Лента Мёбиуса

Неориентируемая поверхность с одним краем

Лента Мёбиуса из бумаги и скотча.

В математике лента Мёбиуса , лента Мёбиуса или петля Мёбиуса ^[а] — это поверхность , которую можно образовать, соединив концы полоски бумаги вместе полуповоротом. Как математический объект он был открыт Иоганном Бенедиктом Листингом и Августом Фердинандом Мёбиусом в 1858 году, но уже появлялся в римских мозаиках третьего века нашей эры . Лента Мёбиуса представляет собой неориентируемую поверхность, а это означает, что внутри нее невозможно последовательно отличить повороты по часовой стрелке от поворотов против часовой стрелки. Каждая неориентируемая поверхность содержит полосу Мёбиуса.

Как абстрактное топологическое пространство , лента Мёбиуса может быть вложена в трехмерное евклидово пространство разными способами: полуповорот по часовой стрелке отличается от полуповорота против часовой стрелки, а также может быть вложен с нечетным числом витков, превышающим один, или с узловатой средней линией. Любые два вложения с одинаковым узлом на центральной линии и одинаковым числом и направлением витков топологически эквивалентны . Все эти вложения имеют только одну сторону, но при вложении в другие пространства лента Мёбиуса может иметь две стороны. Он имеет только одну граничную кривую .

Несколько геометрических конструкций ленты Мёбиуса придают ей дополнительную структуру. По ней можно перемещаться как по линейчатой ​​поверхности отрезком линии, вращающимся во вращающейся плоскости, с самопересечениями или без них. Тонкая бумажная полоска, концы которой соединены в ленту Мёбиуса, может плавно сгибаться в виде развертывающейся поверхности или складываться плоско ; уплощенные ленты Мёбиуса включают тригексафлексагон . Суданская лента Мёбиуса — минимальная поверхность в гиперсфере , а лента Микса Мёбиуса — самопересекающаяся минимальная поверхность в обычном евклидовом пространстве. И суданская лента Мёбиуса, и другая самопересекающаяся лента Мёбиуса, перекрестная граница, имеют круглую границу. Лента Мёбиуса без края, называемая открытой лентой Мёбиуса, может образовывать поверхности постоянной кривизны . Некоторые высокосимметричные пространства, точки которых представляют собой прямые на плоскости, имеют форму ленты Мёбиуса.

Ленты Мёбиуса применяются во многих сферах, включая механические ремни , которые изнашиваются равномерно с обеих сторон, двухпутные американские горки , каретки которых чередуются между двумя дорожками, а также карты мира, напечатанные так, что антиподы появляются друг напротив друга. Ленты Мёбиуса появляются в молекулах и устройствах с новыми электрическими и электромеханическими свойствами и используются для доказательства результатов невозможности в теории социального выбора . В массовой культуре ленты Мёбиуса появляются в произведениях Эшера , Макса Билла и других, а также в дизайне символа переработки . Многие архитектурные концепции были вдохновлены лентой Мёбиуса, в том числе проект здания Зала славы NASCAR . Исполнители, в том числе Гарри Блэкстоун-старший и Томас Нельсон Даунс, основывали сценические фокусы на свойствах ленты Мёбиуса. С помощью лент Мёбиуса проанализированы каноны И.С. Баха . Во многих произведениях спекулятивной фантастики используются ленты Мёбиуса; В более общем смысле, в художественной литературе распространена структура сюжета, основанная на ленте Мёбиуса, где события повторяются с неожиданными поворотами.

История

Открытие ленты Мёбиуса как математического объекта независимо приписывается немецким математикам Иоганну Бенедикту Листингу и Августу Фердинанду Мёбиусу в 1858 году . ^[2] Однако она была известна задолго до этого как как физический объект, так и в художественных изображениях; в частности, его можно увидеть на нескольких римских мозаиках третьего века нашей эры. ^{[3] [4]} Во многих случаях они просто изображают скрученные ленты в качестве границ. При нечетном числе витков эти ленты представляют собой ленты Мёбиуса, но при четном числе витков они топологически эквивалентны раскрученным кольцам . Следовательно, то, является ли лента лентой Мёбиуса, может быть случайным, а не осознанным выбором. По крайней мере, в одном случае лента с разными цветами на разных сторонах была нарисована с нечетным количеством витков, что заставило художника неуклюже подправлять места, где цвета не совпадали . ^[3] Другая мозаика из города Сентинум (изображена) изображает зодиак , принадлежащий богу Айону , в виде ленты с одним поворотом. Нет явных доказательств того, что односторонность этого визуального представления небесного времени была преднамеренной; его можно было выбрать просто как способ заставить все знаки зодиака появиться на видимой стороне полосы. Некоторые другие древние изображения уробуро или украшений в форме восьмерки также предположительно изображают ленты Мёбиуса, но неясно, предназначались ли они для изображения плоских полос любого типа . ^[4]

Независимо от математической традиции, машиностроители давно знали, что механические ремни изнашиваются вдвое быстрее, чем ленты Мёбиуса, поскольку они используют всю поверхность ремня, а не только внутреннюю поверхность нескрученного ремня. ^[3] Кроме того, такой ремень может быть менее склонен к скручиванию из стороны в сторону. Раннее письменное описание этой техники датируется 1871 годом, то есть после первых математических публикаций, посвященных ленте Мёбиуса. Намного раньше изображение цепного насоса в работе Исмаила аль-Джазари 1206 года изображает конфигурацию ленты Мёбиуса для его приводной цепи. ^[4] Еще одно использование этой поверхности было сделано швеями в Париже (дата не указана): они инициировали новичков, требуя от них пришить ленту Мёбиуса в качестве воротника к одежде . ^[3]

Характеристики

2D-объект, пройдя один раз вокруг ленты Мёбиуса, возвращается в зеркальной форме.

Лента Мёбиуса обладает несколькими любопытными свойствами. Это неориентируемая поверхность : если асимметричный двумерный объект скользит один раз по полосе, он возвращается в исходное положение как свое зеркальное отражение. В частности, изогнутая стрелка, указывающая по часовой стрелке (↻), вернется в виде стрелки, указывающей против часовой стрелки (↺), подразумевая, что в пределах ленты Мёбиуса невозможно последовательно определить, что значит быть по часовой стрелке или против часовой стрелки. Это простейшая неориентируемая поверхность: любая другая поверхность неориентируема тогда и только тогда, когда она имеет в качестве подмножества ленту Мёбиуса . ^[5] Соответственно, при вложении в евклидово пространство лента Мёбиуса имеет только одну сторону. Трехмерный объект, который скользит один раз по поверхности полосы, не отражается, а вместо этого возвращается в ту же точку полосы, что локально кажется ее другой стороной, показывая, что обе позиции на самом деле являются частью одной стороны. . Такое поведение отличается от привычных ориентируемых поверхностей в трех измерениях, например, моделируемых плоскими листами бумаги, цилиндрическими соломинками для питья или полыми шариками, у которых одна сторона поверхности не соединена с другой. ^[6] Однако это свойство ее вложения в пространство, а не внутреннее свойство самой ленты Мёбиуса: существуют другие топологические пространства, в которые ленту Мёбиуса можно вложить так, чтобы она имела две стороны. ^[7] Например, если переднюю и заднюю грани куба склеить друг с другом с зеркальным отражением влево-вправо, в результате получится трехмерное топологическое пространство (декартово произведение ленты Мёбиуса с интервалом) в у которого верхняя и нижняя половины куба могут быть отделены друг от друга двусторонней лентой Мёбиуса. ^[б] В отличие от дисков, сфер и цилиндров, для которых можно одновременно вложить в трехмерное пространство несчетное множество непересекающихся копий, одновременно можно вложить только счетное число лент Мёбиуса. ^{[9] [10] [11]}

Путь вдоль края ленты Мёбиуса, прослеживаемый до тех пор, пока он не вернется в исходную точку на краю, включает все граничные точки ленты Мёбиуса в одну непрерывную кривую. Лента Мёбиуса, полученная путем склеивания и скручивания прямоугольника, имеет длину в два раза больше средней линии ленты. В этом смысле лента Мёбиуса отличается от раскрученного кольца и, подобно круговому диску, тем, что имеет только одну границу. ^[6] Ленту Мёбиуса в евклидовом пространстве нельзя переместить или растянуть до зеркального отображения; это киральный объект с праворукостью или леворукостью. ^[12] Ленты Мёбиуса с нечетным числом полуповоротов, превышающих единицу, или завязанные перед склейкой, отличаются как вложенные подмножества трехмерного пространства, хотя все они эквивалентны как двумерные топологические поверхности. ^[13] Точнее, две ленты Мёбиуса эквивалентно вложены в трехмерное пространство, когда их центральные линии определяют один и тот же узел и имеют одинаковое количество витков, что и друг друга . ^[14] Однако при четном числе витков получается другая топологическая поверхность, называемая кольцом . ^[15]

