В математике , а точнее в полиэдральной комбинаторике , многогранник Голдберга — это выпуклый многогранник, состоящий из шестиугольников и пятиугольников . Впервые они были описаны в 1937 году Майклом Голдбергом (1902–1990). Они определяются тремя свойствами: каждая грань является либо пятиугольником, либо шестиугольником, в каждой вершине сходятся ровно три грани , и они обладают вращательной икосаэдрической симметрией . Они не обязательно зеркально симметричны ; например, GP(5,3) и GP(3,5) являются энантиоморфами друг друга. Многогранник Голдберга — это двойственный многогранник геодезического многогранника .
Следствием формулы многогранника Эйлера является то, что многогранник Голдберга всегда имеет ровно двенадцать пятиугольных граней. Икосаэдрическая симметрия гарантирует, что пятиугольники всегда правильные и их всегда 12. Если вершины не ограничены сферой, многогранник можно построить с плоскими равносторонними (но не в общем случае равноугольными) гранями.
Простыми примерами многогранников Голдберга являются додекаэдр и усеченный икосаэдр . Другие формы можно описать, взяв ход шахматного коня из одного пятиугольника в другой: сначала сделать m шагов в одном направлении, затем повернуть на 60° влево и сделать n шагов. Такой многогранник обозначается GP( m , n ). Додекаэдр — это GP(1,0) , а усеченный икосаэдр — это GP(1,1).
Аналогичный метод может быть применен для построения многогранников с тетраэдрической симметрией и октаэдрической симметрией . Эти многогранники будут иметь треугольники или квадраты, а не пятиугольники. Эти вариации имеют римские числовые индексы, обозначающие количество сторон на нешестиугольных гранях: GP III ( n , m ), GP IV ( n , m ) и GP V ( n , m ).
Число вершин, ребер и граней GP ( m , n ) можно вычислить из m и n , при этом T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 − mn , в зависимости от одной из трех систем симметрии: [1] Число нешестиугольных граней можно определить с помощью характеристики Эйлера, как показано здесь .
Большинство многогранников Голдберга можно построить с помощью нотации многогранников Конвея, начиная с (T)etrahedron, (C)ube и (D)odecahedron seed. Оператор фаски , c , заменяет все ребра шестиугольниками, преобразуя GP ( m , n ) в GP (2 m ,2 n ) с множителем T 4. Усеченный оператор kis , y = tk , генерирует GP (3,0), преобразуя GP ( m , n ) в GP (3 m ,3 n ) с множителем T 9.
Для форм класса 2 двойственный оператор kis , z = dk , преобразует GP ( a , 0) в GP ( a , a ) с множителем T 3. Для форм класса 3 оператор вихря , w , генерирует GP (2, 1) с множителем T 7. Генератор вихря по часовой стрелке и против часовой стрелки, w w = wrw генерирует GP (7, 0) в классе 1. В общем случае вихрь может преобразовать GP( a , b ) в GP( a + 3 b , 2 ab ) для a > b и того же хирального направления. Если хиральные направления поменять местами, GP( a , b ) становится GP(2 a + 3 b , a − 2 b ), если a ≥ 2 b , и GP(3 a + b , 2 b − a ), если a < 2 b .