j-инвариант

В математике $j$ -инвариант Феликса Клейна или j $-$ функция , рассматриваемая как функция комплексной переменной $τ$ , является модулярной функцией веса ноль для специальной линейной группы $SL(2,$ $Z$ $),$ определенной на верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, которая голоморфна вдали от простого полюса в точке возврата, такой что

j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.

Рациональные функции j $являются$ модулярными и фактически дают все модулярные функции веса 0. Классически $j$ -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над , но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Monster (эта связь называется monstrous moonshine ). $\mathbb {C}$

Определение

Действительная часть $j$ -инварианта как функция квадрата нома на единичном круге

Фаза $j$ -инварианта как функция квадрата нома на единичном круге

$j$ -инвариант можно определить как функцию на верхней полуплоскости $H = {τ \in C, Im (τ) > 0},$

j(\tau)=1728{\frac {g_{2}(\tau)^{3}}{\Delta (\tau)}}=1728{\frac {g_{2}(\tau) ^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3 }}{(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}}

с третьим определением, подразумевающим, что может быть выражено как куб , также с 1728 года . $j(\тау)$ ${}=12^{3}$

Данными функциями являются модульный дискриминант , эта-функция Дедекинда и модулярные инварианты, $\Delta (\tau)=g_{2}(\tau)^{3}-27g_{3}(\tau)^{2}=(2\pi)^{12}\,\eta ^ {24}(\тау)$ $\эта (\тау)$

g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}

g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}

где , — ряды Фурье , $G_{4}(\tau )$ $G_{6}(\tau )$

{\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}

и , являются рядами Эйзенштейна , $E_{4}(\tau )$ $E_{6}(\tau )$

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}

и (квадрат нома ) . Тогда $j$ -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как, $q=e^{2\pi i\tau }$

j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}

без числового множителя, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта, ^[1]

\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}

Например, используя определения выше и , то эта-функция Дедекинда имеет точное значение , $\tau =2i$ $\eta (2i)$

\eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}

подразумевая трансцендентные числа ,

g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}

но давая алгебраическое число (фактически целое число ),

j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.

В общем случае это можно мотивировать, рассматривая каждую $τ$ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая $E$ над $C$ является комплексным тором и, таким образом, может быть отождествлена с решеткой ранга 2; то есть двумерной решеткой $C$ . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается $1$ и $τ$ $\in H$ . Эта решетка соответствует эллиптической кривой (см. эллиптические функции Вейерштрасса ). $y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )$

Обратите внимание, что $j$ определено всюду в $H,$ поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет различные корни.

Фундаментальная область

Обычный выбор фундаментальной области (серой) для модулярной группы, действующей на верхней полуплоскости.

Можно показать, что $Δ$ является модулярной формой веса двенадцать, а $g 2$ — весом четыре, так что ее третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их частное, а следовательно, и $j$ , является модулярной функцией веса ноль, в частности голоморфной функцией $H \to C ,$ инвариантной относительно действия $SL(2, Z)$ . Факторизация по ее центру ${ \pmI }$ дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой $PSL(2, Z)$ .

Путем подходящего выбора преобразования, принадлежащего этой группе,

\tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,

мы можем уменьшить $τ$ до значения, дающего то же значение для $j$ и лежащего в фундаментальной области для $j$ , которая состоит из значений для $τ,$ удовлетворяющих условиям

{\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}

Функция $j (τ)$ при ограничении этой областью все еще принимает каждое значение в комплексных числах $C$ ровно один раз. Другими словами, для каждого $c$ в $C$ существует уникальное τ в фундаментальной области, такое что $c = j (τ)$ . Таким образом, $j$ обладает свойством отображения фундаментальной области на всю комплексную плоскость.

Кроме того, два значения $τ,τ' \in H$ создают одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда $τ = T(τ')$ для некоторого $T \in PSL(2, Z)$ . Это означает, что $j$ обеспечивает биекцию из множества эллиптических кривых над $C$ в комплексную плоскость. ^[2]

Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род $0$ , и каждая ( уровень один ) модулярная функция является рациональной функцией от $j$ ; и, наоборот, каждая рациональная функция от $j$ является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций есть $C (j)$ .

