Цилиндр

Трехмерное твердое тело

Цилиндр (от древнегреческого κύλινδρος ( kúlindros )  «валик, тумблер») [ ^1] традиционно представлял собой трехмерное твердое тело , одну из самых основных криволинейных геометрических форм . В элементарной геометрии считается призма с кругом в основании.

Цилиндр можно также определить как бесконечную криволинейную поверхность в различных современных разделах геометрии и топологии . Смещение основного значения — твердое тело по сравнению с поверхностью (как в шаре и сфере ) — создало некоторую двусмысленность в терминологии. Эти две концепции можно различать, обращаясь к твердым цилиндрам и цилиндрическим поверхностям . В литературе термин «цилиндр» без прикрас может относиться как к любому из них, так и к еще более специализированному объекту — правому круглому цилиндру .

Типы

Определения и результаты в этом разделе взяты из книги Джорджа А. Вентворта и Дэвида Юджина Смита «Плоскость и твердотельная геометрия» 1913 года ( Wentworth & Smith 1913).

Цилиндрическая поверхность — это поверхность , состоящая из всех точек всех прямых, параллельных данной прямой и проходящих через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. Любая линия из этого семейства параллельных линий называется элементом цилиндрической поверхности. С точки зрения кинематики , если дана плоская кривая, называемая директрисой , цилиндрическая поверхность — это поверхность, очерченная линией, называемой образующей , не в плоскости директрисы, движущаяся параллельно самой себе и всегда проходящая через директрису. . Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.

Прямой и косой круговые цилиндры

Твердое тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями , называется (твердым) цилиндром . Отрезки, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются элементом цилиндра . Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется основанием цилиндра . Два основания цилиндра представляют собой конгруэнтные фигуры. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, то цилиндр является прямым цилиндром , иначе его называют наклонным цилиндром . Если основаниями являются диски (области, граница которых представляет собой круг ), цилиндр называется круговым цилиндром . В некоторых элементарных трактовках цилиндр всегда означает круглый цилиндр. ^[2]

Высота (или высота) цилиндра — это расстояние по перпендикуляру между его основаниями.

Цилиндр, полученный вращением отрезка прямой вокруг неподвижной линии, параллельной ему, является цилиндром вращения . Цилиндр вращения – это прямоугольный цилиндр. Высота цилиндра вращения равна длине отрезка образующей. Линия, вокруг которой вращается отрезок, называется осью цилиндра и проходит через центры двух оснований.

Прямой круглый цилиндр радиуса r и высоты h.

Правые круглые цилиндры

Простой термин «цилиндр» часто относится к сплошному цилиндру с круглыми концами, перпендикулярным оси, то есть к прямому круглому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется открытым цилиндром . Формулы площади поверхности и объема прямого кругового цилиндра известны с ранней античности.

Прямой круглый цилиндр также можно рассматривать как тело вращения , возникающее в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в методе интегрирования («метод диска») для получения объемов тел вращения. ^[3]

Высокий и тонкий игольчатый цилиндр имеет высоту, намного превышающую его диаметр, тогда как короткий и широкий дисковый цилиндр имеет диаметр, намного превышающий его высоту.

Характеристики

Цилиндрические сечения

Цилиндрическое сечение

Цилиндрическое сечение — это пересечение поверхности цилиндра плоскостью . В общем, они представляют собой кривые и представляют собой особые виды плоских сечений . Сечение цилиндра плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, является параллелограммом . ^[4] Такое цилиндрическое сечение правого цилиндра представляет собой прямоугольник . ^[4]

Цилиндрическое сечение, в котором пересекающая плоскость пересекается и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется прямым сечением . ^[5] Если правая часть цилиндра представляет собой круг, то цилиндр является круглым цилиндром. В более общем смысле, если правое сечение цилиндра представляет собой коническое сечение (парабола, эллипс, гипербола), то сплошной цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.

Цилиндрические сечения прямого кругового цилиндра.

Для прямого кругового цилиндра существует несколько способов пересечения плоскостей с цилиндром. Во-первых, это плоскости, пересекающие основание не более чем в одной точке. Плоскость является касательной к цилиндру, если она пересекает цилиндр в одном элементе. Правые сечения представляют собой круги, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипсу . ^[6] Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, она имеет цилиндрическое сечение прямоугольника, в противном случае стороны цилиндрического сечения являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, она содержит все основание, а цилиндрическое сечение представляет собой круг.

В случае прямого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, представляющим собой эллипс, эксцентриситет e цилиндрического сечения и большая полуось a цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра r и угла α между секущей плоскостью и ось цилиндра следующим образом:

${\displaystyle e=\cos \alpha ,}$

${\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}$

Объем

Если основание круглого цилиндра имеет радиус r , а цилиндр имеет высоту h , то его объём определяется выражением

V знак равно π р ² час .

