Дэвид Брайант Мамфорд (родился 11 июня 1937 г.) — американский математик , известный своими работами в области алгебраической геометрии, а затем исследованиями в области видения и теории закономерностей . Он выиграл медаль Филдса и был стипендиатом Макартура . В 2010 году он был награжден Национальной медалью науки . В настоящее время он является почетным профессором кафедры прикладной математики Университета Брауна .
Мамфорд родился в Уорте, Западный Суссекс, Англия , в семье англичанина и матери-американки. Его отец Уильям открыл экспериментальную школу в Танзании и работал в недавно созданной Организации Объединенных Наций . [2]
Он учился в Академии Филлипса в Эксетере , где получил приз Westinghouse Science Talent Search за свой компьютерный проект на основе реле. [3] [4] Затем Мамфорд поступил в Гарвардский университет , где стал студентом Оскара Зариски . В Гарварде он стал научным сотрудником Патнэма в 1955 и 1956 годах . [5] Он защитил докторскую диссертацию в 1961 году, защитив диссертацию под названием « Существование схемы модулей для кривых любого рода» . В 1959 году он женился на Эрике, писательнице и поэтессе, и у них родилось четверо детей: Стивен, Питер, Джереми и Сучитра. На данный момент у него семеро внуков.
Работа Мамфорда в области геометрии сочетала традиционные геометрические идеи с новейшими алгебраическими методами. Он опубликовал статьи о пространствах модулей , теорию которых изложил в своей книге « Геометрическая теория инвариантов» , уравнениях, определяющих абелево многообразие , и алгебраических поверхностях .
Его книги «Абелевы многообразия» (совместно с К.П. Рамануджамом ) и «Кривые на алгебраической поверхности» объединили старые и новые теории. Его конспекты лекций по теории схем в течение многих лет распространялись в неопубликованной форме, в то время как они были, помимо трактата « Элементы алгебраической геометрии» , единственным доступным введением. Теперь они доступны как Красная книга разновидностей и схем ( ISBN 3-540-63293-X ).
Другая работа, которая была менее тщательно написана, — это лекции о многообразиях, определяемых квадриками , и исследование статей Горо Шимуры 1960-х годов.
Исследования Мамфорда во многом способствовали возрождению классической теории тэта-функций , показав, что ее алгебраическое содержание велико и достаточно, чтобы поддержать основные части теории ссылками на конечные аналоги группы Гейзенберга . Эта работа по уравнениям, определяющим абелевы многообразия, появилась в 1966–1967 гг. Он опубликовал еще несколько сборников лекций по теории.
Он также был одним из основателей теории тороидального вложения ; и стремился применить эту теорию к базисным методам Грёбнера через студентов, которые работали над алгебраическими вычислениями.
В серии из четырех статей, опубликованных в Американском журнале математики между 1961 и 1975 годами, Мамфорд исследовал патологическое поведение в алгебраической геометрии , то есть явления, которые не возникли бы, если бы мир алгебраической геометрии вел себя так хорошо, как можно было бы ожидать от него. рассматривая простейшие примеры. Эти патологии делятся на два типа: (а) плохое поведение в характеристике p и (б) плохое поведение в пространствах модулей.
Философия Мамфорда в характеристике p заключалась в следующем:
Несингулярное характеристическое многообразие p аналогично общему некэлерову комплексному многообразию; в частности, проективное вложение такого многообразия не так сильно, как кэлерова метрика на комплексном многообразии, а теоремы Ходжа–Лефшеца–Дольбо о пучковых когомологиях нарушаются всеми возможными способами.
В первой статье «Патологии» Мамфорд находит всюду регулярную дифференциальную форму на гладкой незамкнутой проективной поверхности и показывает, что симметрия Ходжа не выполняется для классических поверхностей Энриквеса во второй характеристике. Этот второй пример получил дальнейшее развитие в третьей статье Мамфорда о классификации поверхностей в характеристике p (написанной совместно с Э. Бомбьери ). Эту патологию теперь можно объяснить с точки зрения схемы поверхности Пикара и, в частности, ее неспособности быть приведенной схемой , что является темой, развитой в книге Мамфорда «Лекции о кривых на алгебраической поверхности». Худшие патологии, связанные с p-перекручиванием в кристаллических когомологиях , были исследованы Люком Иллюзи (Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4) 12 (1979), 501–661).
