В математическом анализе максимум и минимум [a] функции — это соответственно наибольшее и наименьшее значение , принимаемое функцией. Известные в общем как экстремумы , [b] они могут быть определены либо в заданном диапазоне ( локальные или относительные экстремумы), либо во всей области ( глобальные или абсолютные экстремумы) функции. [1] [2] [3] Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод — адекватность — для нахождения максимумов и минимумов функций.
Согласно теории множеств , максимум и минимум набора — это наибольший и наименьший элементы набора соответственно. Неограниченные бесконечные множества , такие как набор действительных чисел , не имеют минимума или максимума.
В статистике соответствующим понятием является выборочный максимум и минимум .
Действительная функция f , определенная в области X , имеет глобальную (или абсолютную ) точку максимума.в точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X. Аналогично, функция имеет глобальную (или абсолютную ) точку минимума.в точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X. Значение функции в точке максимума называетсямаксимальное значение функции обозначается, а значение функции в минимальной точке называетсяминимальное значение функции. Символически это можно записать так:
Определение точки глобального минимума также происходит аналогичным образом.
Если область X является метрическим пространством , то говорят, что f имеет локальную (или относительную ) точку максимума.в точке x ∗ , если существует такое ε > 0, что f ( x ∗ ) ≥ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗ . Аналогично функция имеет точку локального минимумав точке x ∗ , если f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) для всех x в X на расстоянии ε от x ∗ . Аналогичное определение можно использовать, когда X является топологическим пространством , поскольку только что данное определение можно перефразировать в терминах окрестностей. Математически данное определение записывается следующим образом:
Определение точки локального минимума также может быть произведено аналогичным образом.
И в глобальном, и в локальном случаях концепцияможно определить строгий экстремум . Например,x∗— этострогая глобальная точка максимума, если для всехxвX, где x ≠ x ∗ , мы имеем f ( x ∗ ) > f ( x ), иx∗являетсяточка строгого локального максимума, если существует такое ε > 0, что для всехxвXна расстоянииεотx∗, где x ≠ x ∗ , мы имеем f ( x ∗ ) > f ( x ). Обратите внимание, что точка является строгой глобальной точкой максимума тогда и только тогда, когда она является уникальной глобальной точкой максимума, и аналогично для точек минимума.
Непрерывная действительная функция с компактной областью определения всегда имеет точку максимума и точку минимума. Важным примером является функция, областью определения которой является замкнутый и ограниченный интервал действительных чисел (см. график выше).
Нахождение глобальных максимумов и минимумов является целью математической оптимизации . Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то по теореме об крайних значениях существуют глобальные максимумы и минимумы. Более того, глобальный максимум (или минимум) либо должен быть локальным максимумом (или минимумом) внутри области, либо должен лежать на границе области. Таким образом, метод поиска глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы просмотреть все локальные максимумы (или минимумы) внутри, а также посмотреть максимумы (или минимумы) точек на границе и взять наибольший ( или самый маленький) один.
Для дифференцируемых функций теорема Ферма утверждает , что локальные экстремумы внутри области должны возникать в критических точках (или точках, где производная равна нулю). [4] Однако не все критические точки являются экстремумами. Часто можно отличить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим, используя тест первой производной , тест второй производной или тест производной более высокого порядка , при условии достаточной дифференцируемости. [5]
Для любой функции, которая определена кусочно , максимум (или минимум) находится путем нахождения максимума (или минимума) каждой части отдельно, а затем просмотра того, какой из них является наибольшим (или наименьшим).
В качестве практического примера [6] предположим, что у кого-то есть ограждение на ножках и он пытается максимизировать площадь прямоугольного ограждения, где – длина, – ширина и – площадь:
Производная по :
Установка этого значения равным
показывает, что это наша единственная критическая точка . Теперь извлеките конечные точки , определив интервал, которым ограничено. Поскольку ширина положительна, то , и поскольку , это означает, что . Подключите критическую точку , а также конечные точки и , в , и результаты будут и соответственно.
Следовательно, наибольшая площадь, достижимая с помощью прямоугольника в футах ограждения, равна . [6]
Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличенном) рисунке справа необходимые условия локального максимума аналогичны условиям функции только с одной переменной. Первые частные производные по z (переменная, которую нужно максимизировать) равны нулю в максимуме (светящаяся точка вверху на рисунке). Вторые частные производные отрицательны. Это лишь необходимые, но не достаточные условия локального максимума из-за возможности существования седловой точки . Чтобы использовать эти условия для поиска максимума, функция z также должна быть дифференцируемой во всем. Второй тест частной производной может помочь классифицировать точку как относительный максимум или относительный минимум. Напротив, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной при идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченная дифференцируемая функция f , определенная на замкнутом интервале вещественной прямой, имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то она также является глобальным минимумом (используйте теорему о промежуточном значении и теорему Ролля , чтобы доказать это с помощью противоречие ). В двух и более измерениях этот аргумент не работает. Это иллюстрируется функцией
единственная критическая точка которого находится в точке (0,0), что является локальным минимумом с f (0,0) = 0. Однако он не может быть глобальным, поскольку f (2,3) = −5.
Если область определения функции, для которой необходимо найти экстремум, сама состоит из функций (т. е. если необходимо найти экстремум функционала ) , то экстремум находится с помощью вариационного исчисления .
Для наборов также можно определить максимумы и минимумы. В общем, если упорядоченный набор S имеет наибольший элемент m , то m является максимальным элементом набора, также обозначаемым как . Более того, если S — подмножество упорядоченного множества T , а m — наибольший элемент S с ( относительно порядка, индуцированного T ), то m — наименьшая верхняя граница S в T. Аналогичные результаты справедливы для наименьшего элемента , минимального элемента и наибольшей нижней границы . Функция максимума и минимума для наборов используется в базах данных и может быть быстро вычислена, поскольку максимум (или минимум) набора можно вычислить по максимумам раздела; формально они являются саморазложимыми агрегирующими функциями .
В случае общего частичного порядка наименьший элемент (т. е. тот, который меньше всех остальных) не следует путать с минимальным элементом (ничто не меньше). Аналогично, наибольший элемент частично упорядоченного множества (ЧУМ) — это верхняя граница множества, содержащегося в этом множестве, тогда как максимальный элемент m частично упорядоченного множества А — это такой элемент А , что если m ⩽ b (для любого b в A ), то m = b . Любой наименьший или наибольший элемент ЧУУ уникален, но ЧУУ может иметь несколько минимальных или максимальных элементов. Если ЧУ-множество имеет более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы.
В полностью упорядоченном множестве, или цепочке , все элементы взаимно сопоставимы, поэтому такой набор может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда из-за взаимной сравнимости минимальный элемент будет также наименьшим элементом, а максимальный элемент также будет наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном множестве мы можем просто использовать термины минимум и максимум .
Если цепь конечна, то она всегда будет иметь максимум и минимум. Если цепь бесконечна, то у нее не обязательно должен быть максимум или минимум. Например, набор натуральных чисел не имеет максимума, но имеет минимум. Если бесконечная цепь S ограничена, то замыкание Cl ( S ) множества иногда имеет минимум и максимум, и в этом случае они называются наибольшей нижней границей и наименьшей верхней границей множества S соответственно.