Ленту Мёбиуса можно плавно трансформировать в ее осевую линию, делая ее уже и фиксируя точки на осевой линии. Это преобразование является примером ретракции деформации , и его существование означает, что лента Мёбиуса обладает многими из тех же свойств, что и ее центральная линия, которая топологически представляет собой круг. В частности, его фундаментальная группа такая же, как фундаментальная группа круга, бесконечная циклическая группа . Следовательно, пути на ленте Мёбиуса, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же точке, можно топологически отличить (с точностью до гомотопии ) только по количеству раз, когда они обходят ленту. ^[16]

Разрезание ленты Мёбиуса по центральной линии ножницами дает одну длинную полосу с четырьмя полуповоротами (относительно раскрученного кольца или цилиндра), а не две отдельные полосы. Два полуповорота возникают из-за того, что эта более тонкая полоска дважды проходит через полуповорот в исходной ленте Мёбиуса, а два других возникают из-за того, что две половинки более тонкой полосы оборачиваются друг вокруг друга. В результате получается не лента Мёбиуса, а топологически эквивалентный цилиндру. Разрезав эту полосу двойной скрутки еще раз вдоль ее центральной линии, получим две соединенные полосы двойной скрутки. Если вместо этого разрезать ленту Мёбиуса вдоль на треть ширины, получится две связанные ленты. Один из двух представляет собой центральную, более тонкую ленту Мёбиуса, а другой имеет два полуповорота. ^[6] Эти взаимосвязанные формы, образованные продольными срезами лент Мёбиуса различной ширины, иногда называют парадромными кольцами . ^{[17] [18]}

Ленту Мёбиуса можно разрезать на шесть смежных областей, показывая, что карты на поверхности ленты Мёбиуса иногда могут требовать шести цветов, в отличие от теоремы о четырёх цветах для плоскости. ^[19] Шести цветов всегда достаточно. Этот результат является частью теоремы Рингеля-Янгса , которая утверждает, сколько цветов нужно каждой топологической поверхности. ^[20] Ребра и вершины этих шести областей образуют граф Титце , который является двойственным графом на этой поверхности для полного графа с шестью вершинами, но не может быть нарисован без пересечений на плоскости . Другое семейство графов, которые можно вложить на ленту Мёбиуса, но не на плоскость, — это лестницы Мёбиуса , границы подразделений ленты Мёбиуса на прямоугольники, пересекающиеся из конца в конец. ^[21] К ним относится граф полезности, полный двудольный граф с шестью вершинами , вложение которого в ленту Мёбиуса показывает, что, в отличие от плоскости, задача трёх полезностей может быть решена на прозрачной ленте Мёбиуса. ^[22] Эйлерова характеристика ленты Мёбиуса равна нулю , что означает, что для любого подразделения полосы вершинами и ребрами на области числа , , и вершин, ребер и областей удовлетворяют . Например, граф Титце имеет вершины, ребра и области; . ^[19] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V-E+F=0}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 12-18+6=0}$

Конструкции

Существует множество различных способов определения геометрических поверхностей с топологией ленты Мёбиуса, что дает реализации с дополнительными геометрическими свойствами.

Проведение сегмента линии

Один из способов встроить ленту Мёбиуса в трехмерное евклидово пространство — вытеснить ее отрезком, вращающимся в плоскости, которая, в свою очередь, вращается вокруг одной из своих прямых. ^[23] Чтобы скользящая поверхность встретилась сама с собой после полуповорота, отрезок линии должен вращаться вокруг своего центра со скоростью, равной половине угловой скорости вращения плоскости. Это можно описать как параметрическую поверхность , определяемую уравнениями для декартовых координат ее точек:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u\\y(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v)&={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}\\\end{aligned}}}$$

,. ^[24]выметаемогосвязным. ^[25] ${\displaystyle 0\leq u<2\pi }$ ${\displaystyle -1\leq v\leq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

Линия или сегмент линии, совершающие другое движение, вращаясь в горизонтальной плоскости вокруг начала координат при движении вверх и вниз, образует коноид или цилиндроид Плюкера , алгебраическую линейчатую поверхность в форме самопересекающейся ленты Мёбиуса. ^[26] Он находит применение при проектировании зубчатых передач . ^[27]

Многогранные поверхности и плоские складки

Тригексафлексагон сгибается

Полоску бумаги можно сформировать сплющенную на плоскости ленту Мёбиуса, сложив ее под углами так, чтобы ее центральная линия лежала вдоль равностороннего треугольника , и соединив концы. Самая короткая полоса, для которой это возможно, состоит из трёх равносторонних треугольников, сложенных по краям в месте стыка двух треугольников. Его соотношение сторон  – отношение длины полосы ^[c] к ее ширине – равно , и тот же метод складывания работает для любого большего соотношения сторон. ^{[28] [29]} Для полосы из девяти равносторонних треугольников в результате получается тригексафлексагон , который можно согнуть, чтобы обнажить различные части его поверхности. ^[30] Если полоски слишком короткие, чтобы напрямую применить этот метод, можно сначала «сложить гармошкой» полосу в широком направлении вперед и назад, используя четное количество складок. Например, при двух сгибах полоса станет сложенной полосой, поперечное сечение которой имеет форму буквы «N» и останется буквой «N» после полуповорота. Затем более узкую полоску, сложенную гармошкой, можно сложить и соединить так же, как и более длинную полоску . ^{[28] [29]} ${\displaystyle 60^{\circ }}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 1\times {\tfrac {1}{3}}}$

Пятивершинные многогранники и плоско сложенные ленты Мёбиуса

Ленту Мёбиуса также можно встроить в виде многогранной поверхности в пространстве или сложить в плоскости, при этом только пять треугольных граней имеют пять общих вершин. В этом смысле он проще цилиндра , для которого требуется шесть треугольников и шесть вершин, даже если его представить более абстрактно как симплициальный комплекс . ^{[31] [d]} Пятитреугольную ленту Мёбиуса наиболее симметрично можно представить пятью из десяти равносторонних треугольников четырёхмерного правильного симплекса . Эта четырехмерная многогранная лента Мёбиуса — единственная плотная лента Мёбиуса, которая полностью четырёхмерна и для которой все разрезы гиперплоскостями разделяют её на две части, топологически эквивалентные дискам или окружностям. ^[32]

Другие многогранные вложения лент Мёбиуса включают одно с четырьмя выпуклыми четырехугольниками в качестве граней, другое с тремя невыпуклыми четырехугольными гранями ^[33] и одно с использованием вершин и центральной точки правильного октаэдра с треугольной границей. ^[34] Любую абстрактную триангуляцию проективной плоскости можно встроить в 3D как многогранную ленту Мёбиуса с треугольной границей после удаления одной из ее граней; ^{В [35]} примером может служить шестивершинная проективная плоскость, полученная добавлением одной вершины к пятивершинной ленте Мёбиуса, соединенной треугольниками с каждым ее граничным ребром. ^[31] Однако не каждая абстрактная триангуляция ленты Мёбиуса может быть представлена ​​геометрически в виде многогранной поверхности. ^[36] Для реализации необходимо и достаточно, чтобы в триангуляции не было двух непересекающихся нестягиваемых 3-циклов . ^[37]

