Список тригонометрических тождеств

Равенства, в которых участвуют тригонометрические функции

В тригонометрии тригонометрические тождества — это равенства , которые включают тригонометрические функции и верны для любого значения встречающихся переменных , для которых определены обе части равенства. Геометрически это тождества , включающие в себя определенные функции одного или нескольких углов . Они отличаются от тождеств треугольника , которые потенциально включают в себя углы, но также и длины сторон или другие длины треугольника .

Эти тождества полезны всякий раз, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: общий метод предполагает сначала использование правила замены тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Пифагорейские идентичности

Тригонометрические функции и обратные им на единичной окружности. Все прямоугольные треугольники подобны, то есть соотношения между соответствующими сторонами одинаковы. Для sin, cos и tan радиус единичной длины образует гипотенузу определяющего их треугольника. Взаимные тождества возникают как отношения сторон в треугольниках, где эта единичная линия больше не является гипотенузой. Треугольник, закрашенный синим цветом, иллюстрирует идентичность , а красный треугольник показывает это . ${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta }$

Основное соотношение между синусом и косинусом задается тождеством Пифагора:

$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$$

где средства и средства ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle (\sin \theta )^{2}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle (\cos \theta )^{2}.}$

Это можно рассматривать как версию теоремы Пифагора и следует из уравнения для единичного круга . Это уравнение можно решить как для синуса, так и для косинуса: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$$

где знак зависит от квадранта ${\displaystyle \theta .}$

Разделив это тождество на , или на оба, получим следующие тождества: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$$

Используя эти тождества, можно выразить любую тригонометрическую функцию через любую другую ( с точностью до знака плюс или минус):

Размышления, сдвиги и периодичность

Исследуя единичную окружность, можно установить следующие свойства тригонометрических функций.

Размышления

Преобразование координат ( a , b ) при сдвиге угла отражения с шагом . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Когда направление евклидова вектора представлено углом, это угол, определяемый свободным вектором (начиная с начала координат) и положительным единичным вектором. Та же концепция может быть применена и к линиям в евклидовом пространстве, где угол определяется параллелью данной линии, проходящей через начало координат и положительную -ось. Если линия (вектор) с направлением отражается относительно линии с направлением, то направляющий угол этой отраженной линии (вектора) имеет значение ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$

$${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}$$

Значения тригонометрических функций этих углов для конкретных углов удовлетворяют простым тождествам: либо они равны, либо имеют противоположные знаки, либо используют дополнительную тригонометрическую функцию. Они также известны как формулы приведения . ^[2] ${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Сдвиги и периодичность

Преобразование координат ( a , b ) при сдвиге угла с шагом . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Знаки

Знак тригонометрических функций зависит от квадранта угла. Если и Sign — знаковая функция , ${\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Тригонометрические функции являются периодическими с общим периодом, поэтому для значений θ вне интервала они принимают повторяющиеся значения (см. § Сдвиги и периодичность выше). ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle ({-\pi },\pi ],}$

Тождества угловой суммы и разности

Иллюстрация формул сложения синуса и косинуса острых углов. Выделенный отрезок имеет единичную длину.

Диаграмма, показывающая тождества угловой разности для и . ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$

Они также известны как теоремы сложения и вычитания углов (или формулы ).

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$$

Тождества угловой разности для и могут быть получены из версий суммы углов путем замены и использования фактов, которые и . Их также можно получить, используя слегка измененную версию рисунка тождеств суммы углов, оба из которых показаны здесь. ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}$ ${\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}$

Эти тождества суммированы в первых двух строках следующей таблицы, которая также включает тождества суммы и разности для других тригонометрических функций.

