Риманова поверхность

Одномерное комплексное многообразие

Открытое подмножество римановой поверхности для многозначной функции f ( z ) = log ( z ).

В математике , особенно в комплексном анализе , риманова поверхность представляет собой одномерное комплексное многообразие .

Грубо говоря, это означает, что любая риманова поверхность образуется путем склейки открытых подмножеств комплексной плоскости C с помощью голоморфных отображений склейки .

Примеры римановых поверхностей включают графики многозначных функций, таких как √z или log(z) , например, подмножество пар ( z,w ) ∈ C ² с w = log(z) .

Каждая риманова поверхность является поверхностью : двумерным вещественным многообразием , но она содержит больше структуры (в частности, комплексную структуру ). И наоборот, двумерное вещественное многообразие можно превратить в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и метризуемо . Таким образом, сфера и тор допускают сложные структуры, а лента Мёбиуса , бутылка Клейна и реальная проективная плоскость — нет.

Каждая компактная риманова поверхность является комплексной алгебраической кривой по теореме Чоу и теореме Римана-Роха .

Римановы поверхности были впервые изучены Бернхардом Риманом и названы в его честь .

Определения

Существует несколько эквивалентных определений римановой поверхности.

1. Риманова поверхность X — это комплексное многообразие комплексной размерности один. Это означает, что X — связное хаусдорфово пространство , наделенное атласом карт открытого единичного круга комплексной плоскости : для каждой точки x ∈ X существует окрестность точки x , гомеоморфная открытому единичному кругу комплексной плоскости: плоскости, а карты перехода между двумя перекрывающимися диаграммами должны быть голоморфными .
2. Риманова поверхность — это ориентированное многообразие (вещественной) размерности два — двусторонняя поверхность — вместе с конформной структурой . Опять же, многообразие означает , что локально в любой точке x пространства X гомеоморфно подмножеству вещественной плоскости. Дополнение «Риман» означает, что X наделено дополнительной структурой, позволяющей измерять углы на многообразии, а именно классом эквивалентности так называемых римановых метрик . Две такие метрики считаются эквивалентными, если измеряемые ими углы одинаковы. Выбор класса эквивалентности метрик на X является дополнительным данным конформной структуры.

Сложная структура порождает конформную структуру путем выбора стандартной евклидовой метрики , заданной на комплексной плоскости, и переноса ее в X с помощью диаграмм. Показать, что конформная структура определяет сложную структуру, сложнее. ^[1]

Примеры

• Комплексная плоскость C является основной римановой поверхностью.
• Каждое открытое подмножество комплексной плоскости U ⊆ C является римановой поверхностью. В более общем смысле, каждое непустое открытое подмножество римановой поверхности является римановой поверхностью.

  

  Сфера Римана и стереографическая проекция.

• 2 -сфера S ² имеет уникальную структуру римановой поверхности, называемую сферой Римана . У него есть два открытых подмножества, которые мы отождествляем с комплексной плоскостью, стереографически проецируя ее с северного или южного полюса.

  ${\displaystyle \mathbf {C} \ {\stackrel {}{\hookrightarrow }}\ S^{2}\ {\stackrel {}{\hookleftarrow }}\ \mathbf {C} .}$

  На пересечении этих двух открытых множеств составление одного вложения с обратным другому дает

  ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\times }\ \to \ \mathbf {C} ^{\times }\ \ \ \,\ \ \ z\ \mapsto \ z^{-1}.}$

  Это отображение перехода голоморфно, поэтому эти два вложения определяют структуру римановой поверхности на S ² . В качестве множеств S ² = C ∪ {∞}. Сфера Римана имеет другое описание: проективная прямая CP ¹ = ( C ² - {0})/ C ^× .

  

  Тор.

• 2 -тор T ² имеет множество различных структур римановой поверхности, все из которых имеют вид C /( Z  +  τ  Z ), где τ — любое комплексное недействительное число. Их называют эллиптическими кривыми .
• Важные примеры некомпактных римановых поверхностей дает аналитическое продолжение .

