В математике подмногообразие многообразия — это подмножество , которое само по себе имеет структуру многообразия и для которого карта включения удовлетворяет определенным свойствам. Существуют разные типы подмногообразий в зависимости от того, какие именно свойства требуются. Разные авторы часто дают разные определения.
В дальнейшем мы предполагаем, что все многообразия являются дифференцируемыми многообразиями класса для фиксированного и все морфизмы дифференцируемы класса .
Погруженное подмногообразие многообразия — это образ отображения погружения ; в общем случае это изображение не будет подмногообразием как подмножеством, и карта погружения даже не обязательно должна быть инъективной (взаимно однозначной) — она может иметь самопересечения. [1]
В более узком смысле можно потребовать, чтобы отображение было инъекцией (взаимно-однозначной), в которой мы называем это инъективным погружением и определяем погруженное подмногообразие как подмножество изображений вместе с топологией и дифференциальной структурой, такой, что это многообразие и включение является диффеоморфизмом : это просто топология на , которая в общем случае не согласуется с топологией подмножества: в общем случае подмножество не является подмногообразием в топологии подмножества.
Для любого инъективного погружения образу in можно однозначно задать структуру погруженного подмногообразия, так что оно является диффеоморфизмом . Отсюда следует, что погруженные подмногообразия являются в точности образами инъективных погружений.
Топология подмногообразия на погруженном подмногообразии не обязательно должна быть топологией подпространства , унаследованной от . В общем, она будет тоньше , чем топология подпространства (т. е. будет иметь больше открытых множеств ).
Погруженные подмногообразия встречаются в теории групп Ли , где подгруппы Ли являются естественно погруженными подмногообразиями. Они также появляются при изучении слоений , где погруженные подмногообразия обеспечивают правильный контекст для доказательства теоремы Фробениуса .
Вложенное подмногообразие (также называемое регулярным подмногообразием ) — это погруженное подмногообразие, для которого карта включения является топологическим вложением . То есть топология подмногообразия такая же, как топология подпространства.
Любое вложение многообразия в изображение естественным образом имеет структуру вложенного подмногообразия. То есть вложенные подмногообразия — это в точности образы вложений.
Существует внутреннее определение вложенного подмногообразия, которое часто оказывается полезным. Пусть – -мерное многообразие, и пусть – целое число такое, что . -мерное вложенное подмногообразие - это такое подмножество , что для каждой точки существует карта , содержащая такую, которая является пересечением -мерной плоскости с . Пары образуют атлас дифференциальной структуры на .
Теорема Александера и теорема Джордана – Шенфлиса являются хорошими примерами гладких вложений.
В литературе используются и другие варианты подмногообразий. Аккуратное подмногообразие — это многообразие, граница которого совпадает с границей всего многообразия. [2] Шарп (1997) определяет тип подмногообразия, который находится где-то между вложенным подмногообразием и погруженным подмногообразием.
Многие авторы также определяют топологические подмногообразия. Это то же самое, что и подмногообразия с . [3] Вложенное топологическое подмногообразие не обязательно является регулярным в смысле существования локальной карты в каждой точке, расширяющей вложение. Контрпримеры включают дикие дуги и дикие узлы .
Учитывая любое погруженное подмногообразие , касательное пространство к точке в можно естественно рассматривать как линейное подпространство касательного пространства к in . Это следует из того, что отображение включения является погружением и обеспечивает инъекцию
Предположим, S — погруженное подмногообразие в . Если карта включения закрыта, то на самом деле это вложенное подмногообразие . И наоборот, если — вложенное подмногообразие, которое также является замкнутым подмножеством , то отображение включения замкнуто. Отображение включения замкнуто тогда и только тогда, когда оно является собственным (т. е. прообразы компактов компактны). Если замкнуто, то называется замкнутым вложенным подмногообразием в . Замкнутые вложенные подмногообразия образуют лучший класс подмногообразий.
Гладкие многообразия иногда определяют как вложенные подмногообразия реального координатного пространства . Эта точка зрения эквивалентна обычному абстрактному подходу, поскольку по теореме вложения Уитни любое гладкое (абстрактное) -многообразие со счётом второй секунды можно гладко вложить в .
