласит, что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых уникальна с точностью до изоморфизма. Конечная абелева группа — это просто периодическая подгруппа группы G. Ранг G определяется как ранг части G без кручения ; это просто число n в приведенных выше формулах.

Следствием фундаментальной теоремы является то, что каждая конечно порожденная абелева группа без кручения является свободной абелевой. Здесь существенным является условие конечно порожденности: не имеет кручения, но не является свободной абелевой. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Каждая подгруппа и фактор-группа конечно порожденной абелевой группы снова является конечно порожденной абелевой. Конечно порожденные абелевы группы вместе с групповыми гомоморфизмами образуют абелеву категорию , которая является подкатегорией Серра категории абелевых групп .

Неконечно порожденные абелевы группы

Обратите внимание, что не каждая абелева группа конечного ранга конечно порождена; группа ранга 1 является одним контрпримером, а группа ранга 0, заданная прямой суммой счетного бесконечного числа копий, является другим. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Смотрите также

• Композиционный ряд в теореме Джордана–Гёльдера является неабелевым обобщением.

Примечания

1. Сильверман и Тейт (1992), с. 102
2. де ла Харп (2000), стр. 46
3. Fuchs, Ласло (2015) [первоначально опубликовано в 1958 году]. Абелевы группы . Спрингер. п. 85. ИСБН 978-3-319-19422-6.
4. Стиллвелл, Джон (2012). «5.2 Структурная теорема для конечно порожденных». Классическая топология и комбинаторная теория групп . п. 175.
5. Вуссинг, Ганс (2007) [1969]. Die Genesis des abstrackten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [ Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп. ]. п. 67.
6. Г. Фробениус, Л. Штикельбергер, Убер Груббен фон вертаушбарен Элементен, Дж. Рейне и. ангью. Матем., 86 (1878), 217–262.
7. Вуссинг (2007), стр. 234–235.
8. Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra , Ойген Нетто, 1882 г.
9. Вуссинг (2007), стр. 234–235.

Рекомендации

• Смит, Генри Дж. Стивен (1861). «О системах линейных неопределенных уравнений и сравнений». Фил. Пер. Р. Сок. Лонд. 151 (1): 293–326. дои : 10.1098/rstl.1861.0016. JSTOR  108738. S2CID  110730515.Перепечатано (стр. 367–409) в Сборнике математических статей Генри Джона Стивена Смита, Vol. Я, под редакцией Дж. У. Л. Глейшера . Оксфорд: Clarendon Press (1894), xcv +603 стр.
• Сильверман, Джозеф Х.; Тейт, Джон Торренс (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. ISBN 978-0-387-97825-3.
• де ла Арп, Пьер (2000). Темы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-31721-2.