Частично упорядоченная группа

Группа с совместимым частичным порядком

В абстрактной алгебре частично упорядоченная группа — это группа ( G , +), снабженная частичным порядком «≤», который инвариантен относительно трансляции ; другими словами, «≤» обладает тем свойством, что для всех a , b и g в G , если a ≤ b, то a + g ≤ b + g и g + a ≤ g + b .

Элемент x группы G называется положительным, если 0 ≤ x . Множество элементов 0 ≤ x часто обозначается как G ⁺ и называется положительным конусом группы G.

По инвариантности трансляции имеем a ≤ b тогда и только тогда, когда 0 ≤ - a + b . Таким образом, мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: a ≤ b тогда и только тогда, когда - a + b ∈ G ⁺ .

Для общей группы G существование положительного конуса определяет порядок на G. Группа G является частично упорядочиваемой группой тогда и только тогда, когда существует подмножество H (которое есть G ⁺ ) группы G такое, что:

• 0 ∈ Н
• если a ∈ H и b ∈ H , то a + b ∈ H
• если a ∈ H , то - x + a + x ∈ H для каждого x из G
• если a ∈ H и - a ∈ H , то a = 0

Частично упорядоченная группа G с положительным конусом G ⁺ называется неперфорированной , если n · g ∈ G ⁺ для некоторого положительного целого числа n влечет g ∈ G ^{+ . Неперфорированность означает, что в положительном конусе} G ⁺ нет «щели» .

Если порядок в группе является линейным порядком , то говорят, что это линейно упорядоченная группа . Если порядок в группе является решетчатым порядком , т. е. любые два элемента имеют наименьшую верхнюю границу, то это решетчато-упорядоченная группа (сокращенно l-группа , хотя обычно набирается шрифтом l : ℓ-группа).

Группа Рисса — это неперфорированная частично упорядоченная группа со свойством, немного более слабым, чем свойство решеточно-упорядоченной группы. А именно, группа Рисса удовлетворяет интерполяционному свойству Рисса : если x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ — элементы G и x _i ≤ y _j , то существует z ∈ G такой, что x _i ≤ z ≤ y _j .

Если G и H — две частично упорядоченные группы, отображение из G в H является морфизмом частично упорядоченных групп, если оно является как гомоморфизмом групп , так и монотонной функцией . Частично упорядоченные группы вместе с этим понятием морфизма образуют категорию .

Частично упорядоченные группы используются при определении оценок полей .

Примеры

• Целые числа в их обычном порядке
• Упорядоченное векторное пространство — это частично упорядоченная группа.
• Пространство Рисса — это решеточно-упорядоченная группа
• Типичным примером частично упорядоченной группы является Z ⁿ , где групповой операцией является покомпонентное сложение, и мы записываем ( a ₁ ,..., an ₎ ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) тогда и только тогда, когда a _i ≤ b _i (в обычном порядке целых чисел) для всех i = 1,..., n .
• В более общем случае, если G — частично упорядоченная группа, а X — некоторое множество, то множество всех функций из X в G снова является частично упорядоченной группой: все операции выполняются покомпонентно. Более того, каждая подгруппа G является частично упорядоченной группой: она наследует порядок от G.
• Если A — приблизительно конечномерная C*-алгебра или, в более общем случае, если A — стабильно конечная унитальная C*-алгебра, то K 0 ( A ) — частично упорядоченная абелева группа . (Эллиотт, 1976)

Характеристики

Архимедов

Архимедовость действительных чисел можно обобщить на частично упорядоченные группы.

Свойство: Частично упорядоченная группа называется архимедовой , когда для любого , если и для всех то . Эквивалентно, когда , то для любого , существует такое , что . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle e\leq a\leq b}$ ${\displaystyle a^{n}\leq b}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle a\neq e}$ ${\displaystyle b\in G}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b<a^{n}}$

Полностью закрытый

Частично упорядоченная группа G называется целозамкнутой, если для всех элементов a и b группы G , если a ⁿ ≤ b для всех натуральных n, то a ≤ 1. ^[1]

Это свойство несколько сильнее, чем тот факт, что частично упорядоченная группа является архимедовой , хотя для решеточно-упорядоченной группы быть целозамкнутой и быть архимедовой эквивалентно. ^[2] Существует теорема о том, что каждая целозамкнутая направленная группа уже абелева . Это связано с тем фактом, что направленная группа вложима в полную решеточно-упорядоченную группу тогда и только тогда, когда она целозамкнута. ^[1]

Смотрите также

• Циклически упорядоченная группа  – группа с циклическим порядком, соблюдаемым групповой операцией.
• Линейно упорядоченная группа  – группа с трансляционно инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
• Упорядоченное поле  – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченное кольцо  – кольцо с совместимым общим порядкомСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство  – векторное пространство с частичным порядком
• Частично упорядоченное кольцо  – Кольцо с совместимым частичным порядком
• Частично упорядоченное пространство  – Частично упорядоченное топологическое пространство

Примечание

1. Glass (1999)
2. Биркгоф (1942)

Ссылки

• М. Андерсон и Т. Файль, Упорядоченные решеточные группы: введение , Д. Рейдель, 1988.
• Биркгоф, Гарретт (1942). «Группы, упорядоченные решеткой». Анналы математики . 43 (2): 313. doi :10.2307/1968871. ISSN  0003-486X.
• MR Darnel, Теория решеточно-упорядоченных групп , Конспект лекций по чистой и прикладной математике 187, Марсель Деккер, 1995.
• Л. Фукс, Частично упорядоченные алгебраические системы , Pergamon Press, 1963.
• Glass, AMW (1982). Упорядоченные группы перестановок . doi :10.1017/CBO9780511721243. ISBN 9780521241908.
• Glass, AMW (1999). Частично упорядоченные группы. ISBN 981449609X.
• В. М. Копытов и А. И. Кокорин (перевод Д. Лувиша), Полностью упорядоченные группы , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
• В. М. Копытов и Н. Я. Медведев, Правоупорядоченные группы , Сибирская школа алгебры и логики, Бюро консультантов, 1996.
• Копытов, В. М.; Медведев, Н. Я. (1994). Теория решеточно-упорядоченных групп . doi :10.1007/978-94-015-8304-6. ISBN 978-90-481-4474-7.
• Р. Б. Мура и А. Ремтулла, Упорядочиваемые группы , Конспект лекций по чистой и прикладной математике 27, Марсель Деккер, 1977.
• Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Universitext. 2005. doi :10.1007/b139095. ISBN 1-85233-905-5., гл. 9.
• Эллиотт, Джордж А. (1976). «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр». Журнал алгебры . 38 : 29–44. doi :10.1016/0021-8693(76)90242-8.

Дальнейшее чтение

Эверетт, К. Дж.; Улам, С. (1945). «О упорядоченных группах». Труды Американского математического общества . 57 (2): 208–216. doi : 10.2307/1990202 . JSTOR  1990202.

Внешние ссылки

• Копытов, В.М. (2001) [1994], "Частично упорядоченная группа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Копытов, В.М. (2001) [1994], "Решеточно-упорядоченная группа", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• В данной статье использованы материалы частично упорядоченной группы PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .