В математике минимальная поверхность — это поверхность, которая локально минимизирует свою площадь. Это эквивалентно нулевой средней кривизне (см. определения ниже).
Термин «минимальная поверхность» используется потому, что эти поверхности изначально возникли как поверхности, которые минимизировали общую площадь поверхности с учетом некоторых ограничений. Физические модели минимальных поверхностей, минимизирующих площадь, можно создать, погрузив проволочный каркас в мыльный раствор, образуя мыльную пленку , которая представляет собой минимальную поверхность, границей которой является проволочный каркас. Однако этот термин используется для более общих поверхностей, которые могут самопересекаться или не иметь ограничений. Для данного ограничения также может существовать несколько минимальных поверхностей с разными площадями (например, см. « Минимальную поверхность вращения »): стандартные определения относятся только к локальному оптимуму , а не к глобальному оптимуму .
Минимальные поверхности могут быть определены в . Тот факт, что они эквивалентны, служит для демонстрации того, как минимальная теория поверхности лежит на перекрестке нескольких математических дисциплин, особенно дифференциальной геометрии , вариационного исчисления , теории потенциала , комплексного анализа и математической физики . [1]
Это свойство является локальным: на минимальной поверхности могут существовать области вместе с другими поверхностями меньшей площади, имеющими ту же границу. Это свойство устанавливает связь с мыльными пленками; мыльная пленка, деформированная так, чтобы иметь проволочный каркас в качестве границы, минимизирует площадь.
Это определение делает минимальные поверхности двумерным аналогом геодезических , которые аналогично определяются как критические точки функционала длины.
Прямым следствием этого определения является то, что каждая точка на поверхности является седловой точкой с равными и противоположными главными кривизнами . Кроме того, это превращает минимальные поверхности в статические решения потока средней кривизны . По уравнению Юнга-Лапласа средняя кривизна мыльной пленки пропорциональна разнице давлений между сторонами. Если мыльная пленка не охватывает область, то ее средняя кривизна будет равна нулю. Напротив, сферический мыльный пузырь заключает в себе область, давление которой отличается от давления внешней области, и поэтому не имеет нулевой средней кривизны.
Уравнение в частных производных в этом определении было первоначально найдено в 1762 году Лагранжем [ 2] и Жаном Батистом Мёнье, который обнаружил в 1776 году , что оно подразумевает исчезновение средней кривизны. [3]
Это определение связывает минимальные поверхности с гармоническими функциями и теорией потенциала .
Прямым следствием этого определения и принципа максимума для гармонических функций является то, что в . не существует компактных полных минимальных поверхностей .
В этом определении используется то, что средняя кривизна составляет половину следа оператора формы , который связан с производными карты Гаусса. Если спроецированное отображение Гаусса подчиняется уравнениям Коши – Римана, то либо след исчезает, либо каждая точка M является омбилической , и в этом случае это часть сферы.
Локальные определения наименьшей площади и вариационные определения позволяют расширять минимальные поверхности на другие римановы многообразия , кроме . [4]
Теория минимальной поверхности берет свое начало от Лагранжа , который в 1762 году рассмотрел вариационную задачу нахождения поверхности наименьшей площади, натянутой по заданному замкнутому контуру. Он вывел уравнение Эйлера – Лагранжа для решения
Ему не удалось найти никакого решения за пределами плоскости. В 1776 году Жан Батист Мари Менье обнаружил, что геликоид и катеноид удовлетворяют уравнению и что дифференциальное выражение соответствует удвоенной средней кривизне поверхности, сделав вывод, что поверхности с нулевой средней кривизной минимизируют площадь.
Расширив уравнение Лагранжа до
Гаспар Монж и Лежандр в 1795 году вывели формулы представления поверхностей решений. Хотя они были успешно использованы Генрихом Шерком в 1830 году для получения своих поверхностей , в целом они считались практически непригодными для использования. Каталонец доказал в 1842/43 году, что геликоид — единственная линейчатая минимальная поверхность.
Прогресс был довольно медленным до середины века, когда проблема Бьёрлинга была решена с использованием сложных методов. Начался «первый золотой век» минимальных поверхностей. Шварц нашел решение проблемы Плато для правильного четырехугольника в 1865 году и для общего четырехугольника в 1867 году (что позволило построить его семейства периодических поверхностей ), используя сложные методы. Вейерштрасс и Эннепер разработали более полезные формулы представления , прочно связав минимальные поверхности со сложным анализом и гармоническими функциями . Другие важные вклады внесли Бельтрами, Бонне, Дарбу, Ли, Риман, Серрет и Вайнгартен.