Алгебраические кривые

• Если P ( x,y ) — любой комплексный многочлен от двух переменных, его точка исчезновения

  {( x,y ) : P ( x,y ) знак равно 0} ⊆ C ²

  определяет риманову поверхность при условии, что на этом локусе нет точек с ∂P/∂x, ∂P/∂y = 0 (или мы ограничиваемся открытым подмножеством, не содержащим таких точек). Это пример алгебраической кривой .
• Каждая эллиптическая кривая является алгебраической кривой, заданной (компактификацией) локуса

  у ² = х ³ + топор + б

  для некоторых комплексных чисел a и b , зависящих от τ . Точка z ∈ C /( Z  +  τ  Z ) отправляется в ( x,y ) = (℘( z ),℘'( z )), где ℘ — эллиптическая функция Вейерштрасса .
• Точно так же поверхности рода g имеют структуры римановой поверхности как (компактификации) гиперэллиптических поверхностей.

  у ² = Q ( Икс ),

  где Q — комплексный многочлен степени 2 g  + 1, такой, что указанное выше не имеет особых точек. Когда g > 1, существуют другие структуры римановой поверхности рода g .

• 
  ж ( z ) = дугсинус z
• 
  ж ( z ) = журнал z
• 
  ж ( z ) знак равно z ^1/2
• 
  ж ( z ) знак равно z ^1/3
• 
  ж ( z ) знак равно z ^1/4

Дальнейшие определения и свойства

Как и любое отображение между комплексными многообразиями, функция f : M → N между двумя римановыми поверхностями M и N называется голоморфной, если для каждой карты g в атласе M и каждой карты h в атласе N отображение h ∘ f ∘ g ⁻¹ голоморфна (как функция из C в C ), где бы она ни была определена. Композиция двух голоморфных отображений голоморфна. Две римановы поверхности M и N называются биголоморфными (или конформно эквивалентными , чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективная голоморфная функция из M в N , обратная которой также голоморфна (оказывается, что последнее условие является автоматическим и может поэтому опустим). Две конформно эквивалентные римановы поверхности практически идентичны.

Ориентируемость

Каждая риманова поверхность, будучи комплексным многообразием, ориентируема как вещественное многообразие. Для комплексных карт f и g с функцией перехода h = f ( g ⁻¹ ( z )), h можно рассматривать как отображение открытого множества R ² в R ^{2 ,} якобиан которого в точке z является просто действительным линейным отображением. заданное умножением на комплексное число h '( z ). Однако вещественный определитель умножения на комплексное число α равен | α | ² , поэтому якобиан h имеет положительный определитель. Следовательно, сложный атлас является ориентированным атласом.

Функции

Каждая некомпактная риманова поверхность допускает непостоянные голоморфные функции (со значениями в C ). Фактически, каждая некомпактная риманова поверхность является многообразием Штейна .

Напротив, на компактной римановой поверхности X каждая голоморфная функция со значениями в C постоянна в силу принципа максимума . Однако всегда существуют непостоянные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в сфере Римана C ∪ {∞}). Точнее, функциональное поле X является конечным расширением C ( t ), функционального поля с одной переменной, т.е. любые две мероморфные функции алгебраически зависимы . Это утверждение распространяется на более высокие измерения, см. Siegel (1955). Мероморфные функции могут быть заданы довольно явно в терминах тэта -функций Римана и отображения поверхности Абеля – Якоби .