Плавно вложенные прямоугольники

Прямоугольная лента Мёбиуса, полученная путем соединения концов бумажного прямоугольника, может быть плавно встроена в трёхмерное пространство, если её соотношение сторон больше , то же соотношение, что и для плоско сложенной равносторонней версии ленты Мёбиуса . ^[38] Эта плоская треугольная заделка может быть преобразована в гладкую ^[e] заделку в трех измерениях, в которой полоса лежит плоско в трех параллельных плоскостях между тремя цилиндрическими роликами, каждый из которых касается двух плоскостей . ^[38] Математически гладко вложенный лист бумаги можно смоделировать как развертывающуюся поверхность , которая может сгибаться, но не растягиваться. ^{[39] [40]} Поскольку его соотношение сторон уменьшается в сторону , все гладкие вложения кажутся приближающимися к одной и той же треугольной форме. ^[41] ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Продольные сгибы сложенной гармошкой плоской ленты Мёбиуса не позволяют ей образовывать объемную заделку, при которой слои отделены друг от друга и плавно изгибаются, не сминаясь и не растягиваясь из-под складок . ^[29] Вместо этого, в отличие от плоско сложенного случая, существует нижний предел соотношения сторон гладких прямоугольных лент Мёбиуса. Их соотношение сторон не может быть меньше , даже если разрешены самопересечения. Самопересекающиеся гладкие ленты Мёбиуса существуют для любого соотношения сторон, превышающего эту границу. ^{[29] [42]} Без самопересечений соотношение сторон должно быть не менее ^[43] ${\displaystyle \pi /2\approx 1.57}$

$${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.}$$

Нерешенная задача по математике :

Можно ли склеить бумажный прямоугольник встык, чтобы получилась гладкая лента Мёбиуса, погруженная в пространство? ^[ф] ${\displaystyle 12\times 7}$

(еще нерешенные задачи по математике)

Что касается соотношений сторон между этой границей и , ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ остается открытой проблема, существуют ли гладкие вложения без самопересечения . ^{[29] [42] [43]} В 2023 году Ричард Шварц объявил о доказательстве того, что их не существует, но этот результат все еще ожидает рецензирования и публикации. ^{[44] [45]} Если требование гладкости ослаблено, чтобы обеспечить непрерывно дифференцируемые поверхности, теорема Нэша – Койпера предполагает, что любые два противоположных края любого прямоугольника можно склеить, чтобы сформировать вложенную ленту Мёбиуса, независимо от того, насколько мало соотношение сторон. становится. ^[g] Предельный случай, поверхность, полученная из бесконечной полосы плоскости между двумя параллельными прямыми, склеенными с противоположной ориентацией друг к другу, называется неограниченной лентой Мёбиуса или вещественным тавтологическим расслоением . ^[46] Хотя оно не имеет гладкого замкнутого вложения в трехмерное пространство, его можно гладко вложить как замкнутое подмножество четырехмерного евклидова пространства. ^[47]

Форма гладкой ленты Мёбиуса, склеенной из прямоугольника, с минимальной энергией не имеет известного аналитического описания, но может быть рассчитана численно и была предметом многочисленных исследований в теории пластин с момента первой работы Майкла по этому вопросу в 1930 году. Садовский . ^{[39] [40]} Также возможно найти алгебраические поверхности , содержащие прямоугольные развертывающиеся ленты Мёбиуса. ^{[48] ​​[49]}

Делаем границу круглой

Край или граница ленты Мёбиуса топологически эквивалентна окружности . В обычных формах ленты Мёбиуса она имеет форму, отличную от круга, но не завязана , и поэтому всю ленту можно растягивать, не пересекая себя, чтобы сделать край идеально круглым. ^[50] Один из таких примеров основан на топологии бутылки Клейна , односторонней поверхности без границ, которую нельзя встроить в трехмерное пространство, но можно погрузить (позволяя поверхности пересекать себя определенными ограниченными способами). . Бутылка Клейна — это поверхность, которая получается, когда две ленты Мёбиуса склеиваются друг с другом, и — обращая этот процесс вспять — бутылку Клейна можно разрезать по тщательно выбранному разрезу, чтобы получить две ленты Мёбиуса. ^[51] Для формы бутылки Клейна, известной как бутылка Клейна Лоусона, кривая, по которой она разрезается, может быть сделана круглой, в результате чего получаются ленты Мёбиуса с круглыми краями. ^[52]

Бутылка Клейна Лоусона — это самопересекающаяся минимальная поверхность в единичной гиперсфере четырёхмерного пространства, набор точек вида

$${\displaystyle (\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )}$$

. ^[53]большим кругомграницы. ^[54]1970-х годах. ^[55]окружностям. ^{[52] [56]} Стереографическая проекцияграниц. ^[52]центральной линии. ^[54], группе. ^[53] ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \phi <\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$

Схематическое изображение крестовины с открытым дном с указанием наборов ее уровней . Эта поверхность пересекает себя по вертикальному отрезку.

Суданская лента Мёбиуса простирается со всех сторон пограничного круга, что неизбежно, если поверхность не хочет пересекать сама себя. Другая форма ленты Мёбиуса, называемая крестовиной или крестовиной , также имеет круглую границу, но в остальном остается только на одной стороне плоскости этой окружности, ^[57] что делает ее более удобной для прикрепления к круглым отверстиям на других поверхностях. . Для этого он крестится. Его можно образовать, удалив четырехугольник из вершины полушария, ориентируя края четырехугольника в чередующихся направлениях, а затем склеивая противоположные пары этих ребер в соответствии с этой ориентацией. ^[58] Две части поверхности, образованные двумя склеенными парами ребер, пересекают друг друга с точкой защемления, подобной зонтику Уитни, на каждом конце пересекающегося сегмента, ^[59] та же самая топологическая структура, наблюдаемая в коноиде Плюкера . ^[26]

Поверхности постоянной кривизны

Открытая лента Мёбиуса — это относительная внутренняя часть стандартной ленты Мёбиуса, образованная путём исключения точек на её граничном крае. Ему может быть задана риманова геометрия постоянной положительной, отрицательной или нулевой гауссовой кривизны . Случаи отрицательной и нулевой кривизны образуют геодезически полные поверхности, а это означает, что все геодезические («прямые линии» на поверхности) могут продолжаться бесконечно в любом направлении.

Нулевая кривизна

Разомкнутую полосу нулевой кривизны можно построить, склеив противоположные стороны плоской полосы между двумя параллельными линиями, описанными выше как тавтологическое расслоение линий. ^[46] Полученная метрика превращает открытую ленту Мёбиуса в (геодезически) полную плоскую поверхность (т.е. всюду имеющую нулевую гауссову кривизну). Это уникальная метрика на ленте Мёбиуса с точностью до равномерного масштабирования, которая одновременно плоская и полная. Это факторпространство плоскости по скользящему отражению и (вместе с плоскостью, цилиндром , тором и бутылкой Клейна ) является одним из пяти двумерных полных плоских многообразий . ^[60]

Отрицательная кривизна

Открытая лента Мёбиуса допускает также полные метрики постоянной отрицательной кривизны. Один из способов убедиться в этом — начать с модели верхней полуплоскости (Пуанкаре) гиперболической плоскости — геометрии постоянной кривизны, линии которой представлены в модели полукругами, пересекающимися с -осью под прямым углом. Возьмите подмножество верхней полуплоскости между любыми двумя вложенными полукругами и отождествите внешний полукруг с переворотом внутреннего полукруга влево-вправо. В результате получается топологически полная и некомпактная лента Мёбиуса с постоянной отрицательной кривизной. Это «нестандартная» полная гиперболическая поверхность в том смысле, что она содержит полную гиперболическую полуплоскость (на самом деле две, на противоположных сторонах оси скольжения-отражения) и является одной из всего 13 нестандартных поверхностей. ^[61] Опять же, это можно понимать как частное гиперболической плоскости к скользящему отражению. ^[62] ${\displaystyle x}$

Положительная кривизна

Лента Мёбиуса постоянной положительной кривизны не может быть полной, так как известно, что единственными полными поверхностями постоянной положительной кривизны являются сфера и проективная плоскость . ^[60] Однако в некотором смысле это всего лишь одна точка от полной поверхности, поскольку открытая лента Мёбиуса гомеоморфна однажды проколотой проективной плоскости, поверхности, полученной удалением любой одной точки из проективной плоскости. ^[63]

Минимальные поверхности описываются как имеющие постоянную нулевую среднюю кривизну вместо постоянной гауссовой кривизны. Суданская лента Мёбиуса была построена как минимальная поверхность, ограниченная большим кругом в 3-сфере, но существует также уникальная полная (безграничная) минимальная поверхность, погруженная в евклидово пространство, имеющая топологию открытой ленты Мёбиуса. Она называется лентой Микса Мёбиуса ^[64] по названию ее, описанной в 1982 году Уильямом Гамильтоном Миксом III . ^[65] Несмотря на глобальную нестабильность в качестве минимальной поверхности, небольшие ее участки, ограниченные несжимаемыми кривыми внутри поверхности, могут образовывать стабильные вложенные ленты Мёбиуса в качестве минимальных поверхностей. ^[66] И полоса Микса Мёбиуса, и каждая минимальная поверхность более высокой размерности с топологией ленты Мёбиуса могут быть построены с использованием решений задачи Бьёрлинга , которая определяет минимальную поверхность однозначно по её граничной кривой и касательным плоскостям вдоль этой кривой . . ^[67]