Между 1925 и 1950 годами возродилась теория минимальных поверхностей, которая теперь в основном нацелена на непараметрические минимальные поверхности. Полное решение проблемы Плато Джесси Дугласом и Тибором Радо стало важной вехой. Важными были также проблема Бернштейна и работа Роберта Оссермана о полных минимальных поверхностях конечной полной кривизны.
Еще одно возрождение началось в 1980-х годах. Одной из причин было открытие Селсо Костой в 1982 году поверхности , которая опровергла гипотезу о том, что плоскость, катеноид и геликоид являются единственными полными вложенными минимальными поверхностями конечного топологического типа. Это не только стимулировало новые работы по использованию старых параметрических методов, но и продемонстрировало важность компьютерной графики для визуализации изучаемых поверхностей и численных методов решения «проблемы периода» (при использовании метода сопряженных поверхностей для определения участков поверхности, которые можно собраны в более крупную симметричную поверхность, для создания встроенной поверхности необходимо численно сопоставить определенные параметры). Другой причиной стала проверка Х. Керхером того, что тройные периодические минимальные поверхности, первоначально описанные эмпирически Аланом Шоном в 1970 году, действительно существуют. Это привело к появлению богатого зверинца семейств поверхностей и методов получения новых поверхностей из старых, например, путем добавления ручек или их искажения.
В настоящее время теория минимальных поверхностей расширилась до минимальных подмногообразий в других объемлющих геометриях, став актуальной для математической физики (например, гипотеза положительной массы , гипотеза Пенроуза ) и геометрии трех многообразий (например, гипотеза Смита , гипотеза Пуанкаре , геометризация Терстона ). Гипотеза ).
Классические примеры минимальных поверхностей включают в себя:
Поверхности золотого века XIX века включают:
Современные поверхности включают в себя:
Минимальные поверхности могут быть определены в других многообразиях , кроме , таких как гиперболическое пространство , многомерные пространства или римановы многообразия .
Определение минимальных поверхностей можно обобщить/расширить, чтобы охватить поверхности с постоянной средней кривизной : поверхности с постоянной средней кривизной, которая не обязательно равна нулю.
Линии кривизны изотермической поверхности образуют изотермическую сеть. [5]
В дискретной дифференциальной геометрии изучаются дискретные минимальные поверхности: симплициальные комплексы треугольников, минимизирующие свою площадь при малых возмущениях положения их вершин. [6] Такая дискретизация часто используется для численной аппроксимации минимальных поверхностей, даже если выражения в замкнутой форме неизвестны.
Броуновское движение на минимальной поверхности приводит к вероятностным доказательствам ряда теорем о минимальных поверхностях. [7]
Минимальные поверхности стали областью интенсивных научных исследований, особенно в области молекулярной инженерии и материаловедения , из-за их ожидаемого применения в самосборке сложных материалов. [8] Предполагается, что эндоплазматическая сеть , важная структура в клеточной биологии, находится под эволюционным давлением, чтобы соответствовать нетривиальной минимальной поверхности. [9]
В области общей теории относительности и лоренцевой геометрии значительные расширения и модификации понятия минимальной поверхности, известной как видимые горизонты , имеют важное значение. [10] В отличие от горизонта событий , они представляют собой основанный на кривизне подход к пониманию границ чёрных дыр .
В качестве палаток можно использовать конструкции с минимальными поверхностями.
Минимальные поверхности являются частью набора инструментов генеративного дизайна , используемого современными дизайнерами. В архитектуре большой интерес вызывают натяжные конструкции , которые тесно связаны с минимальными поверхностями. Яркие примеры можно увидеть в работах Фрея Отто , Сигэру Бана и Захи Хадид . Дизайн Мюнхенского олимпийского стадиона Фрея Отто был вдохновлен мыльными поверхностями. [11] Еще одним ярким примером, также созданным Фреем Отто, является немецкий павильон на выставке «Экспо 67» в Монреале, Канада. [12]
В мире искусства минимальные поверхности широко исследовались в скульптурах Роберта Энгмана (1927–2018), Роберта Лонгхерста (1949–) и Чарльза О. Перри (1929–2011) и других.
Учебники
{{cite book}}
: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )Интернет-ресурсы