Алгебраичность

Все компактные римановы поверхности являются алгебраическими кривыми, поскольку их можно вложить в некоторые . Это следует из теоремы вложения Кодайры и того факта, что на любой комплексной кривой существует положительное линейное расслоение. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Аналитический против алгебраического

Существование непостоянных мероморфных функций можно использовать, чтобы показать, что любая компактная риманова поверхность является проективным многообразием , т. е. может быть задана полиномиальными уравнениями внутри проективного пространства . Фактически можно показать, что любую компактную риманову поверхность можно вложить в комплексное проективное 3-пространство . Это удивительная теорема: римановы поверхности задаются картами локальных исправлений. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность обязательно будет алгебраической. Эта особенность римановых поверхностей позволяет изучать их средствами аналитической или алгебраической геометрии . Соответствующее утверждение для объектов более высокой размерности неверно, т.е. существуют компактные комплексные 2-многообразия, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, каждое проективное комплексное многообразие обязательно алгебраично, см. теорему Чоу .

В качестве примера рассмотрим тор T  :=  C /( Z  +  τ Z ). Функция Вейерштрасса , принадлежащая решетке Z  +  τ Z, является мероморфной функцией на T . Эта функция и ее производная генерируют функциональное поле T . Существует уравнение ${\displaystyle \wp _{\tau }(z)}$ ${\displaystyle \wp _{\tau }'(z)}$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

где коэффициенты g ₂ и g ₃ зависят от τ, что дает эллиптическую кривую E _τ в смысле алгебраической геометрии. Обращение этого достигается с помощью j-инварианта j ( E ), который можно использовать для определения τ и, следовательно, тора.

Классификация римановых поверхностей

Совокупность всех римановых поверхностей можно разделить на три подмножества: гиперболические, параболические и эллиптические римановы поверхности. Геометрически они соответствуют поверхностям с отрицательной, исчезающей или положительной постоянной кривизной сечения . То есть каждая связная риманова поверхность допускает единственную полную двумерную действительную метрику Римана с постоянной кривизной, равной или принадлежащей конформному классу римановых метрик, определяемому ее структурой как римановой поверхности. Это можно рассматривать как следствие существования изотермических координат . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -1,0}$ ${\displaystyle 1}$

В комплексных аналитических терминах теорема униформизации Пуанкаре – Кебе (обобщение теоремы об отображении Римана ) утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одному из следующих:

• Сфера Римана , изоморфная  ; ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$
• Сложный самолет ; ${\displaystyle \mathbf {C} }$
• Открытый диск , изоморфный верхней полуплоскости . ${\displaystyle \mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}}$

Риманова поверхность является эллиптической, параболической или гиперболической в ​​зависимости от того, изоморфно ли ее универсальное накрытие , или . Элементы каждого класса допускают более точное описание. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Эллиптические римановы поверхности

Сфера Римана является единственным примером, поскольку не существует группы , действующей на нее биголоморфными преобразованиями свободно и правильно разрывно , и поэтому любая риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно, сама должна быть изоморфна ей. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$

Параболические римановы поверхности

Если — риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно комплексной плоскости, то она изоморфна одной из следующих поверхностей: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• ${\displaystyle \mathbf {C} }$сам;
• Частное ; ${\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {Z} }$
• Частное где с . ${\displaystyle \mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (\tau )>0}$

Топологически их всего три типа: плоскость, цилиндр и тор . Но если в первых двух случаях структура (параболической) римановой поверхности уникальна, то в третьем случае изменение параметра дает неизоморфные римановы поверхности. Описание параметром дает пространство Тейхмюллера «маркированных» римановых поверхностей (в дополнение к структуре римановой поверхности добавляются топологические данные «маркировки», которую можно рассматривать как фиксированный гомеоморфизм тора). Чтобы получить аналитическое пространство модулей (забыв об маркировке), факторизуется пространство Тейхмюллера по группе классов отображений . В данном случае это модульная кривая . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Гиперболические римановы поверхности

В остальных случаях это гиперболическая риманова поверхность, изоморфная фактору верхней полуплоскости по фуксовой группе (иногда это называют фуксовой моделью поверхности). Топологическим типом может быть любая ориентируемая поверхность, кроме тора и сферы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Особый интерес представляет случай, когда компактно. Тогда его топологический тип описывается его родом . Его пространство Тейхмюллера и пространство модулей -мерны. Можно дать аналогичную классификацию римановых поверхностей конечного типа (то есть гомеоморфных замкнутой поверхности за вычетом конечного числа точек). Однако, вообще говоря, пространство модулей римановых поверхностей бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы допустить такое описание. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 6g-6}$

