Эллиптическая функция

Класс периодических математических функций

В математической области комплексного анализа эллиптические функции представляют собой особые виды мероморфных функций, которые удовлетворяют двум условиям периодичности. Они называются эллиптическими функциями, потому что происходят от эллиптических интегралов . Эти интегралы, в свою очередь, называются эллиптическими, потому что они впервые были использованы при вычислении длины дуги эллипса .

Важными эллиптическими функциями являются эллиптические функции Якоби и -функция Вейерштрасса ${\displaystyle \wp }$ .

Дальнейшее развитие этой теории привело к гиперэллиптическим функциям и модулярным формам .

Определение

Мероморфная функция называется эллиптической функцией, если существуют два линейных независимых комплексных числа таких, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$и . ${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

Таким образом, эллиптические функции имеют два периода и, следовательно, являются двоякопериодическими функциями .

Решетка периодов и фундаментальная область

Параллелограмм, в котором противоположные стороны обозначены.

Если — эллиптическая функция с периодами, то также верно, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$

для каждой линейной комбинации с . ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

Абелева группа

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

называется решеткой периодов .

Параллелограмм , порожденный и ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$

является фундаментальной областью воздействия . _ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Геометрически комплексная плоскость замощена параллелограммами. Все, что происходит в одной фундаментальной области, повторяется во всех остальных. По этой причине мы можем рассматривать эллиптические функции как функции с факторгруппой в качестве области определения. Эту факторгруппу, называемую эллиптической кривой , можно представить в виде параллелограмма с противоположными сторонами, который топологически является тором . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Теоремы Лиувилля

Следующие три теоремы известны как теоремы Лиувилля (1847 г.) .

1-я теорема

Голоморфная эллиптическая функция постоянна. ^[2]

Это исходная форма теоремы Лиувилля , которую можно вывести из нее. ^[3] Голоморфная эллиптическая функция ограничена, поскольку она принимает все свои значения в компактной фундаментальной области. Значит, по теореме Лиувилля оно постоянно.

2-я теорема

Каждая эллиптическая функция имеет конечное число полюсов, а сумма ее вычетов равна нулю. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Из этой теоремы следует, что не существует эллиптической функции, не равной нулю, с ровно одним полюсом первого порядка или ровно одним нулем первого порядка в фундаментальной области.

3-я теорема

Непостоянная эллиптическая функция принимает каждое значение одинаковое количество раз, считая с кратностью. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

℘-функция Вейерштрасса

Одной из наиболее важных эллиптических функций является -функция Вейерштрасса. Для данной решетки периодов она определяется формулой ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Она построена таким образом, что в каждой точке решетки имеет полюс второго порядка. Этот член нужен для того, чтобы сделать ряд сходящимся. ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp }$– четная эллиптическая функция; то есть, . ^[6] ${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

Его производная

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$

является нечетной функцией, т.е. ^[6] ${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

Одним из основных результатов теории эллиптических функций является следующее: всякая эллиптическая функция относительно данной решетки периодов может быть выражена как рациональная функция через и . ^[7] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

-функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

где и – константы, зависящие от . Точнее, и , где и – так называемые ряды Эйзенштейна . ^[8] ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle G_{4}}$ ${\displaystyle G_{6}}$

На алгебраическом языке поле эллиптических функций изоморфно полю

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$,

где изоморфизм отображается в и в . ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle Y}$

• 
  -функция Вейерштрасса с решеткой периодов ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  Производная -функции ${\displaystyle \wp }$

Связь с эллиптическими интегралами

Связь с эллиптическими интегралами имеет главным образом историческую подоплеку. Эллиптические интегралы изучались Лежандром , чьи работы продолжили Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби .

Абель открыл эллиптические функции, взяв обратную функцию эллиптической интегральной функции. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

с . ^[9] ${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

Дополнительно он определил функции ^[10]

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

и

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$.

После продолжения на комплексную плоскость они оказались двоякопериодическими и известны как эллиптические функции Абеля .

Эллиптические функции Якоби получаются аналогично как обратные функции эллиптических интегралов.

Якоби рассматривал интегральную функцию

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

и перевернул его: . означает sinus amplitudinis и является названием новой функции. ^[11] Затем он ввел функции cosinus amplitudinis и delta amplitudinis , которые определяются следующим образом: ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$.