Эта формула справедлива независимо от того, является ли цилиндр прямым. ^[7]

Эту формулу можно получить, используя принцип Кавальери .

Сплошной эллиптический цилиндр с полуосями a и b для основного эллипса и высотой h.

В более общем смысле, по тому же принципу, объём любого цилиндра равен произведению площади основания и высоты. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большую полуось a , малую полуось b и высоту h , имеет объем V = Ah , где A — площадь эллипса основания (= π ab ). Этот результат для правых эллиптических цилиндров также можно получить путем интегрирования, где ось цилиндра принимается за положительную ось x , а A ( x ) = A — площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом:

${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$

Используя цилиндрические координаты , объём прямого кругового цилиндра можно вычислить путём интегрирования по

${\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}$

${\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}$

Площадь поверхности

Имея радиус r и высоту (высоту) h , площадь поверхности прямого кругового цилиндра, ориентированного так, что его ось вертикальна, состоит из трёх частей:

• площадь верхнего основания: π r ²
• площадь нижнего основания: π r ²
• площадь стороны: 2π rh

Площадь верхнего и нижнего оснований одинакова и называется площадью основания B . Площадь стороны известна как боковая площадь , L.

Открытый цилиндр не включает в себя ни верхние, ни нижние элементы и поэтому имеет площадь поверхности (боковую площадь)

L знак равно 2π правый час .

Площадь поверхности сплошного правого круглого цилиндра складывается из суммы всех трех компонентов: верхней, нижней и боковой. Следовательно, площадь его поверхности равна

A знак равно L + 2 B знак равно 2π рч + 2π р ² знак равно 2π р ( час + р ) знак равно π d ( р + час ) ,

где d = 2 r — диаметр круглого верха или низа.

Для данного объема правый круглый цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2 r . Эквивалентно, для данной площади поверхности правый круглый цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2 r , то есть цилиндр плотно вписывается в куб с длиной стороны = высоте ( = диаметру круга основания). ^[8]

Боковая площадь L круглого цилиндра, который не обязательно должен быть прямым цилиндром, в более общем смысле определяется как:

L знак равно е × п ,

где e — длина элемента, а p — периметр правой части цилиндра. ^[9] Это дает предыдущую формулу для площади боковой поверхности, когда цилиндр является прямым круговым цилиндром.

Полый цилиндр

Правый круглый полый цилиндр (цилиндрическая оболочка)

Правый круглый полый цилиндр (или цилиндрическая оболочка ) — это трехмерная область, ограниченная двумя прямыми круглыми цилиндрами, имеющими одну и ту же ось и два параллельных кольцевых основания, перпендикулярных общей оси цилиндров, как на схеме.

Пусть высота равна h , внутренний радиус r и внешний радиус R. Объем определяется

${\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$.

Таким образом, объём цилиндрической оболочки равен 2 π (средний радиус)(высота)(толщина). ^[10]

Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется выражением

${\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}$.

Цилиндрические оболочки используются в обычном методе интегрирования для определения объемов тел вращения. ^[11]

О сфере и цилиндре

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности окружающего ее цилиндра, включая основания.

В трактате под этим названием, написанном ок.  В 225 году до нашей эры Архимед получил результат, которым он больше всего гордился, а именно получение формул для объема и площади поверхности сферы, используя взаимосвязь между сферой и описанным ею прямым круговым цилиндром той же высоты и диаметра . Сфера имеет объем, равный двум третям описанного цилиндра, и площадь поверхности, составляющую две трети объема цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра уже были известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем сферы радиуса r равен4/3π р ³ =2/3(2 π р ³ ) . Площадь поверхности этой сферы равна 4 π r ² =2/3(6 π р ² ) . По его просьбе на могилу Архимеда были помещены скульптурные сфера и цилиндр.

Цилиндрические поверхности

В некоторых областях геометрии и топологии термин « цилиндр» относится к так называемой цилиндрической поверхности . Цилиндром называется поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. ^[12] Такие цилиндры иногда называют универсальными цилиндрами . Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит единственная прямая, содержащаяся в цилиндре. ^[13] Таким образом, это определение можно перефразировать, сказав, что цилиндр — это любая линейчатая поверхность , натянутая на однопараметрическое семейство параллельных линий.