Теория полей классов идж

$j$ - инвариант обладает многими замечательными свойствами:

Если $τ$ — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если $τ$ — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что $j$ определено), то $j (τ)$ — алгебраическое целое число . ^[3] Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
Расширение поля $Q [j (τ), τ]/ Q (τ)$ является абелевым, то есть имеет абелеву группу Галуа .
Пусть $Λ$ — решетка в $C,$ порожденная ${1, τ}.$ Легко видеть, что все элементы $Q (τ)$ , которые фиксируют $Λ$ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Другие решетки с образующими ${1, τ'},$ ассоциированные подобным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения $j (τ')$ $j (τ)$ над $Q (τ)$ . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в $Q (τ)$ — это кольцо алгебраических целых чисел $Q (τ)$ , и значения $τ ,$ имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным $расширениям$ Q $($ $τ$ $)$ .

Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения.

Свойства трансцендентности

В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат, что если $τ$ — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то $j (τ)$ — алгебраическое целое число. Кроме того, он доказал, что если $τ$ — алгебраическое число , но не мнимое квадратичное, то $j (τ)$ — трансцендентное число.

Функция $j$ имеет множество других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул гипотезу о конкретном результате трансцендентности, который часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патриса Филлипона в 1990-х годах. Гипотеза Малера (теперь доказанная) заключается в том, что если $τ$ находится в верхней полуплоскости, то $e 2π iτ$ и $j (τ)$ никогда не являются одновременно алгебраическими. Сейчас известны более сильные результаты, например, если $e 2π iτ$ является алгебраическим, то следующие три числа алгебраически независимы, и, таким образом, по крайней мере два из них трансцендентны:

j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}

Theд-расширение и самогон

Несколько замечательных свойств $j$ связаны с его $q$ -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана относительно $q = e 2π iτ$ , который начинается так:

j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots

Обратите внимание, что $j$ имеет простой полюс в точке возврата, поэтому его $q$ -разложение не имеет членов ниже $q -1$ .

Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, что приводит к нескольким почти целым числам , в частности, константе Рамануджана :

e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744

Асимптотическая формула для коэффициента $q n$ имеет вид

{\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}

что можно доказать с помощью метода круга Харди–Литтлвуда . ^[4]^[5]

Самогон

Что еще более примечательно, коэффициенты Фурье для положительных показателей $q$ являются размерностями градуированной части бесконечномерного представления градуированной алгебры группы монстров , называемой модулем лунного света , в частности, коэффициент $q n$ является размерностью части степени $n$ модуля лунного света, первым примером является алгебра Грисса , имеющая размерность 196 884, что соответствует члену $196884 q$ . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории лунного света .

Изучение гипотезы Moonshine привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модулярных функций рода ноль. Если они нормализованы так, чтобы иметь вид

q^{-1}+{O}(q)

затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. ^[6]

Альтернативные выражения

У нас есть

j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}

где $x = λ (1 - λ)$ и $λ$ — модульная лямбда-функция

\lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(e^{\pi i\tau })}{\theta _{3}^{4}(e^{\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )

отношение тета-функций Якоби $θ m$ , и является квадратом эллиптического модуля $k (τ)$ . ^[7] Значение $j$ не изменяется при замене $λ$ любым из шести значений перекрестного отношения : ^[8]

\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace

Точки ветвления $j$ находятся в ${0, 1, \infty}$ , так что $j$ является функцией Белого . ^[9]

Выражения в терминах тета-функций

Определим ном $q = e π iτ$ и тета-функцию Якоби ,

\vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}

из которых можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Пусть,

{\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}

где $ϑ ij$ и $θ n$ — альтернативные обозначения, а $a 4 - b 4 + c 4 = 0. Тогда для$ модулярных инвариантов $g 2$ , $g 3$ , имеем

