Ноль функции

Точка, в которой значение функции равно нулю

В математике ноль (также иногда называемый корнем ) действительной , комплексной или вообще векторной функции является членом области определения , которая обращается в нуль в ; то есть функция достигает значения 0 в или, что то же самое, является решением уравнения . ^[1] «Ноль» функции, таким образом, является входным значением, которое дает на выходе 0. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Корнем многочлена является ноль соответствующей полиномиальной функции . ^[1] Основная теорема алгебры показывает, что любой ненулевой многочлен имеет число корней, не более равное его степени , и что число корней и степень равны, когда рассматривают комплексные корни (или, в более общем смысле, корни в алгебраически замкнутом расширении ) считаются с их кратностями . ^[3] Например, многочлен второй степени, определенный как, имеет два корня (или нуля), равные 2 и 3 . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6}$

$${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ and }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

Если функция отображает действительные числа в действительные числа, то ее нули — это координаты точек, где ее график пересекается с осью x . Альтернативное имя для такой точки в этом контексте — -intercept . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$

Решение уравнения

Любое уравнение с неизвестным можно переписать в виде ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

перегруппировав все термины в левой части. Отсюда следует, что решения такого уравнения являются в точности нулями функции . Другими словами, «нуль функции» — это в точности «решение уравнения, полученное приравниванием функции к 0», а изучение нулей функций — это совершенно то же самое, что изучение решений уравнений. ${\displaystyle f}$

Полиномиальные корни

Каждый действительный многочлен нечетной степени имеет нечетное количество действительных корней (с учетом кратностей ); аналогично действительный многочлен четной степени должен иметь четное количество действительных корней. Следовательно, действительные нечетные многочлены должны иметь хотя бы один действительный корень (поскольку наименьшее нечетное целое число равно 1), тогда как четные многочлены могут не иметь ни одного. Этот принцип можно доказать, ссылаясь на теорему о промежуточном значении : поскольку полиномиальные функции непрерывны , значение функции должно пересекать ноль в процессе перехода от отрицательного к положительному или наоборот (что всегда происходит для нечетных функций).

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры гласит, что каждый многочлен степени имеет комплексные корни, учитываемые с учетом их кратностей. Невещественные корни многочленов с вещественными коэффициентами входят в сопряженные пары. ^[2] Формулы Виеты связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Вычисление корней

Вычисление корней функций, например полиномиальных функций , часто требует использования специализированных или аппроксимирующих методов (например, метода Ньютона ). Однако некоторые полиномиальные функции, в том числе все функции степени не выше 4, могут иметь все корни, выраженные алгебраически через их коэффициенты (подробнее см. «Алгебраическое решение »).

Нулевой набор

В различных областях математики нулевым множеством функции называется множество всех ее нулей . Точнее, если функция с действительным знаком (или, в более общем смысле, функция, принимающая значения в некоторой аддитивной группе ), ее нулевой набор — это обратный образ in . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$

Согласно той же гипотезе о кодобласти функции, множество уровня функции является нулевым множеством функции для некоторых значений в кодомене функции. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f.}$

Нулевое множество линейной карты также известно как ее ядро .

Конулевое множество функции является дополнением нулевого множества (т. е. подмножества, на котором ненулевое значение). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Приложения

В алгебраической геометрии первое определение алгебраического многообразия осуществляется через нулевые множества. В частности, аффинное алгебраическое множество — это пересечение нулевых множеств нескольких многочленов в кольце многочленов над полем . В этом контексте нулевое множество иногда называют нулевым локусом . ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$

В анализе и геометрии любое замкнутое подмножество является нулевым множеством гладкой функции, определенной на всем из . Это распространяется на любое гладкое многообразие как следствие паракомпактности . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В дифференциальной геометрии нулевые множества часто используются для определения многообразий . Важным частным случаем является случай, когда функция является гладкой от до . Если ноль является регулярным значением , то нулевое множество является гладким многообразием размерности по теореме о регулярном значении . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m=p-n}$

Например, единица — сфера в — это нулевое множество вещественной функции . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

Смотрите также

• Теорема Мардена
• Алгоритм поиска корня
• Гипотеза Сендова
• Исчезновение в бесконечности
• Пересечение нуля
• Нули и полюса

Рекомендации

1. «Алгебра — нули/корни многочленов». учебник.math.lamar.edu . Проверено 15 декабря 2019 г.
2. Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, издание для учителей (под ред. Классики). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . п. 535. ИСБН 0-13-165711-9.
3. «Корни и нули (Алгебра 2, Полиномиальные функции)». Матпланета . Проверено 15 декабря 2019 г.

дальнейшее чтение

• Вайсштейн, Эрик В. «Корень». Математический мир .