Цилиндр, правое сечение которого представляет собой эллипс , параболу или гиперболу, называется эллиптическим цилиндром , параболическим цилиндром и гиперболическим цилиндром соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности . ^[14]

Параболический цилиндр

Когда главные оси квадрики совпадают с системой отсчета (для квадрики это всегда возможно), общее уравнение квадрики в трех измерениях имеет вид

${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$

при этом коэффициенты являются действительными числами , а не все A , B и C равны 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, то квадрика вырождена. Если одна переменная отсутствует, мы можем, соответствующим поворотом осей, предположить , что переменная z не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать в виде ^[15]

${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$

где

${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$

Эллиптический цилиндр

Если AB > 0 , это уравнение эллиптического цилиндра . ^[15] Дальнейшее упрощение можно получить путем перевода осей и скалярного умножения. Если имеет тот же знак, что и коэффициенты A и B , то уравнение эллиптического цилиндра можно переписать в декартовых координатах как: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$

Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обычного кругового цилиндра ( a = b ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды , но это название неоднозначно, так как оно также может относиться к коноиду Плюкера .

Если имеет другой знак, чем коэффициенты, мы получаем мнимые эллиптические цилиндры : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$

которые не имеют реальных точек зрения. ( дает один реальный балл.) ${\displaystyle \rho =0}$

Гиперболический цилиндр

Если A и B имеют разные знаки и , мы получаем гиперболические цилиндры , уравнения которых можно переписать как: ${\displaystyle \rho \neq 0}$

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$

Параболический цилиндр

Наконец, если AB = 0, предположим, без ограничения общности , что B = 0 и A = 1, чтобы получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как: ^[16]

${\displaystyle {x}^{2}+2a{y}=0.}$

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого находится в бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, который выглядит как конус, обращенный к небу.

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого лежит в бесконечной плоскости . Если конус является квадратичным конусом, плоскость на бесконечности (проходящая через вершину) может пересекать конус по двум действительным линиям, по одной вещественной линии (фактически по совпадающей паре прямых) или только по вершине. В этих случаях возникают гиперболические, параболические или эллиптические цилиндры соответственно. ^[17]

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденных коник , которые могут включать цилиндрические коники.

Призмы

Здание планетария Тихо Браге в Копенгагене представляет собой пример усеченного цилиндра.

Сплошной круглый цилиндр можно рассматривать как предельный случай n -угольной призмы, где n приближается к бесконечности . Связь очень сильна, и во многих старых текстах призмы и цилиндры рассматриваются одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм с использованием вписанных и описанных призм с последующим неограниченным увеличением числа сторон призмы. ^[18] Одной из причин раннего акцента (а иногда и исключительного внимания) на круглых цилиндрах является то, что круглое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которого эта техника работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к математическому анализу или более продвинутым методам). математика). Терминология о призмах и цилиндрах одинакова. Так, например, поскольку усеченная призма — это призма, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, то сплошной цилиндр, основания которого не лежат в параллельных плоскостях, назывался бы усеченным цилиндром .

С точки зрения многогранника цилиндр также можно рассматривать как двойник биконуса , как бипирамиду с бесконечными сторонами .

Смотрите также

• Список фигур
• Тело Штейнмеца , пересечение двух или трёх перпендикулярных цилиндров.

Примечания

1. κύλινδρος. Архивировано 30 июля 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
2. Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., стр. 607, ISBN 0-7167-0456-0
3. Своковски 1983, с. 283
4. Wentworth & Smith 1913, с. 354
5. Вентворт и Смит 1913, с. 357
6. «MathWorld: Цилиндрическое сечение» . Архивировано из оригинала 23 апреля 2008 г.
7. Вентворт и Смит 1913, с. 359
8. Лакс, Питер Д .; Террелл, Мария Ши (2013), Исчисление с приложениями, Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 178, ISBN 9781461479468, заархивировано из оригинала 06 февраля 2018 г..
9. Вентворт и Смит 1913, с. 358
10. Своковски 1983, с. 292
11. Своковски 1983, с. 291
12. Альберт 2016, с. 43
13. Альберт 2016, с. 49
14. Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Издательство Кембриджского университета, стр. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
15. Альберт 2016, с. 74
16. Альберт 2016, с. 75
17. Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия: комплексный курс , Дувр, стр. 398, ISBN 0-486-65812-0
18. Слот, ОН ; Леннес, Нью-Джерси (1919), Твердотельная геометрия с проблемами и приложениями (PDF) (пересмотренная редакция), Аллин и Бэкон, стр. 79–81, заархивировано (PDF) из оригинала 6 марта 2013 г.

Рекомендации

• Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Дувр, ISBN 978-0-486-81026-3
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0-87150-341-7
• Вентворт, Джордж; Смит, Дэвид Юджин (1913), Плоская и твердотельная геометрия , Джинн и Ко.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Цилиндр». Математический мир .
• Площадь поверхности цилиндра в MATHguide
• Объем цилиндра в MATHguide