Только сделав этот шаг, Якоби смог доказать свою общую формулу преобразования эллиптических интегралов в 1827 году. ^[12]

История

Вскоре после разработки исчисления бесконечно малых теория эллиптических функций была начата итальянским математиком Джулио ди Фаньяно и швейцарским математиком Леонардом Эйлером . Когда они попытались вычислить длину дуги лемнискаты, они столкнулись с проблемами, связанными с интегралами, содержащими квадратный корень из многочленов степени 3 и 4. ^[13] Было ясно, что так называемые эллиптические интегралы не могут быть решены с использованием элементарных функций. Фаньяно обнаружил алгебраическую связь между эллиптическими интегралами, которую он опубликовал в 1750 году. ^[13] Эйлер немедленно обобщил результаты Фаньяно и сформулировал свою теорему алгебраического сложения для эллиптических интегралов. ^[13]

За исключением комментария Ландена ^[14], его идеи не получили развития до 1786 года, когда Лежандр опубликовал свою статью «Мемуары о интеграциях по дугам эллипса» . ^[15] Лежандр впоследствии изучал эллиптические интегралы и назвал их эллиптическими функциями . Лежандр ввёл тройную классификацию – три вида – которая была решающим упрощением довольно сложной в то время теории. Другими важными работами Лежандра являются: « Mémoire sur les Transantetes elliptiques » (1792), ^[16] «Exercices de Calcul intégral » (1811–1817), ^{[17] «} Traité des fonctions elliptiques » (1825–1832). ^[18] Работа Лежандра в основном оставалась нетронутой математиками до 1826 года.

Впоследствии Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби возобновили исследования и быстро обнаружили новые результаты. Сначала они инвертировали эллиптическую интегральную функцию. По предложению Якоби в 1829 году эти обратные функции теперь называются эллиптическими функциями . Одной из наиболее важных работ Якоби является Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , которая была опубликована в 1829 году. ^[19] Теорема сложения, найденная Эйлером, была сформулирована и доказана в ее общей форме Абелем в 1829 году. Обратите внимание, что в те дни теория эллиптических функций и теории двоякопериодических функций считались разными теориями. Они были объединены Брио и Буке в 1856 году. ^[20] Гаусс открыл многие свойства эллиптических функций 30 годами ранее, но никогда ничего не публиковал по этому вопросу. ^[21]

Смотрите также

• Эллиптический интеграл
• Эллиптическая кривая
• Модульная группа
• Тета-функция

Рекомендации

1. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
2. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 258, ISBN 978-3-540-32058-6
3. Джереми Грей (2015), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 118f, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 260, ISBN 978-3-540-32058-6
5. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 262, ISBN 978-3-540-32058-6
6. К. Чандрасехаран (1985), Эллиптические функции (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. 28, ISBN 0-387-15295-4
7. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 275, ISBN 978-3-540-32058-6
8. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 276, ISBN 978-3-540-32058-6
9. Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, p. 74, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, p. 75, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, p. 82, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
12. Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
13. Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа XIX века. Чам. стр. 23ф. ISBN 978-3-319-23715-2. ОСЛК  932002663.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Джон Лэнден: Исследование общей теоремы о нахождении длины любой дуги любой конической гиперболы с помощью двух эллиптических дуг, а также некоторых других новых и полезных теорем, выведенных из нее. В: Философские труды Лондонского королевского общества 65 (1775), Nr. XXVI, стр. 283–289, JSTOR  106197.
15. Адриен-Мари Лежандр: Воспоминания об интеграции по дугам эллипса. В: Histoire de l'Académie Royale des Sciences Париж (1788), S. 616–643. – Дер.: Второй мемуар по интеграциям по дугам эллипса и по сравнению этих дуг. В: Histoire de l'Académie Royale des Sciences Париж (1788), S. 644–683.
16. Адриен-Мари Лежандр: «Мемуар о трансцендентных эллипсах», или о методах, позволяющих сравнивать и оценивать эти трансценденты, которые включают в себя дуги эллипса и которые часто встречаются в приложениях интегрального расчета. Дюпон и Фирмен-Дидо, Париж, 1792. Englische Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. В: Томас Лейборн: Новая серия математического репозитория . Группа 2. Глендиннинг, Лондон, 1809 г., Часть 3, С. 1–34.
17. Адриен-Мари Лежандр: Упражнения по исчислению интегралов для различных порядков трансцендентов и квадратур. 3 Банде. (Группа 1, Группа 2, Группа 3). Париж 1811–1817 гг.
18. Адриен-Мари Лежандр: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, с таблицами для облегчения числового расчета. 3 Бде. (Группа 1, Группа 2, Группа 3/1, Группа 3/2, Группа 3/3). Юзар-Курсье, Париж, 1825–1832 гг.
19. Карл Густав Якоб Якоби: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Кенигсберг 1829 г.
20. Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа XIX века. Чам. п. 122. ИСБН 978-3-319-23715-2. ОСЛК  932002663.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
21. Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа XIX века. Чам. п. 96. ИСБН 978-3-319-23715-2. ОСЛК  932002663.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Литература

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 16». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 567, 627. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253. См. также главу 18 (рассматривается только случай вещественных инвариантов).
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, переведено на английский язык как AMS Переводы математических монографий, том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (см. главу 1). 
• Э.Т. Уиттакер и Дж.Н. Уотсон . Курс современного анализа , издательство Кембриджского университета, 1952 г.

Внешние ссылки

• «Эллиптическая функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• МАА, Перевод статьи Абеля об эллиптических функциях.
• Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube , лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)
• Йоханссон, Фредрик (2018). «Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модульных форм». arXiv : 1806.06725 [cs.NA].