Пространства линий

Семейству линий на плоскости можно придать структуру гладкого пространства, где каждая линия представлена ​​как точка в этом пространстве. Полученное пространство линий топологически эквивалентно открытой ленте Мёбиуса. ^[68] Один из способов убедиться в этом — расширить евклидову плоскость до реальной проективной плоскости , добавив еще одну линию, линию, находящуюся на бесконечности . В силу проективной двойственности пространство прямых на проективной плоскости эквивалентно пространству точек, самой проективной плоскости. Удаление бесконечной линии для создания пространства евклидовых линий прокалывает это пространство проективных линий. ^[69] Следовательно, пространство евклидовых прямых представляет собой проколотую проективную плоскость, которая является одной из форм открытой ленты Мёбиуса. ^[63] Пространство линий на гиперболической плоскости можно параметризовать неупорядоченными парами различных точек окружности, парами точек на бесконечности каждой прямой. Это пространство опять-таки имеет топологию открытой ленты Мёбиуса. ^[70]

Эти пространства линий очень симметричны. Симметрии евклидовых прямых включают аффинные преобразования , а симметрии гиперболических прямых включают преобразования Мёбиуса . ^[71] Аффинные преобразования и преобразования Мёбиуса образуют 6-мерные группы Ли , топологические пространства, имеющие совместимую алгебраическую структуру , описывающую композицию симметрий. ^{[72] [73]} Поскольку каждая линия на плоскости симметрична любой другой прямой, открытая лента Мёбиуса представляет собой однородное пространство , пространство с симметриями, которые переводят каждую точку в любую другую точку. Однородные пространства групп Ли называются солвмногообразиями , и лента Мёбиуса может быть использована в качестве контрпримера , показывающего, что не каждое солвмногообразие является нильмногообразием и что не каждое солвмногообразие может быть разложено в прямое произведение компактного солвмногообразия с . Эти симметрии также предоставляют другой способ построить саму ленту Мёбиуса как групповую модель этих групп Ли. Групповая модель состоит из группы Ли и подгруппы стабилизатора ее действия; сжатие смежных классов подгруппы до точек создает пространство с той же топологией, что и лежащее в основе однородное пространство. В случае симметрий евклидовых прямых стабилизатор -оси состоит из всех симметрий, переводящих ось в себя. Каждая линия соответствует смежному классу, набору симметрий, которые отображаются на -ось. Следовательно, факторпространство , пространство, которое имеет одну точку на каждый смежный класс и наследует свою топологию от пространства симметрий, совпадает с пространством прямых и снова является открытой лентой Мёбиуса. ^[74] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$

Приложения

Электрический поток в резисторе Мёбиуса

Помимо уже обсуждавшихся применений лент Мёбиуса для проектирования механических ремней, которые изнашиваются равномерно по всей их поверхности, и коноида Плюкера для проектирования зубчатых колес, другие применения лент Мёбиуса включают:

• Графеновые ленты скручены в ленты Мёбиуса с новыми электронными характеристиками, включая спиральный магнетизм ^[75]
• Ароматичность Мёбиуса , свойство органических химических веществ , молекулярная структура которых образует цикл, с молекулярными орбиталями , выровненными вдоль цикла в виде ленты Мёбиуса ^{[76] [77]}
• Резистор Мёбиуса — полоска проводящего материала, закрывающая одну сторону диэлектрической ленты Мёбиуса таким образом, что компенсирует собственную самоиндукцию ^{[78] [79]}
• Резонаторы компактной конструкции и резонансной частотой, вдвое меньшей, чем у линейных катушек идентичной конструкции ^{[80] [81]}
• Картина поляризации света, выходящего из q -пластинки ^[82]
• Доказательство невозможности непрерывных, анонимных и единогласных правил двухсторонней агрегации в теории социального выбора ^[83]
• Американские горки с петлей Мёбиуса , разновидность двухпутных американских горок, в которых две дорожки вращаются вокруг друг друга нечетное количество раз, так что вагоны возвращаются на другую дорожку, отличную от той, с которой они начали ^{[84] [85]}
• Карты мира , проецируемые на ленту Мёбиуса, имеют удобные свойства: нет границ с востока на запад и что антипод любой точки на карте можно найти на другой напечатанной стороне поверхности в той же точке ленты Мёбиуса ^{[ 86] [87]}

Ученые также изучали энергетику мыльных пленок в форме лент Мёбиуса, ^[88] [ ^89] химический синтез молекул с формой лент Мёбиуса, ^{[90] [91]} и формирование более крупных наноразмерных лент Мёбиуса с помощью ДНК-оригами . ^[92]

В популярной культуре

Бесконечный поворот , Макс Билл , 1956, из Музея скульптур под открытым небом Миддельхейма.

Двумерные произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса включают безымянную картину Коррадо Кальи 1947 года (увековеченную в стихотворении Чарльза Олсона ), ^{[93] [94]} и две гравюры М. К. Эшера : Лента Мёбиуса I (1961), изображающие трех сложенных камбал . кусают друг друга за хвосты; и Лента Мёбиуса II (1963), изображающая муравьев, ползающих по ленте Мёбиуса в форме лемнискаты . ^{[95] [96]} Это также популярный предмет математической скульптуры , включая работы Макса Билла ( «Бесконечная лента» , 1953), Хосе де Ривера ( «Бесконечность» , 1967) и Себастьяна . ^[93] Лента Мёбиуса , завязанная трилистником , использовалась в фильме Джона Робинсона « Бессмертие » (1982). ^[97] «Континуум » Чарльза О. Перри (1976) — одно из нескольких произведений Перри, исследующих варианты ленты Мёбиуса. ^[98]

Благодаря своей легко узнаваемой форме ленты Мёбиуса являются распространенным элементом графического дизайна . ^[97] Знакомый логотип с тремя стрелками для вторичной переработки , разработанный в 1970 году, основан на гладкой треугольной форме ленты Мёбиуса , ^[99] так же, как и логотип экологической выставки Expo '74 . ^[100] В некоторых вариантах символа переработки используется другая вставка с тремя полуповоротами вместо одного, ^[99] а в исходной версии логотипа Google Drive использовалась плоско сложенная в три раза лента Мёбиуса, как и в других подобных конструкциях. . ^[101] Бразильский национальный институт математики Pura e Aplicada (IMPA) использует стилизованную гладкую ленту Мёбиуса в качестве своего логотипа, а в своем здании выставлена ​​​​соответствующая большая скульптура ленты Мёбиуса. ^[102] Лента Мёбиуса также использовалась в оформлении почтовых марок таких стран, как Бразилия, Бельгия, Нидерланды и Швейцария. ^{[103] [104]}

Вход в Зал славы NASCAR

Ленты Мёбиуса часто служили источником вдохновения для архитектурного проектирования зданий и мостов. Однако многие из них представляют собой проекты или концептуальные проекты, а не построенные объекты, или расширяют свою интерпретацию ленты Мёбиуса за пределы ее узнаваемости как математической формы или функциональной части архитектуры. ^{[105] [106]} Примером может служить Национальная библиотека Казахстана , для которой здание планировалось в форме утолщенной ленты Мёбиуса, но было обновлено с другим дизайном после того, как первоначальные архитекторы вышли из проекта. ^[107] Одним из примечательных зданий, включающих ленту Мёбиуса, является Зал славы NASCAR , окруженный большой витой лентой из нержавеющей стали, действующей как фасад и навес и напоминающей изогнутые формы гоночных трасс. ^[108] В меньшем масштабе стул Мебиуса (2006) Педро Рейеса представляет собой скамейку для ухаживания , основание и боковые стороны которой имеют форму ленты Мёбиуса. ^[109] Как форма математики и волоконного искусства , шарфы вяжут в ленты Мёбиуса со времен работ Элизабет Циммерманн в начале 1980-х годов. ^[110] В кулинарии ленты Мёбиуса использовались для нарезки бубликов , ^[111] изготовления петель из бекона , ^[112] и создания новых форм макаронных изделий . ^[113]