Карты между римановыми поверхностями

Геометрическая классификация отражена в отображениях между римановыми поверхностями, как подробно описано в теореме Лиувилля и теореме Литтла Пикара : отображения от гиперболического к параболическому и эллиптическому просты, но отображения от эллиптического к параболическому или от параболического к гиперболическому очень ограничены (действительно, обычно постоянны). !). В сфере имеются включения диска в плоскости: но любое голоморфное отображение сферы в плоскость постоянно, любое голоморфное отображение плоскости в единичный диск постоянно (теорема Лиувилля), и фактически любое голоморфное отображение из плоскость в плоскость минус две точки постоянна (теорема Маленького Пикара)! ${\displaystyle \Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},}$

Проколотые сферы

Эти утверждения проясняются рассмотрением типа сферы Римана с рядом проколов. Без проколов это эллиптическая сфера Римана. С одним проколом, который можно разместить на бесконечности, это комплексная плоскость, имеющая параболическую форму. При двух проколах это проколотая плоскость или, альтернативно, кольцо или цилиндр, который является параболическим. При трёх и более проколах это гиперболично – сравните пару штанов . Можно сопоставить один прокол с двумя с помощью экспоненциального отображения (которое является целым и имеет существенную особенность на бесконечности, поэтому не определено на бесконечности и пропускает ноль и бесконечность), но все отображения от нуля проколов до одного или нескольких, или постоянны от одного-двух проколов до трех и более. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}$

Разветвленные покрывающие пространства

Продолжая в том же духе, компактные римановы поверхности могут отображаться в поверхности более низкого рода, но не в более высокий род, за исключением постоянных отображений. Это связано с тем, что голоморфные и мероморфные карты ведут себя локально так, что непостоянные карты являются разветвленными накрывающими картами , а для компактных римановых поверхностей они ограничены формулой Римана-Гурвица в алгебраической топологии , которая связывает эйлерову характеристику пространства и разветвленное накрытие. . ${\displaystyle z\mapsto z^{n},}$

Например, гиперболические римановы поверхности представляют собой разветвленные накрывающие пространства сферы (они имеют непостоянные мероморфные функции), но сфера не покрывает и не отображает иным образом поверхности более высокого рода, за исключением константы.

Изометрии римановых поверхностей

Группа изометрий униформизованной римановой поверхности (эквивалентно группе конформных автоморфизмов ) отражает ее геометрию:

• род 0 – группа изометрии сферы представляет собой группу Мёбиуса проективных преобразований комплексной прямой,
• группа изометрии плоскости — это подгруппа , фиксирующая бесконечность, а проколотой плоскости — подгруппа, оставляющая инвариантным множество, содержащее только бесконечность и ноль: либо фиксируя их обе, либо меняя их местами (1/ z ).
• группа изометрий верхней полуплоскости является вещественной группой Мёбиуса; это сопряжено с группой автоморфизмов диска.
• род 1 - группа изометрии тора находится в общих переводах (как абелева разновидность ), хотя квадратная решетка и шестиугольная решетка имеют симметрию сложения от поворота на 90 ° и 60 °.
• Для рода g  ≥ 2 группа изометрий конечна и имеет порядок не более 84 ( g  − 1) по теореме Гурвица об автоморфизмах ; поверхности, реализующие эту границу, называются поверхностями Гурвица.
• Известно, что любую конечную группу можно реализовать как полную группу изометрий некоторой римановой поверхности. ^[3]
  • Для рода 2 порядок максимизируется поверхностью Больца с порядком 48.
  • Для рода 3 порядок максимизируется квартикой Клейна с порядком 168; это первая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна единственной простой группе порядка 168, которая является второй по величине неабелевой простой группой. Эта группа изоморфна как PSL(2,7) , так и PSL(3,2) .
  • Для рода 4 поверхность Бринга представляет собой высокосимметричную поверхность.
  • Для рода 7 порядок максимизируется поверхностью Макбита с порядком 504; это вторая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна PSL(2,8), четвертой по величине неабелевой простой группе.