Синусы и косинусы сумм бесконечного числа углов

Если ряд сходится абсолютно , то ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

Поскольку ряд сходится абсолютно, то обязательно имеет место и В частности, в этих двух тождествах появляется асимметрия, не наблюдаемая в случае сумм конечного числа углов: в каждом произведении имеется лишь конечное число синусоидальных множителей, но являются коконечно многими косинусными коэффициентами. Члены с бесконечным числом синусоидальных множителей обязательно будут равны нулю. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$

Когда только конечное число углов отличны от нуля, тогда только конечное число членов в правой части отличны от нуля, поскольку все синусоидальные множители, кроме конечного числа, обращаются в нуль. Более того, в каждом члене все косинусные множители, кроме конечного числа, равны единице. ${\displaystyle \theta _{i}}$

Тангенсы и котангенсы сумм

Пусть (при ) – элементарный симметрический многочлен k -й степени от переменных ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$

${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

используя приведенные выше формулы суммы синуса и косинуса.

Количество слагаемых в правой части зависит от количества слагаемых в левой части.

Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$$

и так далее. Случай лишь конечного числа членов может быть доказан методом математической индукции . ^[14]

Секансы и косеканты сумм

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

где – элементарный симметричный полином k -й степени от n переменных , а количество слагаемых в знаменателе и количество множителей в произведении в числителе зависят от количества слагаемых в сумме слева. ^[15] Случай только конечного числа термов может быть доказан методом математической индукции по числу таких термов. ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$

Например,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$$

Теорема Птолемея

Диаграмма, иллюстрирующая связь между теоремой Птолемея и тригонометрическим тождеством суммы углов для синуса. Теорема Птолемея утверждает, что сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей. Когда эти длины сторон выражаются через значения sin и cos, показанные на рисунке выше, это дает тригонометрическое тождество суммы углов для синуса: sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .

Теорема Птолемея важна в истории тригонометрических тождеств, поскольку именно ею были впервые доказаны результаты, эквивалентные формулам суммы и разности для синуса и косинуса. В нем говорится, что в вписанном четырехугольнике , как показано на прилагаемом рисунке, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей. В особых случаях, когда одна из диагоналей или сторон является диаметром круга, эта теорема непосредственно приводит к тригонометрическим тождествам суммы углов и разности. ^[16] Это соотношение легче всего прослеживается, когда круг построен так, чтобы его диаметр был равен единице, как показано здесь. ${\displaystyle ABCD}$

По теореме Фалеса и оба угла прямые. Прямоугольные треугольники и оба имеют общую гипотенузу длины 1. Таким образом, стороны , , и . ${\displaystyle \angle DAB}$ ${\displaystyle \angle DCB}$ ${\displaystyle DAB}$ ${\displaystyle DCB}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta }$ ${\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }$

По теореме о вписанном угле центральный угол, образуемый хордой в центре окружности, вдвое больше угла , т.е. Следовательно, каждая симметричная пара красных треугольников имеет угол в центре. Каждый из этих треугольников имеет гипотенузу длины , поэтому длина равна , т.е. просто . Другая диагональ четырехугольника имеет диаметр, равный 1, поэтому произведение длин диагоналей также равно . ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle \angle ADC}$ ${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$

Когда эти значения подставляются в утверждение теоремы Птолемея о том , что это дает тригонометрическое тождество суммы углов для синуса: . Формулу угловой разности для можно получить аналогичным образом, если в качестве диаметра использовать сторону, а не . ^[16] ${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$ ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$ ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$

Формулы нескольких углов и половинных углов

Многоугольные формулы

Формулы двойного угла

Наглядная демонстрация формулы двойного угла для синуса. Площадь,1/2× основание × высота равнобедренного треугольника рассчитывается сначала в вертикальном положении, а затем на его стороне. В вертикальном положении площадь = . На его стороне площадь = . Вращение треугольника не меняет его площадь, поэтому эти два выражения равны. Поэтому, ${\displaystyle \sin \theta \cos \theta }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .}$

Формулы удвоения угла. ^[19]

• ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}}$

Формулы тройного угла

Формулы тройных углов. ^[19]

• ${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)}$
• ${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$
• ${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

Многоугольные формулы

Формулы для нескольких углов. ^[20]

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle \cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta }$
• ${\displaystyle \cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )}$
• ${\displaystyle \cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )}$
• ${\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}}$

метод Чебышева

Метод Чебышева представляет собой рекурсивный алгоритм поиска формулы кратного угла n , зная значения th и th. ^[21] ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle \cos(nx)}$можно вычислить из , , и с ${\displaystyle \cos((n-1)x)}$ ${\displaystyle \cos((n-2)x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$

$${\displaystyle \cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).}$$

Это можно доказать, сложив формулы

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}}$$

По индукции следует, что это полином так называемого полинома Чебышева первого рода, см. Полиномы Чебышева#Тригонометрическое определение . ${\displaystyle \cos(nx)}$ ${\displaystyle \cos x,}$

Аналогично, можно вычислить из и с ${\displaystyle \sin(nx)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x),}$ ${\displaystyle \sin((n-2)x),}$ ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle \sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)}$$

${\displaystyle \sin((n-1)x+x)}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x-x).}$

Для целей, аналогичных цели метода Чебышева, для касательной можно записать:

$${\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}$$

Формулы половинного угла

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}}$$

^{[22] [23]}

Также

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}$$

Стол

Их можно показать, используя либо тождества суммы и разности, либо формулы нескольких углов.

Тот факт, что формула тройного угла для синуса и косинуса включает в себя степени только одной функции, позволяет связать геометрическую задачу построения циркуля и линейки трисекции угла с алгебраической задачей решения кубического уравнения , что позволяет доказать что трисекция вообще невозможна с использованием данных инструментов теории поля . ^{[ нужна цитата ]}

Формула для вычисления тригонометрических тождеств для угла в одну треть существует, но она требует найти нули кубического уравнения 4 x ³ − 3 x + d = 0 , где – значение косинуса при угле в одну треть d — известное значение косинуса на полном угле. Однако дискриминант этого уравнения положителен, поэтому это уравнение имеет три действительных корня (из которых только один является решением косинуса трети угла). Ни одно из этих решений не сводится к вещественному алгебраическому выражению , поскольку они используют промежуточные комплексные числа под кубическими корнями . ${\displaystyle x}$

Формулы снижения мощности

Получено решением второго и третьего вариантов формулы косинуса двойного угла.

Формула косинусного приведения в степень: наглядная диаграмма. Красный, оранжевый и синий треугольники подобны, а красный и оранжевый треугольники конгруэнтны. Гипотенуза синего треугольника имеет длину . Угол равен , значит, длина основания этого треугольника . Эта длина также равна сумме длин и , т.е. Поэтому, . Разделив обе части на, получим формулу приведения степени косинуса: . Формулу половинного угла для косинуса можно получить, заменив на и извлекая квадратный корень из обеих частей: ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle 2\cos \theta }$ ${\displaystyle \angle DAE}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle {\overline {AF}}}$ ${\displaystyle 1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

Формула снижения синусоидальной мощности: наглядная диаграмма. Заштрихованные синий и зеленый треугольники, а также треугольник, обведенный красным, являются прямоугольными и одинаковыми, и все они содержат угол . Гипотенуза треугольника, обведенного красным, имеет длину , поэтому длина его стороны равна . Отрезок линии имеет длину и сумму длин и равен длине , которая равна 1. Следовательно, . Вычитание из обеих частей и деление на 2 на два дает формулу приведения степени для синуса: . Формула половинного угла для синуса может быть получена путем замены на и извлечения квадратного корня из обеих сторон: Обратите внимание, что на этом рисунке также показано в вертикальном отрезке , что . ${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ${\displaystyle 2\sin \theta }$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle 2\sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle \cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1}$ ${\displaystyle \cos 2\theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ ${\displaystyle {\overline {EB}}}$ ${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$

В общих чертах степени или верно следующее, и его можно вывести с помощью формулы Де Муавра , формулы Эйлера и биномиальной теоремы . ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$

Тождества произведения к сумме и суммы к произведению

Тождества произведения к сумме ^[27] или формулы простафереза ​​можно доказать, разложив их правые части с помощью теорем сложения углов. Исторически первые четыре из них были известны как формулы Вернера , в честь Иоганна Вернера , который использовал их для астрономических расчетов. ^[28] См. амплитудную модуляцию для применения формул произведения к сумме, а также биение (акустика) и фазовый детектор для применения формул преобразования суммы в произведение.