{\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}

и модульный дискриминант,

\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}

с функцией Дедекинда $η (τ)$ . Затем можно быстро вычислить $j (τ) ,$

j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}

Алгебраическое определение

До сих пор мы рассматривали $j$ как функцию комплексной переменной. Однако, как инвариант для классов изоморфизма эллиптических кривых, его можно определить чисто алгебраически. ^[10] Пусть

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

быть плоской эллиптической кривой над любым полем . Тогда мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы получить приведенное выше уравнение в стандартной форме $y 2 = 4 x 3 - g 2 x - g 3$ (обратите внимание, что это преобразование может быть выполнено только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3). Результирующие коэффициенты:

{\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}

где $g 2 = c 4$ и $g 3 = c 6.$ У нас также есть дискриминант

\Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.

$j$ - инвариант для эллиптической кривой теперь можно определить как

j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}

В случае, если поле, по которому определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно

j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.

Обратная функция

Обратная функция j $-инварианта$ может быть выражена через гипергеометрическую функцию $2 F 1$ (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, если задано число $N$ , решить уравнение $j (τ) = N$ относительно $τ$ можно по крайней мере четырьмя способами.

Метод 1 : Решение секстики относительно $λ$ ,

j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}

где $x = λ (1 - λ)$ , а $λ$ — это модульная лямбда-функция , поэтому секстика может быть решена как кубическая по $x$ . Тогда,

\tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}

для любого из шести значений $λ$ , где $M$ — среднее арифметическое–геометрическое . ^{[примечание 1]}

Метод 2 : Решение четвертой степени относительно $γ$ ,

j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}

тогда для любого из четырех корней ,

\tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}

Метод 3 : Решение кубического уравнения относительно $β$ ,

j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}

тогда для любого из трех корней,

\tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}

Метод 4 : Решение квадратного уравнения относительно $α$ ,

j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}

затем,

\tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}

Один корень дает $τ$ , а другой дает $− .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/τ⁠$ , но поскольку $j (τ) = j (- ⁠ 1 / τ ⁠)$ , не имеет значения, какой $α$ выбран. Последние три метода можно найти втеории Рамануджана эллиптических функций для альтернативных базисов.

Инверсия применяется в высокоточных вычислениях периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. ^{[ требуется ссылка ]} Связанный результат — это выразимость через квадратичные радикалы значений $j$ в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить с помощью циркуля и линейки ). Последний результат вряд ли очевиден, поскольку модульное уравнение для $j$ порядка 2 является кубическим. ^[11]

Формулы числа Пи

Братья Чудновские, основанные в 1987 году, ^[12]

{\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}

доказательство которого использует тот факт, что

j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.

Аналогичные формулы см. в ряду Рамануджана–Сато .

Неспособность классифицировать эллиптические кривые по сравнению с другими полями

-Инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, более общо, алгебраически замкнутым полем . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, чей -инвариант тот же самый, но они неизоморфны. Например, пусть будут эллиптическими кривыми, связанными с полиномами $j$ $j$ $E_{1},E_{2}$

${\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}$

оба имеют -инвариант . Тогда рациональные точки могут быть вычислены как: $j$ $1728$ $E_{2}$

$E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}$

так как рациональных решений с нет . Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае все решения для иррациональны. С другой стороны, на множестве точек $x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).$ $y=a\neq 0$ $x^{3}-4x-a^{2}$

$\{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}$

уравнение для становится . Разделив на для исключения решения, квадратная формула дает рациональные решения: $E_{1}$ $36n^{2}=-64n^{3}+100n$ $4n$ $(0,0)$

$n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.$

Если эти кривые рассматривать над , то существует изоморфизм, отправляющий $\mathbb {Q} ({\sqrt {10}})$ $E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))$

