Группа с совместимым частичным порядком
В абстрактной алгебре частично упорядоченная группа — это группа ( G , +), наделенная частичным порядком «≤», который является трансляционно-инвариантным ; другими словами, «≤» обладает тем свойством, что для всех a , b и g в G , если a ≤ b , то a + g ≤ b + g и g + a ≤ g + b .
Элемент x группы G называется положительным , если 0 ≤ x . Набор элементов 0 ≤ x часто обозначается G + и называется положительным конусом G .
По трансляционной инвариантности мы имеем a ≤ b тогда и только тогда, когда 0 ≤ - a + b . Таким образом, мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: a ≤ b тогда и только тогда, когда - a + b ∈ G + .
Для общей группы G существование положительного конуса задает порядок в G. Группа G является частично упорядочиваемой группой тогда и только тогда, когда существует подмножество H (которое есть G + ) группы G такое, что:
- 0 ∈ Н
- если a € H и b € H , то a + b € H
- если a ∈ H , то - x + a + x ∈ H для каждого x из G
- если a ∈ H и -a ∈ H , то a = 0
Частично упорядоченная группа G с положительным конусом G + называется неперфорированной, если из n · g ∈ G + для некоторого натурального числа n следует g ∈ G + . Отсутствие перфорации означает, что в положительном конусе G + нет «зазора» .
Если порядок в группе является линейным , то ее называют линейно упорядоченной группой . Если порядок в группе является решеточным порядком , т.е. любые два элемента имеют наименьшую верхнюю границу, то это группа с решетчатым упорядочением (сокращенно l-group , хотя обычно набирается шрифтом l : ℓ-group).
Группа Рисса — это неперфорированная частично упорядоченная группа со свойством немного более слабым, чем свойство решеточно-упорядоченной группы . А именно, группа Рисса удовлетворяет интерполяционному свойству Рисса : если x 1 , x 2 , y 1 , y 2 являются элементами G и x i ⩽ y j , то существует z ∈ G такой, что x i ⩽ z ⩽ y j .
Если G и H — две частично упорядоченные группы, отображение из G в H является морфизмом частично упорядоченных групп, если оно одновременно является групповым гомоморфизмом и монотонной функцией . Частично упорядоченные группы вместе с понятием морфизма образуют категорию .
Частично упорядоченные группы используются при определении оценок полей .
Примеры
- Целые числа в их обычном порядке
- Упорядоченное векторное пространство — это частично упорядоченная группа.
- Пространство Рисса — это решеточно упорядоченная группа.
- Типичным примером частично упорядоченной группы является Z n , где групповая операция представляет собой покомпонентное сложение, и мы пишем ( a 1 ,..., a n ) ≤ ( b 1 ,..., b n ) тогда и только тогда, когда a i ≤ b i (в обычном порядке целых чисел) для всех i = 1,..., n .
- В более общем смысле, если G — частично упорядоченная группа, а X — некоторое множество, то множество всех функций от X до G снова является частично упорядоченной группой: все операции выполняются покомпонентно. Более того , каждая подгруппа G является частично упорядоченной группой: она наследует порядок от G .
- Если A — приблизительно конечномерная C*-алгебра или, в более общем смысле, если A — стабильно конечная единичная C*-алгебра, то K0 ( A ) — частично упорядоченная абелева группа . (Эллиотт, 1976)
Характеристики
Архимед
Архимедово свойство действительных чисел можно обобщить на частично упорядоченные группы.
- Свойство: Частично упорядоченная группа называется архимедовой, если для любого , если и для всех то . Эквивалентно, когда , то для любого существует такое, что .
Полностью закрытый
Частично упорядоченная группа G называется целозамкнутой, если для всех элементов a и b группы G , если a n ⩽ b для всех натуральных n , то a ⩽ 1. [1]
Это свойство несколько сильнее, чем тот факт, что частично упорядоченная группа является архимедовой , хотя для решеточно-упорядоченной группы быть целозамкнутой и быть архимедовой эквивалентно. [2]
Существует теорема о том, что каждая целозамкнутая направленная группа уже абелева . Это связано с тем, что направленная группа вкладывается в полную решеточно-упорядоченную группу тогда и только тогда, когда она целозамкнута. [1]
Смотрите также
Примечание
- ^ АБ Гласс (1999)
- ^ Биркгоф (1942)
Рекомендации
- М. Андерсон и Т. Фейл, Решетчато-упорядоченные группы: введение , Д. Рейдель, 1988.
- Биркгоф, Гаррет (1942). «Решетчато-упорядоченные группы». Анналы математики . 43 (2): 313. дои : 10.2307/1968871. ISSN 0003-486X.
- М. Р. Дарнел, Теория решеточно-упорядоченных групп , Конспект лекций по чистой и прикладной математике 187, Марсель Деккер, 1995.
- Л. Фукс, Частично упорядоченные алгебраические системы , Pergamon Press, 1963.
- Стекло, AMW (1982). Упорядоченные группы перестановок . дои : 10.1017/CBO9780511721243. ISBN 9780521241908.
- Стекло, AMW (1999). Частично упорядоченные группы. ISBN 981449609X.
- В. М. Копытов и А. И. Кокорин (пер. Д. Лувиша), Полностью упорядоченные группы , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
- В.М. Копытов и Н.Я. Медведев, Правоупорядоченные группы , Сибирская школа алгебры и логики, Консультантское бюро, 1996.
- Копытов В.М.; Медведев, Н.Я. (1994). Теория решеточно-упорядоченных групп . дои : 10.1007/978-94-015-8304-6. ISBN 978-90-481-4474-7.
- Р.Б. Мура и А. Ремтулла, Упорядоченные группы , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике 27, Марсель Деккер, 1977.
- Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Университеттекст. 2005. дои : 10.1007/b139095. ISBN 1-85233-905-5., гл. 9.
- Эллиотт, Джордж А. (1976). «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр». Журнал алгебры . 38 : 29–44. дои : 10.1016/0021-8693(76)90242-8.
дальнейшее чтение
Эверетт, CJ; Улам, С. (1945). «Об упорядоченных группах». Труды Американского математического общества . 57 (2): 208–216. дои : 10.2307/1990202 . JSTOR 1990202.
Внешние ссылки