Заказанное поле

В математике упорядоченное поле — это поле вместе с полным упорядочением его элементов, совместимым с полевыми операциями. Основными примерами упорядоченных полей являются рациональные числа и действительные числа со стандартным порядком.

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем в унаследованном порядке. Каждое упорядоченное поле содержит упорядоченное подполе, изоморфное рациональным числам . Каждое дедекиндово полное упорядоченное поле изоморфно действительным числам. В упорядоченном поле квадраты обязательно неотрицательны. Это означает, что комплексные числа не могут быть упорядочены, поскольку квадрат мнимой единицы i равен -1 (что отрицательно в любом упорядоченном поле). Конечные поля не могут быть упорядочены.

Исторически аксиоматизация упорядоченного поля постепенно абстрагировалась от действительных чисел математиками, в том числе Давидом Гильбертом , Отто Гёльдером и Гансом Ханом . В конечном итоге это переросло в теорию Артина-Шрайера упорядоченных полей и формально реальных полей .

Определения

Существует два эквивалентных общих определения упорядоченного поля. Определение полного порядка появилось впервые исторически и представляет собой аксиоматизацию первого порядка порядка как бинарного предиката . Артин и Шрайер дали определение в терминах положительного конуса в 1926 году, которое аксиоматизирует совокупность неотрицательных элементов. Хотя последний имеет более высокий порядок, рассмотрение положительных конусов как максимальных препозитивных конусов обеспечивает более широкий контекст, в котором упорядочение полей является экстремальным частичным упорядочением. $\leq$

Общий заказ

Поле вместе с общим заказом является $(F,+,\cdot \,)$ $\leq$ $F$ упорядоченное поле , если порядок удовлетворяет следующим свойствам для всех $a,b,c\in F:$

если тогда и $a\leq b$ $a+c\leq b+c,$
если и тогда $0\leq a$ $0\leq b$ $0\leq a\cdot b.$

Как обычно, пишем для и . Обозначения и обозначают и соответственно. Элементы с называются положительными. $а<b$ $a\leq b$ $а\neq b$ $b\geq а$ $b>а$ $a\leq b$ $а<b$ $a\in F$ $а>0$

Положительный конус

Апрепозитивный конус илипредварительный порядокполя— этоподмножество, обладающее следующими свойствами:^[1] $F$ $P\subseteq F$

Для и в обоих и находятся в $x$ $y$ $P,$ $x+y$ $x\cdot y$ $P.$
Если тогда В частности, и $x\in F,$ $x^{2}\in P.$ $0=0^{2}\in P$ $1=1^{2}\in P.$
Элемента нет в $-1$ $P.$

Апредупорядоченное поле — это поле, снабженное предварительным порядком. Его ненулевые элементыобразуютподгруппумультипликативной группы $P.$ $P^{*}$ $F.$

Если, кроме того, множество является объединением и мы называем положительным конусом . Ненулевые элементы называются положительными элементами. $F$ $P$ $-P,$ $P$ $F.$ $P$ $F.$

Упорядоченное поле — это поле вместе с положительным конусом. $F$ $P.$

Предпорядки на являются в точности пересечениями семейств положительных конусов на . Положительные конусы являются максимальными предупорядочениями. ^[1] $F$ $F.$

Эквивалентность двух определений

Пусть будет поле. Существует биекция между порядками полей и положительными конусами $F$ $F$ $F.$

Учитывая порядок полей ≤, как в первом определении, набор элементов такой, что образует положительный конус. И наоборот, при положительном конусе, как во втором определении, можно связать полный порядок с , установив значение. Этот полный порядок удовлетворяет свойства первого определения. $x\geq 0$ $F.$ $P$ $F$ $\leq _{P}$ $F$ $x\leq _{P}y$ $y-x\in P.$ $\leq _{P}$

Примеры упорядоченных полей

Примеры упорядоченных полей:

поле рациональных чисел с его стандартным порядком (который также является его единственным порядком); $\mathbb {Q}$
поле действительных чисел со стандартным порядком (который также является его единственным порядком); $\mathbb {R}$
любое подполе упорядоченного поля, такое как действительные алгебраические числа или вычислимые числа , становится упорядоченным полем, ограничивая порядок подполем;
поле рациональных функций , где и являются полиномами с рациональными коэффициентами и , можно превратить в упорядоченное поле, зафиксировав действительное трансцендентное число и определив тогда и только тогда, когда . Это эквивалентно встраиванию в via и ограничению порядка упорядочивания изображения . Таким образом, мы получаем множество различных порядков . $\mathbb {Q} (x)$ $p(x)/q(x)$ $p(x)$ $q(x)$ $q(x)\neq 0$ $\alpha$ $p(x)/q(x)>0$ $p(\alpha )/q(\alpha )>0$ $\mathbb {Q} (x)$ $\mathbb {R}$ $x\mapsto \alpha$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q} (x)$ $\mathbb {Q} (x)$
поле рациональных функций , где и являются полиномами с действительными коэффициентами и , можно превратить в упорядоченное поле, определив, что это означает, что , где и являются старшими коэффициентами и соответственно. Эквивалентно: для рациональных функций мы имеем тогда и только тогда, когда для всех достаточно больших . В этом упорядоченном поле полином больше любого постоянного полинома, и упорядоченное поле не является архимедовым . $\mathbb {R} (x)$ $p(x)/q(x)$ $p(x)$ $q(x)$ $q(x)\neq 0$ $p(x)/q(x)>0$ $p_{n}/q_{m}>0$ $p_{n}\neq 0$ $q_{m}\neq 0$ $p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}$ $q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}$ $f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)$ $f(x)<g(x)$ $f(t)<g(t)$ $t\in \mathbb {R}$ $p(x)=x$
Поле формальных рядов Лорана с действительными коэффициентами, где x считается бесконечно малым и положительным. $\mathbb {R} ((x))$
Транссерии _
настоящие закрытые поля
сверхреальные числа
гиперреальные числа

Сюрреалистические числа образуют собственный класс , а не набор , но в остальном подчиняются аксиомам упорядоченного поля. Каждое упорядоченное поле можно встроить в сюрреалистические числа.

Свойства упорядоченных полей

Недвижимость

x<y\Rightarrow a+x<a+y

Для каждого a , b , c , d в F :

Либо − a ≤ 0 ≤ a, либо a ≤ 0 ≤ − a .
Можно «добавить неравенства»: если a ≤ b и c ≤ d , то a + c ≤ b + d .
Можно «перемножать неравенства с положительными элементами»: если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc .
«Умножение на отрицательные числа переворачивает неравенство»: если a ≤ b и c ≤ 0, то ac ≥ bc .
Если a < b и a , b > 0, то 1/ b < 1/ a .
Квадраты неотрицательны: 0 ≤ a ² для всех a в F . В частности, поскольку 1=1 ² , то 0 ≠ 1. Поскольку 0 ≠ 1, заключаем, что 0 < 1.
Упорядоченное поле имеет характеристику 0. (Поскольку 1 > 0, то 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0 и т. д., и никакая конечная сумма единиц не может равняться нулю.) В частности, конечные поля не могут быть заказал.
Любая нетривиальная сумма квадратов отлична от нуля. Эквивалентно: ^[2]^[3] $\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.$

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем (наследующим индуцированный порядок). Наименьшее подполе изоморфно рациональным числам (как и любое другое поле характеристики 0), и порядок в этом рациональном подполе такой же, как и порядок самих рациональных чисел.

Если каждый элемент упорядоченного поля лежит между двумя элементами своего рационального подполя, то поле называется архимедовым . В противном случае такое поле является неархимедовым упорядоченным полем и содержит бесконечно малые числа . Например, действительные числа образуют архимедово поле, а гипердействительные числа образуют неархимедово поле, поскольку оно расширяет действительные числа элементами, большими, чем любое стандартное натуральное число . ^[4]

Упорядоченное поле F изоморфно полю действительных чисел R тогда и только тогда, когда каждое непустое подмножество F с верхней границей в F имеет наименьшую верхнюю границу в F . Это свойство означает, что поле является архимедовым.