Тождества произведения к сумме

• ${\displaystyle \cos \theta \,\cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \sin \theta \,\sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \sin \theta \,\cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \cos \theta \,\sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}}$
• ${\displaystyle \tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}}$
• ${\displaystyle \tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}}$
• ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}}$

Тождества суммы к произведению

Диаграмма, иллюстрирующая тождества суммы и произведения для синуса и косинуса. У синего прямоугольного треугольника есть угол , а у красного прямоугольного треугольника есть угол . Оба имеют гипотенузу длины 1. Вспомогательные углы, называемые здесь и , построены так, что и . Поэтому и . Это позволяет построить два конгруэнтных треугольника с фиолетовым контуром , каждый из которых имеет гипотенузу и угол в основании. Сумма высот красного и синего треугольников равна , и это равна двойной высоте одного фиолетового треугольника, т.е. Запись и в этом уравнении через и дает тождество суммы к произведению для синуса: . Точно так же сумма ширин красного и синего треугольников дает соответствующее тождество для косинуса. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p=(\theta +\varphi )/2}$ ${\displaystyle q=(\theta -\varphi )/2}$ ${\displaystyle \theta =p+q}$ ${\displaystyle \varphi =p-q}$ ${\displaystyle AFG}$ ${\displaystyle FCE}$ ${\displaystyle \cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi }$ ${\displaystyle 2\sin p\cos q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$

Тождества суммы к произведению следующие: ^[29]

• ${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}}$

Котангенсное тождество Эрмита

Чарльз Эрмит продемонстрировал следующее тождество. ^[30] Предположим , являются комплексными числами , никакие два из которых не отличаются на целое число, кратное  π . Позволять ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$$

(в частности, будучи пустым произведением , оно равно 1). Затем ${\displaystyle A_{1,1},}$

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$$

Простейшим нетривиальным примером является случай  n  = 2 :

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$$

Конечные произведения тригонометрических функций

Для взаимно простых целых чисел n , m

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$$

где T _n — полином Чебышева . ^{[ нужна цитата ]}

Для функции синуса справедливо следующее соотношение

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$$

В более общем смысле для целого числа n > 0 ^[31]

$${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).}$$

или записано в терминах функции аккорда , ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$

$${\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).}$$

Это происходит в результате разложения полинома на линейные коэффициенты (ср. корень из единицы ): для точки z на комплексной единичной окружности и целого числа n > 0 , ${\textstyle z^{n}-1}$

$${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}.}$$

Линейные комбинации

Для некоторых целей важно знать, что любая линейная комбинация синусоидальных волн одного и того же периода или частоты, но с разными фазовыми сдвигами , также является синусоидальной волной с тем же периодом или частотой, но с другим фазовым сдвигом. Это полезно при подгонке данных синусоиды , поскольку измеренные или наблюдаемые данные линейно связаны с неизвестными a и b базиса синфазных и квадратурных компонентов , приведенного ниже, что приводит к более простому якобиану по сравнению с и . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

Синус и косинус

Линейная комбинация или гармоническое сложение синусоидальных и косинусоидальных волн эквивалентно одной синусоидальной волне со сдвигом фазы и масштабированной амплитудой, ^{[32] [33]}

$${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$$

где и определяются так: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}}$$

при условии ${\displaystyle a\neq 0.}$

Произвольный фазовый сдвиг

В более общем смысле для произвольных фазовых сдвигов мы имеем

$${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$$

где и удовлетворить: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}$$

Более двух синусоидов

Общий случай гласит ^[33]