Хотя с математической точки зрения лента Мёбиуса и четвертое измерение являются чисто пространственными концепциями, в спекулятивной фантастике они часто используются как основа временной петли , в которую могут попасть неосторожные жертвы. Примерами этого образа являются «Бессторонний профессор» Мартина Гарднера (1946), « Метро по имени Мебиус » Армина Джозефа Дойча (1950) и основанный на нем фильм « Мебиус » (1996). Целый мир, имеющий форму ленты Мёбиуса, является местом действия «Стены тьмы» Артура Кларка (1946), в то время как обычные ленты Мёбиуса используются в качестве умных изобретений во многих рассказах Уильяма Хэзлетта Апсона 1940-х годов. ^[114] Другие художественные произведения были проанализированы как имеющие структуру, подобную ленте Мёбиуса, в которой элементы сюжета повторяются с изюминкой; К ним относятся «В поисках утраченного времени» Марселя Пруста ( 1913–1927), «Шесть персонажей в поисках автора» Луиджи Пиранделло (1921), « Эта чудесная жизнь » Фрэнка Капры (1946), « Затерянные в «Дом веселья» (1968), «Далгрен » Сэмюэля Р. Делани ( 1975) и фильм «Донни Дарко» (2001). ^[115]

Один из музыкальных канонов И.С. Баха , пятый из 14 канонов ( BWV 1087 ), обнаруженный в 1974 году в баховской копии « Гольдберг-вариаций» , отличается скользяще-отражательной симметрией, при которой каждый голос в каноне повторяет с перевернутыми нотами одно и то же. мотив из двух тактов ранее. Из-за этой симметрии партитуру этого канона можно считать записанной на ленте Мёбиуса. ^{[116] [h]} В теории музыки тона, отличающиеся на октаву, обычно считаются эквивалентными нотами, а пространство возможных нот образует круг, хроматический круг . Поскольку лента Мёбиуса представляет собой конфигурационное пространство двух неупорядоченных точек окружности, пространство всех двухнотных аккордов принимает форму ленты Мёбиуса. Эта концепция и ее обобщения на другие аспекты представляют собой важное применение орбифолдов в теории музыки . ^{[117] [118]} Современные музыкальные группы, получившие свое название от ленты Мёбиуса, включают американское электронное рок-трио Mobius Band ^[119] и норвежскую прогрессив-рок-группу Ring Van Möbius . ^[120]

Ленты Мёбиуса и их свойства использовались при оформлении сценического фокуса . Один из таких трюков, известный как афганские ленты, основан на том факте, что лента Мёбиуса, если ее разрезать вдоль, остается единой. Он зародился в 1880-х годах и был очень популярен в первой половине ХХ века. Существует множество версий этого трюка, которые исполнялись известными иллюзионистами, такими как Гарри Блэкстоун-старший и Томас Нельсон Даунс . ^{[121] [122]}

Смотрите также

• Счетчик Мёбиуса — сдвиговый регистр, выходной бит которого дополняется перед передачей обратно во входной бит.
• Треугольник Пенроуза — невозможная фигура, граница которой, кажется, обертывается вокруг нее лентой Мёбиуса.
• Теория ленты — математическая теория бесконечно тонких полосок, следующих за узловатыми пространственными кривыми.
• Аттрактор Смейла-Вильямса , фрактал, образованный путем многократного утолщения пространственной кривой до ленты Мёбиуса и последующей замены ее граничным краем.
• Пупочный тор

Примечания

1. Произносится в США : / ˈ m oʊ b i ə s , ˈ m eɪ -/ MOH -bee-əs, MAY - , Великобритания : / ˈ m ɜː b i ə s / ; ^[1] Немецкий: [ˈmøːbi̯ʊs] . Как это обычно бывает со словами, содержащими умлаут , его также часто пишут как Мебиус или Мебиус .
2. По сути, этот пример, но для бутылки Клейна , а не для ленты Мёбиуса, приведен Блэкеттом (1982). ^[8]
3. Длину ленты можно измерить по ее центральной линии или разрезав полученную ленту Мёбиуса перпендикулярно ее границе так, чтобы она образовала прямоугольник.
4. Плоская сложенная лента Мёбиуса, образованная из трех равносторонних треугольников, не происходит из абстрактного симплициального комплекса , поскольку все три треугольника имеют одни и те же три вершины, в то время как абстрактные симплициальные комплексы требуют, чтобы каждый треугольник имел разный набор вершин.
5. Это кусочно-плоское и цилиндрическое вложение имеет класс гладкости и может быть сколь угодно точно аппроксимировано бесконечно дифференцируемыми вложениями (класса ) . ^[39] ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$
6. 12/7 — простейшее рациональное число в диапазоне соотношений сторон от 1,695 до 1,73, для которого существование плавного вложения неизвестно.
7. Эти поверхности имеют класс гладкости . Более детальный анализ предположений о гладкости, которые требуют возможности развития вложения, по сравнению с предположениями, при которых теорема Нэша – Койпера допускает сколь угодно гибкие вложения, см. в замечаниях Bartels & Hornung (2015), p. 116, следуя теореме 2.2. ^[39] ${\displaystyle C^{1}}$
8. Ленты Мёбиуса также использовались для анализа многих других канонов Баха и других, но в большинстве этих случаев другие петлевые поверхности, такие как цилиндр, могли использоваться с одинаковой эффективностью. ^[116]