Во второй статье «Патологии» Мамфорд приводит простой пример поверхности в характеристике p , где геометрический род ненулевой, но второе число Бетти равно рангу группы Нерона – Севери . Далее подобные примеры возникают в теории поверхностей Зарисского . Он также предполагает, что теорема об исчезновении Кодаиры неверна для поверхностей характеристики p . В третьей статье он приводит пример нормальной поверхности, для которой обращение Кодаиры в нуль невозможно. Первый пример гладкой поверхности, для которой не удается исчезнуть Кодайре, был приведен Мишелем Рейно в 1978 году.
Во второй статье «Патологии» Мамфорд обнаруживает, что схема Гильберта, параметризующая пространственные кривые степени 14 и рода 24, имеет кратный компонент. В четвертой статье «Патологии» он находит приведенные и неприводимые полные кривые, которые не являются специализациями неособых кривых.
На момент своего появления подобные патологии считались довольно редкими. Но Рави Вакил в своей статье «Закон Мерфи в алгебраической геометрии» показал, что схемы Гильберта хороших геометрических объектов могут быть сколь угодно «плохими», с неограниченным числом компонент и со сколь угодно большой кратностью (Инвент. Матем. 164 (2006), 569–590).
В трех статьях, написанных между 1969 и 1976 годами (последние две в сотрудничестве с Энрико Бомбьери ), Мамфорд расширил классификацию гладких проективных поверхностей Энриквеса-Кодайры со случая комплексного основного поля на случай алгебраически замкнутого основного поля характеристики p. . Окончательный ответ оказывается по существу таким же, как и в сложном случае (хотя используемые методы иногда совершенно разные), если внести две важные поправки. Во-первых, можно получить «неклассические» поверхности, которые возникают, когда р -кручение в схеме Пикара вырождается в нередуцированную групповую схему. Второе — возможность получения квазиэллиптических поверхностей во второй и третьей характеристиках. Это поверхности, расслоенные по кривой, общий слой которой представляет собой кривую арифметического рода единица с точкой возврата.
После внесения этих корректировок поверхности делятся на четыре класса по размеру Кодаира , как и в сложном случае. Четыре класса: а) Размерность Кодаира минус бесконечность. Это линейчатые поверхности . б) Размерность Кодаиры 0. Это поверхности К3 , абелевы поверхности , гиперэллиптические и квазигиперэллиптические поверхности и поверхности Энриквеса . В последних двух случаях нулевой размерности Кодайры есть классические и неклассические примеры. в) Размерность Кодаиры 1. Это эллиптические и квазиэллиптические поверхности, не входящие в последние две группы. г) Размерность Кодаиры 2. Это поверхности общего типа .
Мамфорд был награжден медалью Филдса в 1974 году. Он был стипендиатом Макартура с 1987 по 1992 год. Он выиграл премию Шоу в 2006 году. В 2007 году он был награжден премией Стила за математическое изложение Американским математическим обществом . В 2008 году он был удостоен премии Вольфа ; Получив в Иерусалиме премию от Шимона Переса , Мамфорд объявил, что пожертвует половину призовых денег Бирзейтскому университету на палестинских территориях , а половину — Гише, израильской организации, которая продвигает право палестинцев на свободу передвижения в секторе Газа. . [6] [7] Он также входил в состав жюри по математическим наукам премии Infosys в 2009 и 2010 годах. В 2010 году он был награжден Национальной медалью науки . [8] В 2012 году он стал членом Американского математического общества . [9]
Помимо вышеперечисленных, существует длинный список наград и наград, в том числе
Он был избран президентом Международного математического союза в 1995 году и занимал этот пост с 1995 по 1999 год.