Теоретико-функциональная классификация

Приведенная выше схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация римановых поверхностей, которую обычно используют специалисты по комплексной аналитике. Он использует другое определение слов «параболический» и «гиперболический». В этой альтернативной схеме классификации риманова поверхность называется параболической , если на поверхности нет непостоянных отрицательных субгармонических функций, и в противном случае называется гиперболической . ^{[4] [5]} Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, вырождены ли функциональные пространства, отличные от отрицательных субгармонических функций, например, римановы поверхности, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны или на которых все ограниченные гармонические функции являются постоянными. постоянная, или на которой постоянны все положительные гармонические функции и т. д.

Во избежание путаницы классификацию, основанную на метрике постоянной кривизны, будем называть геометрической классификацией , а основанную на вырождении функциональных пространств — теоретико-функциональной классификацией . Например, риманова поверхность, состоящая из «всех комплексных чисел, кроме 0 и 1», является параболической в ​​теоретико-функциональной классификации, но гиперболической в ​​геометрической классификации.

Смотрите также

• Детский рисунок
• Келеровое многообразие
• Поверхность Лоренца
• Группа классов сопоставления
• Двойственность Серра

Теоремы о римановых поверхностях

• Теорема о ветвлении
• Теорема Гурвица об автоморфизмах
• Теорема тождества римановых поверхностей
• Теорема Римана – Роха
• Формула Римана – Гурвица

Примечания

1. См. (Jost 2006, гл. 3.11) построение соответствующей сложной структуры.
2. Ноллет, Скотт. «ТЕОРЕМА КОДАИРЫ И КОМПАКТИФИКАЦИЯ МОДУЛЕЙ МАМФОРДА ПРОСТРАНСТВА Mg» (PDF) .
3. Гринберг, Л. (1974). «Максимальные группы и сигнатуры». Разрывные группы и римановы поверхности: материалы конференции 1973 года в Университете Мэриленда . Анна. Математика. Исследования. Том. 79. стр. 207–226. ISBN 0691081387.
4. Альфорс, Ларс ; Сарио, Лео (1960), Riemann Surfaces (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 204
5. Роден, Бертон; Сарио, Лео (1968), Основные функции (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: D. Von Nostrand Company, Inc., стр. 199, ISBN 9781468480382

Рекомендации

• Фаркас, Гершель М.; Кра, Ирвин (1980), Riemann Surfaces (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90465-8
• Пабло Арес Гастези, Книга «Римановы поверхности» .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157, OCLC  13348052, особ. глава IV.
• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 208–219, ISBN 978-3-540-33065-3
• Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. I (PDF) , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер документа : 10.4171/029, ISBN. 978-3-03719-029-6, МР  2284826, S2CID  119593165
• Лоутон, Шон; Петерсон, Элиша (2009), Пападопулос, Атанас (редактор), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. II , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv : math/0511271 , doi : 10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, МР  2524085, S2CID  16687772
• Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. III , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер документа : 10.4171/103, ISBN. 978-3-03719-103-3
• * Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам». Семинары и конгрессы . Збл  1044.01520.
• Сигель, Карл Людвиг (1955), «Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten», Nachrichten der Akademie der Wissenschaften в Геттингене. II. Mathematisch-Physikalische Klasse , 1955 : 71–77, ISSN  0065-5295, MR  0074061
• Вейль, Герман (2009) [1913], Концепция римановой поверхности (3-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47004-7, МР  0069903

Внешние ссылки

• «Риманова поверхность», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• МакМаллен, К. «Комплексный анализ римановых поверхностей, математика 213b» (PDF) . Гарвардская математика . Гарвардский университет.