Рекомендации

1. Уэллс, Джон К. (2008). Словарь произношения Лонгмана (3-е изд.). Лонгман. ISBN 978-1-4058-8118-0.
2. Пиковер, Клиффорд А. (2005). Лента Мёбиуса: чудесная группа доктора Августа Мёбиуса в области математики, игр, литературы, искусства, технологий и космологии. Пресс Громовой Пасты. стр. 28–29. ISBN 978-1-56025-826-1.
3. Ларисон, Лоррейн Л. (1973). «Лента Мёбиуса в римских мозаиках». Американский учёный . 61 (5): 544–547. Бибкод : 1973AmSci..61..544L. JSTOR  27843983.
4. Картрайт, Джулиан HE ; Гонсалес, Диего Л. (2016). «Ленты Мёбиуса до Мёбиуса: топологические намеки в древних представлениях». Математический интеллект . 38 (2): 69–76. arXiv : 1609.07779 . Бибкод : 2016arXiv160907779C. дои : 10.1007/s00283-016-9631-8. MR  3507121. S2CID  119587191.
5. Флапан, Эрика (2000). Когда топология встречается с химией: топологический взгляд на молекулярную хиральность . Перспективы. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 82–83. дои : 10.1017/CBO9780511626272. ISBN 0-521-66254-0. МР  1781912.
6. Pickover (2005), стр. 8–9.
7. Уолл, Джон В. младший (весна 1971 г.). «Односторонние поверхности и ориентируемость». Двухлетний математический журнал колледжа . 2 (1): 5–18. дои : 10.2307/3026946. JSTOR  3026946.
8. Блэкетт, Дональд В. (1982). Элементарная топология: комбинаторный и алгебраический подход . Академическая пресса. п. 195. ИСБН 9781483262536.
9. Фролкина, Ольга Д. (2018). «Попарно непересекающиеся ленты Мебиуса в космосе». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 27 (9): 1842005, 9. arXiv : 2212.02983 . дои : 10.1142/S0218216518420051. MR  3848635. S2CID  126421578.
10. Лэмб, Эвелин (20 февраля 2019 г.). «Ленты Мёбиуса бросают вызов связи с бесконечностью». Журнал Кванта .
11. Мелихов, Сергей А. (2019). "Заметка к статье О. Фролкиной "Попарно непересекающиеся ленты Мебиуса в пространстве"". Журнал теории узлов и ее разветвлений . 28 (7): 1971001, 3. arXiv : 1810.04089 . doi : 10.1142/s0218216519710019. MR  3975576. S2CID  119179202.
12. Пиковер (2005), с. 52.
13. Пиковер (2005), с. 12.
14. Кайл, Р.Х. (1955). «Вложения лент Мёбиуса в трехмерное пространство». Труды Королевской Ирландской академии, раздел А. 57 : 131–136. JSTOR  20488581. MR  0091480.
15. Пиковер (2005), с. 11.
16. Мэсси, Уильям С. (1991). Базовый курс алгебраической топологии. Тексты для аспирантов по математике. Том. 127. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 49. ИСБН 0-387-97430-Х. МР  1095046.
17. Роуз Болл, WW (1892). «Парадромные кольца». Математические воссоздания и проблемы прошлого и настоящего (2-е изд.). Лондон и Нью-Йорк: Макмиллан и компания. стр. 53–54. ISBN 9780608377803.
18. Беннетт, GT (июнь 1923 г.). «Парадромные кольца». Природа . 111 (2800): 882. Бибкод : 1923Natur.111R.882B. дои : 10.1038/111882b0 . S2CID  4099647.
19. Титце, Генрих (1910). «Einige Bemerkungen zum Issue des Kartenfärbens auf einseitigen Flächen» (PDF) . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 19 : 155–159.
20. Рингель, Г .; Янгс, JWT (1968). «Решение задачи раскраски карт Хивуда». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 60 (2): 438–445. Бибкод : 1968PNAS...60..438R. дои : 10.1073/pnas.60.2.438 . МР  0228378. ПМК 225066 . ПМИД  16591648. 
21. Джаблан, Славик; Радович, Лиляна; Сазданович, Радмила (2011). «Непланарные графы, полученные на основе кодов Гаусса виртуальных узлов и связей». Журнал математической химии . 49 (10): 2250–2267. doi : 10.1007/s10910-011-9884-6. MR  2846715. S2CID  121332704.
22. Ларсен, Могенс Эсром (1994). «Неправильное понимание моих запутанных лабиринтов может сделать меня несчастным». В Гае, Ричард К .; Вудро, Роберт Э. (ред.). Материалы конференции памяти Эжена Стренса по занимательной математике и ее истории, состоявшейся в Университете Калгари, Калгари, Альберта, август 1986 г. МАА Спектр. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 289–293. ISBN 0-88385-516-Х. МР  1303141.. См. рисунок 7, с. 292.
23. Машке, Генрих (1900). «Заметка об односторонней поверхности Мебиуса». Труды Американского математического общества . 1 (1): 39. дои : 10.2307/1986401 . JSTOR  1986401. MR  1500522.
24. Юнгхенн, Хьюго Д. (2015). Курс реального анализа. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 430. ИСБН 978-1-4822-1927-2. МР  3309241.
25. Секен, Карло Х. (2005). «Расщепление торов, узлов и лент Мебиуса». В Сарханги, Реза; Муди, Роберт В. (ред.). Ренессанс Банф: математика, музыка, искусство, культура . Юго-западный колледж, Уинфилд, Канзас: Конференция Бриджеса. стр. 211–218. ISBN 0-9665201-6-5.
26. Фрэнсис, Джордж К. (1987). «Коноид Плюкера». Топологическая книжка с картинками . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. стр. 81–83. ISBN 0-387-96426-6. МР  0880519.
27. Дунер, Дэвид Б.; Сейрег, Али (1995). «3.4.2 Цилиндроид». Кинематическая геометрия зубчатых передач: параллельный инженерный подход . Серия Wiley в области проектирования. Том. 3. Джон Уайли и сыновья. стр. 135–137. ISBN 9780471045977.
28. Барр, Стивен (1964). Эксперименты по топологии. Нью-Йорк: Компания Томаса Ю. Кроуэлла. стр. 40–49, 200–201. ISBN 9780690278620.
29. Фукс, Дмитрий ; Табачников, Серж (2007). «Лекция 14: Бумажная лента Мёбиуса». Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике (PDF) . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 199–206. дои : 10.1090/mbk/046. ISBN 978-0-8218-4316-1. MR  2350979. Архивировано из оригинала (PDF) 24 апреля 2016 г.
30. Пук, Лес (2003). «4.2: Новый взгляд на тригексафлексагон». Флексагоны наизнанку . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 33–36. дои : 10.1017/CBO9780511543302. ISBN 0-521-81970-9. МР  2008500.
31. Кюнель, В.; Банчофф, Т.Ф. (1983). «9-вершинная комплексная проективная плоскость» (PDF) . Математический интеллект . 5 (3): 11–22. дои : 10.1007/BF03026567. MR  0737686. S2CID  120926324.
32. Койпер, Николаас Х. (1972). «Точные топологические вложения ленты Мебиуса». Журнал дифференциальной геометрии . 6 (3): 271–283. дои : 10.4310/jdg/1214430493 . МР  0314057.
33. Силасси, Лайош (2008). «Многогранная модель в евклидовом трехмерном пространстве шестипятиугольного отображения проективной плоскости». Дискретная и вычислительная геометрия . 40 (3): 395–400. дои : 10.1007/s00454-007-9033-y . MR  2443291. S2CID  38606607.
34. Такерман, Брайант (1948). «Неособая многогранная лента Мёбиуса, граница которой представляет собой треугольник». Американский математический ежемесячник . 55 (5): 309–311. дои : 10.2307/2305482. JSTOR  2305482. MR  0024138.
35. Боннингтон, К. Пол; Накамото, Ацухиро (2008). «Геометрическая реализация триангуляции на проективной плоскости с удаленной одной гранью». Дискретная и вычислительная геометрия . 40 (1): 141–157. дои : 10.1007/s00454-007-9035-9 . MR  2429652. S2CID  10887519.
36. Брем, Ульрих (1983). «Немногогранная треугольная лента Мёбиуса». Труды Американского математического общества . 89 (3): 519–522. дои : 10.2307/2045508. JSTOR  2045508. МР  0715878.
37. Накамото, Ацухиро; Цучия, Шоичи (2012). «О геометрически реализуемых триангуляциях Мёбиуса». Дискретная математика . 312 (14): 2135–2139. дои : 10.1016/j.disc.2011.06.007 . МР  2921579.
38. Хинц, Денис Ф.; Фрид, Элиот (2015). «Перевод статьи Майкла Садовски «Элементарное доказательство существования развертывающейся ленты Мёбиуса и отнесение геометрической проблемы к вариационной задаче»". Journal of Elasticity . 119 (1–2): 3–6. arXiv : 1408.3034 . doi : 10.1007/s10659-014-9490-5. MR  3326180. S2CID  119733903.Перепечатано в Fosdick, Roger; Фрид, Элиот (2016). Механика лент и лент Мёбиуса (PDF) . Спрингер, Дордрехт. стр. 3–6. дои : 10.1007/978-94-017-7300-3. ISBN 978-94-017-7299-0. МР  3381564.
39. Бартельс, Сёрен; Хорнунг, Питер (2015). «Гибка бумаги и лента Мёбиуса». Журнал эластичности . 119 (1–2): 113–136. дои : 10.1007/s10659-014-9501-6. MR  3326187. S2CID  119782792.Перепечатано в Fosdick & Fried (2016), стр. 113–136. См., в частности, раздел 5.2, стр. 129–130.
40. Старостин, Е.Л.; ван дер Хейден, GHM (2015). «Равновесные формы с локализацией напряжений для нерастяжимых упругих лент Мёбиуса и других». Журнал эластичности . 119 (1–2): 67–112. дои : 10.1007/s10659-014-9495-0 . MR  3326186. S2CID  53462568.Перепечатано в Fosdick & Fried (2016), стр. 67–112.
41. Шварц, Гидеон Э. (1990). «Темная сторона ленты Мебиуса». Американский математический ежемесячник . 97 (10): 890–897. дои : 10.1080/00029890.1990.11995680. JSTOR  2324325. МР  1079975.
42. Халперн, Б.; Уивер, К. (1977). «Переворот цилиндра посредством изометрических погружений и изометрических вложений». Труды Американского математического общества . 230 : 41–70. дои : 10.2307/1997711 . JSTOR  1997711. МР  0474388.
43. Шварц, Ричард Эван (2021). «Улучшенная оценка оптимальной бумажной ленты Мебиуса». Геометрии посвященные . 215 : 255–267. arXiv : 2008.11610 . дои : 10.1007/s10711-021-00648-5. МР  4330341. S2CID  220279013.
44. Шварц, Ричард (2023). «Оптимальная бумажная лента Мебиуса». arXiv : 2308.12641 [math.MG].
45. Кроуэлл, Рэйчел (12 сентября 2023 г.). «Математики решают головоломку с лентой Мёбиуса 50-летней давности». Научный американец .
46. Дандас, Бьёрн Ян (2018). «Пример 5.1.3: Неограниченная лента Мёбиуса». Краткий курс дифференциальной топологии . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета, Кембридж. п. https://books.google.com/books?id=7a1eDwAAQBAJ&pg=PA101. дои : 10.1017/9781108349130. ISBN 978-1-108-42579-7. МР  3793640. S2CID  125997451.
47. Блануша, Данило (1954). «Изометрическое удлинение бесконечной ленты Мёбиуса, большой евклид в пространстве сферы, параболическое или гиперболическое в четырех измерениях». Международный бюллетень Югославской академии наук и изящных искусств . 12 :19–23. МР  0071060.
48. Вундерлих, В. (1962). «Über ein abwickelbares Möbiusband». Монашефте по математике . 66 (3): 276–289. дои : 10.1007/BF01299052. MR  0143115. S2CID  122215321.
49. Шварц, Гидеон (1990). «Претендент на звание «канонической ленты Мебиуса»». Тихоокеанский математический журнал . 143 (1): 195–200. дои : 10.2140/pjm.1990.143.195 . МР  1047406.
50. Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. стр. 315–316. ISBN 978-0-8284-1087-8.
51. Спивак, Майкл (1979). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, том I (2-е изд.). Уилмингтон, Делавэр: Опубликуй или погибни. п. 591.
52. Кноппель, Феликс (лето 2019 г.). «Урок 3: Минимальные поверхности Лоусона и суданская лента Мёбиуса». DDG2019: Курс визуализации в ТУ Берлин .
53. Лоусон, Х. Блейн младший (1970). «Полные минимальные поверхности в ». Анналы математики . Вторая серия. 92 (3): 335–374. дои : 10.2307/1970625. JSTOR  1970625. МР  0270280. ${\displaystyle S^{3}}$См. раздел 7, стр. 350–353, где обозначена бутылка Клейна . ${\displaystyle \tau _{1,2}}$
54. Шлеймер, Саул; Сегерман, Генри (2012). «Скульптуры в S3». В Босхе, Роберт; Маккенна, Дуглас; Сарханги, Реза (ред.). Труды Бриджеса 2012: Математика, Музыка, Искусство, Архитектура, Культура . Финикс, Аризона: Издательство Tessellations Publishing. стр. 103–110. arXiv : 1204.4952 . ISBN 978-1-938664-00-7.
55. Ганн, Чарльз (23 августа 2018 г.). «Суданский оркестр Мёбиуса». Вимео . Проверено 17 марта 2022 г.
56. Францони, Грегорио (2012). «Бутылка Клейна: вариации на тему». Уведомления Американского математического общества . 59 (8): 1076–1082. дои : 10.1090/noti880 . МР  2985809.
57. Хаггетт, Стивен; Джордан, Дэвид (2009). Топологический аперитив (переработанная ред.). Спрингер-Верлаг. п. 57. ИСБН 978-1-84800-912-7. МР  2483686.
58. Флапан, Эрика (2016). Узлы, молекулы и Вселенная: введение в топологию. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 99–100. дои : 10.1090/mbk/096. ISBN 978-1-4704-2535-7. МР  3443369.
59. Ричесон, Дэвид С. (2008). Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 171. ИСБН 978-0-691-12677-7. МР  2440945.
60. Годиньо, Леонор; Натарио, Хосе (2014). Введение в риманову геометрию: с приложениями к механике и теории относительности. Университеттекст. Спрингер, Чам. стр. 152–153. дои : 10.1007/978-3-319-08666-8. ISBN 978-3-319-08665-1. МР  3289090.
61. Кантвелл, Джон; Конлон, Лоуренс (2015). «Гиперболическая геометрия и гомотопические гомеоморфизмы поверхностей». Геометрии посвященные . 177 : 27–42. arXiv : 1305.1379 . doi : 10.1007/s10711-014-9975-1. МР  3370020. S2CID  119640200.
62. Стиллвелл, Джон (1992). «4.6 Классификация изометрий». Геометрия поверхностей . Университеттекст. Чам: Спрингер. стр. 96–98. дои : 10.1007/978-1-4612-0929-4. ISBN 0-387-97743-0. МР  1171453.
63. Зейферт, Герберт ; Трелфолл, Уильям (1980). Учебник топологии. Чистая и прикладная математика. Том. 89. Перевод Голдмана, Майкла А. Нью-Йорк и Лондон: Academic Press. п. 12. ISBN 0-12-634850-2. МР  0575168.
64. Лопес, Франсиско Дж.; Мартин, Франциско (1997). «Полные неориентируемые минимальные поверхности с высшей группой симметрии». Американский журнал математики . 119 (1): 55–81. дои : 10.1353/ajm.1997.0004. MR  1428058. S2CID  121366986.
65. Микс, Уильям Х. III (1981). «Классификация полных минимальных поверхностей с общей кривизной больше ». Математический журнал Дьюка . 48 (3): 523–535. дои : 10.1215/S0012-7094-81-04829-8. МР  0630583. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle -8\pi }$
66. Пеши, Адриана И .; Гольдштейн, Раймонд Э .; Александр, Гарет П.; Моффатт, Х. Кейт (2015). «Нестабильность минимальной поверхности ленты Мёбиуса и связь с систолической геометрией» (PDF) . Письма о физических отзывах . 114 (12): 127801. Бибкод : 2015PhRvL.114l7801P. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.127801. МР  3447638. ПМИД  25860771.
67. Мира, Пабло (2006). «Полные минимальные полосы Мёбиуса и проблема Бьёрлинга». Журнал геометрии и физики . 56 (9): 1506–1515. Бибкод : 2006JGP....56.1506M. doi :10.1016/j.geomphys.2005.08.001. МР  2240407. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
68. Паркер, Филипп Э. (1993). «Пространства геодезических». В Дель Риего, Л. (ред.). Семинар по дифференциальной геометрии по геометрическим пространствам (Гуанахуато, 1992) . Апортационный мат. Notas Investigación. Том. 8. Соц. Мат. Мексикана, Мексика. стр. 67–79. МР  1304924.
69. Бикель, Хольгер (1999). «Двойственность в стабильных плоскостях и связанные с ней операции замыкания и ядра». Журнал геометрии . 64 (1–2): 8–15. дои : 10.1007/BF01229209. MR  1675956. S2CID  122209943.
70. Мангахас, Джоанна (июль 2017 г.). «Пятый час в офисе: лемма о пинг-понге». В Клэе, Мэтт; Маргалит, Дэн (ред.). Часы работы с теоретиком геометрических групп . Издательство Принстонского университета. стр. 85–105. дои : 10.1515/9781400885398. ISBN 9781400885398.См., в частности, Проект 7, стр. 104–105.
71. Рамирес Галарса, Ана Ирен; Сиде, Хосе (2007). Введение в классическую геометрию . Базель: Birkhäuser Verlag. стр. 83–88, 157–163. ISBN 978-3-7643-7517-1. МР  2305055.
72. Фоменко, Анатолий Т .; Кунии, Тосиясу Л. (2013). Топологическое моделирование для визуализации. Спрингер. п. 269. ИСБН 9784431669562.
73. Ишам, Крис Дж. (1999). Современная дифференциальная геометрия для физиков. Мировые научные конспекты лекций по физике. Том. 61 (2-е изд.). Всемирная научная. п. 269. ИСБН 981-02-3555-0. МР  1698234.