$(x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.$

Ссылки

Примечания

^ Равенство выполняется, если арифметико-геометрическое среднее комплексных чисел (таких, что ) определяется следующим образом: Пусть , , , где знаки выбраны так, что для всех . Если , знак выбран так, что . Тогда . Когда являются положительными действительными числами (с ), это определение совпадает с обычным определением арифметико-геометрического среднего для положительных действительных чисел. См. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss Дэвида А. Кокса . $\operatorname {M} (a,b)$ $a,b$ $a,b\neq 0;a\neq \pm b$ $a_{0}=a$ $b_{0}=b$ $a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2$ $b_{n+1}=\pm {\sqrt {a_{n}b_{n}}}$ $|a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}+b_{n}|$ $n\in \mathbb {N}$ $|a_{n}-b_{n}|=|a_{n}+b_{n}|$ $\Im (b_{n}/a_{n})>0$ $\operatorname {M} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ $a,b$ $a\neq b$

Другой

^ Милн, Стивен С. (2000). «Определители Ганкеля рядов Эйзенштейна». arXiv : math/0009130v3 .В статье используется неэквивалентное определение , но это учтено в данной статье. $\Delta$
^ Гарет А. Джонс и Дэвид Сингерман. (1987) Комплексные функции: алгебраическая и геометрическая точка зрения. Cambridge UP. [1]
^ Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 106. Springer-Verlag . стр. 339. ISBN 978-0-387-96203-0. Збл 0585.14026.
^ Петерссон, Ганс (1932). «Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen». Акта Математика . 58 (1): 169–215. дои : 10.1007/BF02547776 . МР 1555346.
^ Радемахер, Ганс (1938). «Коэффициенты Фурье модулярного инварианта j(τ)». American Journal of Mathematics . 60 (2): 501–512. doi :10.2307/2371313. JSTOR 2371313. MR 1507331.
^ Cummins, Chris J. (2004). «Конгруэнтные подгруппы групп, соизмеримых с PSL(2,Z)$ рода 0 и 1». Experimental Mathematics . 13 (3): 361–382. doi :10.1080/10586458.2004.10504547. ISSN 1058-6458. S2CID 10319627. Zbl 1099.11022.
^ Чандрасекхаран (1985) стр.108
^ Чандрасекхаран, К. (1985), Эллиптические функции , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Шпрингер-Верлаг , с. 110, ISBN 978-3-540-15295-8, ЗБЛ 0575.33001
^ Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диес, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 79, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , с. 267, ISBN 978-0-521-74022-7, ЗБЛ 1253.30001
^ Ланг, Серж (1987). Эллиптические функции . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 112. New-York ect: Springer-Verlag. pp. 299–300. ISBN 978-1-4612-9142-8. Збл 0615.14018.
^ Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.Теорема 4.8
^ Чудновский, Дэвид В. ; Чудновский, Грегори В. (1989), «Вычисление классических констант», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 86 (21): 8178–8182, Bibcode : 1989PNAS...86.8178C, doi : 10.1073/pnas.86.21.8178 , ISSN 0027-8424, JSTOR 34831, PMC 298242 , PMID 16594075 .

Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, т. 41, Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR 0422157. Содержит очень читабельное введение и различные интересные личности.
- Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, т. 41 (2-е изд.), doi :10.1007/978-1-4612-0999-7, ISBN 978-0-387-97127-8, МР 1027834
Берндт, Брюс К.; Чан, Хенг Хуат (1999), «Рамануджан и модулярный j-инвариант», Канадский математический вестник , 42 (4): 427–440, doi : 10.4153/CMB-1999-050-1 , MR 1727340. Предоставляет множество интересных алгебраических тождеств, включая обратное как гипергеометрический ряд.
Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x^2 + ny^2: Ферма, теория полей классов и комплексное умножение , Нью-Йорк: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR 1028322Вводит j-инвариант и обсуждает связанную с ним теорию полей классов.
Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон (1979), «Чудовищный лунный свет», Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308–339, doi :10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399. Включает список 175 модульных функций рода ноль.
Ранкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-21212-0, МР 0498390. Дает краткий обзор в контексте модульных форм.
Шнайдер, Теодор (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Math. Аннален , 113 : 1–13, doi : 10.1007/BF01571618, MR 1513075, S2CID 121073687.