Векторные пространства над упорядоченным полем

Векторные пространства (в частности, n -пространства ) над упорядоченным полем обладают некоторыми особыми свойствами и имеют некоторые специфические структуры, а именно: ориентацию , выпуклость и положительно определенное скалярное произведение . См. Реальное координатное пространство#Геометрические свойства и использование для обсуждения тех свойств R ⁿ , которые можно обобщить на векторные пространства над другими упорядоченными полями.

Упорядочиваемость полей

Каждое упорядоченное поле является формально вещественным полем , т. е. 0 нельзя записать в виде суммы ненулевых квадратов. ^[2]^[3]

И наоборот, каждое формально реальное поле можно снабдить совместимым тотальным порядком, который превратит его в упорядоченное поле. (Этот порядок не обязательно должен быть определен однозначно.) В доказательстве используется лемма Цорна . ^[5]

Конечные поля и, в более общем плане, поля положительной характеристики не могут быть превращены в упорядоченные поля, как показано выше. Комплексные числа также нельзя превратить в упорядоченное поле, поскольку −1 — это квадрат мнимой единицы i . Кроме того, p -адические числа не могут быть упорядочены, поскольку согласно лемме Гензеля Q ₂ содержит квадратный корень из −7, таким образом, 1 ² + 1 ² + 1 ² + 2 ² + √ −7 ) ² = 0, и Q _p ( p > 2) содержит квадратный корень из 1 − p , поэтому ( p − 1)⋅1 ² + ( √ 1 − p ) ² = 0. ^[6]

Топология, индуцированная порядком

Если F снабжено порядковой топологией , возникающей из общего порядка ≤, то аксиомы гарантируют, что операции + и × непрерывны , так что F является топологическим полем .

Топология Харрисона

Топология Харрисона — это топология на множестве порядков X _F формально вещественного поля F. Каждый порядок можно рассматривать как гомоморфизм мультипликативной группы из F ^∗ на ±1. Задание ±1 дискретной топологии и ±1 ^F топологии произведения индуцирует топологию подпространства на X _F . Множества Харрисона образуют основу топологии Харрисона. Произведение представляет собой булево пространство ( компактное , хаусдорфово и полностью несвязное ), а X _F — замкнутое подмножество, следовательно, снова логическое. ^[7]^[8] $H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}$

Вееры и суперупорядоченные поля

Веер на F — это предупорядочение T , обладающее тем свойством, что если S — подгруппа индекса 2 в F ^∗ , содержащая T − {0} и не содержащая −1, то S является упорядочением (т. е. S замкнуто относительно сложения). ^[9] Суперупорядоченное поле — это вполне вещественное поле, в котором множество сумм квадратов образует веер. ^[10]

Смотрите также

Линейно упорядоченная группа – группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
Упорядоченная группа - группа с совместимым частичным порядком.
Заказное кольцо – кольцо с совместимым общим порядком.
Упорядоченное топологическое векторное пространство
Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
Частично упорядоченное кольцо - Кольцо с совместимым частичным порядком.
Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
Поле предпорядка - алгебраическая концепция в теории меры, также называемая алгеброй множеств.
Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.

Примечания

^ Аб Лам (2005) с. 289
^ Аб Лам (2005) с. 41
^ Аб Лам (2005) с. 232
^ Баир, Жак; Генри, Валери. «Неявное дифференцирование с помощью микроскопов» (PDF) . Льежский университет . Проверено 4 мая 2013 г.
^ Лам (2005) с. 236
^ Квадраты квадратных корней √ −7 и √ 1 − p находятся в Q , но <0, так что эти корни не могут находиться в Q , что означает, что их p -адические разложения не являются периодическими.
^ Лам (2005) с. 271
^ Лам (1983), стр. 1–2.
^ Лам (1983) с. 39
^ Лам (1983) с. 45