74. Горбацевич, В.В.; Онищик А.Л.; Винберг, Э. Б. (1993). Группы Ли и алгебры Ли I: Основы теории Ли; Группы трансформации лжи. Энциклопедия математических наук. Том. 20. Шпрингер-Верлаг, Берлин. стр. 164–166. дои : 10.1007/978-3-642-57999-8. ISBN 3-540-18697-2. МР  1306737.
75. Ямасиро, Ацуши; Симои, Юкихиро; Харигая, Кикуо; Вакабаяси, Кацунори (2004). «Новые электронные состояния в графеновых лентах: конкурирующие порядки спина и заряда». Физика Э. 22 (1–3): 688–691. arXiv : cond-mat/0309636 . Бибкод : 2004PhyE...22..688Y. doi :10.1016/j.physe.2003.12.100. S2CID  17102453.
76. Рзепа, Генри С. (сентябрь 2005 г.). «Ароматичность Мёбиуса и делокализация». Химические обзоры . 105 (10): 3697–3715. дои : 10.1021/cr030092l. ПМИД  16218564.
77. Юн, Зин Сок; Осука, Ацухиро; Ким, Донхо (май 2009 г.). «Ароматика Мёбиуса и антиароматика в расширенных порфиринах». Природная химия . 1 (2): 113–122. Бибкод : 2009НатЧ...1..113Г. дои : 10.1038/nchem.172. ПМИД  21378823.
78. «Изготовление резисторов с помощью математики» . Время . Том. 84, нет. 13. 25 сентября 1964 года.
79. Пиковер (2005), стр. 45–46.
80. Понд, Дж. М. (2000). «Двухрежимные резонаторы Мебиуса и полосовые фильтры». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 48 (12): 2465–2471. Бибкод : 2000ITMTT..48.2465P. дои : 10.1109/22.898999.
81. Роде, Ульрих Л.; Поддар, Аджай; Сундарараджан, Д. (ноябрь 2013 г.). «Печатные резонаторы: теория и приложения ленты Мёбиуса» (PDF) . Микроволновой журнал . 56 (11).
82. Бауэр, Томас; Банзер, Питер; Карими, Ибрагим; Орлов, Сергей; Рубано, Андреа; Марруччи, Лоренцо; Сантамато, Энрико; Бойд, Роберт В.; Лойхс, Герд (февраль 2015 г.). «Наблюдение оптической поляризации лент Мёбиуса». Наука . 347 (6225): 964–966. Бибкод : 2015Sci...347..964B. дои : 10.1126/science.1260635. PMID  25636796. S2CID  206562350.
83. Кандил, Хуан Карлос; Индурайн, Эстебан (январь 1994 г.). «Лента Мебиуса и парадокс социального выбора». Письма по экономике . 45 (3): 407–412. дои : 10.1016/0165-1765(94)90045-0.
84. Исдаун, Мартин (2012). Аттракционы в парке развлечений. Издательство Блумсбери. п. 43. ИСБН 9781782001522.
85. Крюк, Патрик (2019). Билет на поездку: важнейший путеводитель по величайшим американским горкам и захватывающим аттракционам в мире. Книги Чартвелла. п. 20. ISBN 9780785835776.
86. Тоблер, Уолдо Р. (1961). «Карта мира на ленте Мёбиуса». Геодезия и картографирование . 21 : 486.
87. Кумлер, Марк П .; Тоблер, Уолдо Р. (январь 1991 г.). «Три карты мира на ленте Мебиуса». Картография и географические информационные системы . 18 (4): 275–276. дои : 10.1559/152304091783786781.
88. Курант, Ричард (1940). «Эксперименты с мыльной пленкой с минимальными поверхностями». Американский математический ежемесячник . 47 (3): 167–174. дои : 10.1080/00029890.1940.11990957. JSTOR  2304225. MR  0001622.
89. Гольдштейн, Раймонд Э .; Моффатт, Х. Кейт ; Пеши, Адриана И .; Рикка, Ренцо Л. (декабрь 2010 г.). «Мыльная пленка Лента Мёбиуса меняет топологию с твист-особенностью». Труды Национальной академии наук . 107 (51): 21979–21984. Бибкод : 2010PNAS..10721979G. дои : 10.1073/pnas.1015997107 . ПМК 3009808 . 
90. Вальба, Дэвид М.; Ричардс, Родни М.; Халтивангер, Р. Кертис (июнь 1982 г.). «Тотальный синтез первой молекулярной ленты Мебиуса». Журнал Американского химического общества . 104 (11): 3219–3221. дои : 10.1021/ja00375a051.
91. Пиковер (2005), стр. 52–58.
92. Гитиг, Диана (18 октября 2010 г.). «Химическое оригами, используемое для создания ленты Мёбиуса ДНК». Арс Техника . Проверено 28 марта 2022 г.
93. Эммер, Мишель (весна 1980 г.). «Изобразительное искусство и математика: лента Мебиуса». Леонардо . 13 (2): 108–111. дои : 10.2307/1577979. JSTOR  1577979. S2CID  123908555.
94. Байерс, Марк (2018). Чарльз Олсон и американский модернизм: практика себя. Издательство Оксфордского университета. стр. 77–78. ISBN 9780198813255.
95. Крато, Нуно (2010). «Эшер и лента Мёбиуса». Выясняем это: занимательные встречи с повседневной математикой . Спрингер. стр. 123–126. дои : 10.1007/978-3-642-04833-3_29.
96. Керстен, Эрик (13 марта 2017 г.). «Лента Мёбиуса I». Эшер во дворце . Проверено 17 апреля 2022 г.
97. Пиковер (2005), с. 13.
98. Брехер, Кеннет (2017). «Искусство бесконечности». В Сварте, Дэвид; Секен, Карло Х.; Фенивеси, Кристоф (ред.). Труды Бриджеса 2017: Математика, Искусство, Музыка, Архитектура, Образование, Культура . Финикс, Аризона: Издательство Tessellations Publishing. стр. 153–158. ISBN 978-1-938664-22-9.
99. Петерсон, Иварс (2002). «Топология переработки». Математические путешествия: от сюрреалистических чисел к волшебным кругам . МАА Спектр. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. стр. 31–35. ISBN 0-88385-537-2. МР  1874198.
100. «Выбран символ Expo '74» . Пресс-обзор . 12 марта 1972 г. с. 1.
101. Миллуорд, Стивен (30 апреля 2012 г.). «Google Диск скопировал свой значок из китайского приложения?». Технологии в Азии . Получено 27 марта 2022 г. - через Yahoo! Новости.
102. "Символ IMPA" . Для того, чтобы стать IMPA, любопытными экспонатами нашего института . ИМПА. 7 мая 2020 г. . Проверено 27 марта 2022 г.
103. Пиковер (2005), стр. 156–157.
104. Декер, Хайнц; Старк, Эберхард (1983). «Мебиус-Бендер: ... und natürlich auch auf Briefmarken». Практика математики . 25 (7): 207–215. МР  0720681.
105. Туласидас, Джолли; Кравчик, Роберт Дж. (2003). «Концепции Мёбиуса в архитектуре». В Барралло, Хавьер; Фридман, Натаниэль; Мальдонадо, Хуан Антонио; Мартинес-Ароза, Хосе; Сарханги, Реза; Секен, Карло (ред.). Встреча в Альгамбре, Материалы конференции ISAMA-BRIDGES . Гранада, Испания: Университет Гранады. стр. 353–360. ISBN 84-930669-1-5.
106. Секен, Карло Х. (январь 2018 г.). «Мосты Мёбиуса». Журнал математики и искусств . 12 (2–3): 181–194. дои : 10.1080/17513472.2017.1419331. S2CID  216116708.
107. Уэйнрайт, Оливер (17 октября 2017 г.). «Норман сказал, что президент хочет пирамиду»: как архитекторы построили Астану». Хранитель .
108. Мюре, Дон (17 мая 2010 г.). «Зал славы NASCAR выглядит быстрым, сидя на месте»». Спортивно-деловой журнал .
109. Гопник, Блейк (17 октября 2014 г.). «Педро Рейес делает бесконечное кресло». Новости Артнета .
110. Томас, Нэнси Дж. (4 октября 1998 г.). «Превращение Мебиуса в математику». «Таймс» (Трентон) . п. аа3 – через NewsBank .
111. Пашман, Дэн (6 августа 2015 г.). «Разрежьте бублик математически правильным способом». Соль . ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР.
112. Миллер, Росс (5 сентября 2014 г.). «Как сделать математически бесконечную полоску бекона». Грань .
113. Чанг, Кеннет (9 января 2012 г.). «Макароны переходят от алфавитного супа к продвинутой геометрии». Нью-Йорк Таймс .
114. Пиковер (2005), стр. 174–177.
115. Пиковер (2005), стр. 179–187.
116. Филлипс, Тони (25 ноября 2016 г.). «Бах и музыкальная лента Мёбиуса». Плюс журнал .Перепечатано из тематической колонки Американского математического общества.
117. Московиц, Клара (6 мая 2008 г.). «Музыка, сведенная к красивой математике». Живая наука . Проверено 21 марта 2022 г.
118. Тимочко, Дмитрий (7 июля 2006 г.). «Геометрия музыкальных аккордов» (PDF) . Наука . 313 (5783): 72–4. Бибкод : 2006Sci...313...72T. дои : 10.1126/science.1126287. JSTOR  3846592. PMID  16825563. S2CID  2877171.
119. Паркс, Эндрю (30 августа 2007 г.). «Лента Мебиуса: Дружественный огонь». Магнит .
120. Лоусон, Дом (9 февраля 2021 г.). «Кольцо Ван Мёбиуса». Прог .
121. Превос, Питер (2018). Лента Мёбиуса в магии: Трактат об афганских бандах. Квартира-кенгуру: Третье полушарие.
122. Гарднер, Мартин (1956). «Афганские банды». Математика, магия и тайна . Нью-Йорк: Дуврские книги. стр. 70–73.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Лента Мёбиуса». Математический мир .