$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$$

$${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$$

$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$$

Тригонометрические тождества Лагранжа

Эти личности, названные в честь Жозефа Луи Лагранжа : ^{[34] [35] [36]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.}$

Связанная функция — ядро ​​Дирихле :

$${\displaystyle D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.}$$

Аналогичное тождество ^[37]

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.}$$

Доказательство состоит в следующем. Используя тождества суммы углов и разности,

$${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.}$$

$${\displaystyle 2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}}$$

Итак, деление этой формулы на завершает доказательство. ${\displaystyle 2\sin \alpha }$

Некоторые дробно-линейные преобразования

Если задано дробно-линейным преобразованием ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$$

$${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$$

$${\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$$

Говоря более кратко, если мы позволим всему быть тем, что мы назвали выше, тогда ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}$$

Если – наклон линии, то – наклон ее поворота на угол ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle -\alpha .}$

Связь с комплексной показательной функцией

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа x : ^[38]

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

ямнимая единицаxx

$${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.}$$

Эти два уравнения можно использовать для вычисления косинуса и синуса в терминах экспоненциальной функции . В частности, ^{[39] [40]}

$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$$

$${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$$

Эти формулы полезны для доказательства многих других тригонометрических тождеств. Например, то, что e ^{i ( θ + φ )} = e ^iθ e ^iφ означает, что

cos( θ + φ ) + я sin( θ + φ ) = (cos θ + я sin θ ) (cos φ + я sin φ ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ ) + i (cos θ sin φ + грех θ потому что φ ) .

То, что действительная часть левой части равна действительной части правой части, является формулой сложения углов для косинуса. Равенство мнимых частей дает формулу сложения углов для синуса.

В следующей таблице тригонометрические функции и их обратные выражаются через экспоненциальную функцию и комплексный логарифм .

Расширение серии

При использовании разложения в степенной ряд для определения тригонометрических функций получаются следующие тождества: ^[42]

$${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$$

$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

Формулы бесконечного произведения

Для приложений к специальным функциям полезны следующие формулы бесконечного произведения для тригонометрических функций: ^{[43] [44]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Обратные тригонометрические функции

Следующие тождества дают результат составления тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией. ^[45]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}$$

Если мультипликативное обращение обеих частей каждого приведенного выше уравнения приводит к уравнениям для Правая часть приведенной выше формулы всегда будет перевернута. Например, уравнение для : ${\displaystyle \csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.}$ ${\displaystyle \cot(\arcsin x)}$

$${\displaystyle \cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$$

${\displaystyle \csc(\arccos x)}$ ${\displaystyle \sec(\arccos x)}$

$${\displaystyle \csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.}$$

Следующие тождества подразумеваются тождествами отражения. Они выполняются всякий раз, когда находятся в области определения соответствующих функций. ${\displaystyle x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}$$

Кроме того, ^[46]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x}$$

$${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}$$

Функцию арктангенса можно разложить в ряд: ^[47 ]

$${\displaystyle \arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}}$$

Идентификаторы без переменных

В терминах арктангенса имеем ^[46]

$${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

Любопытная закономерность, известная как закон Морри ,

$${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$$

является частным случаем тождества, которое содержит одну переменную:

$${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.}$$

Сходным образом,

$${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$$

${\displaystyle x=20^{\circ }}$

$${\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.}$$

Для случая , ${\displaystyle x=15^{\circ }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

Для случая , ${\displaystyle x=10^{\circ }}$

$${\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$$

То же косинусное тождество

$${\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.}$$

Сходным образом,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

Сходным образом,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Следующее, возможно, не так легко обобщить на тождество, содержащее переменные (но см. объяснение ниже):

$${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$$

Градусная мера перестает быть более удачной, чем радианная мера, когда мы рассматриваем это тождество с 21 в знаменателе:

$${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}$$

Факторы 1, 2, 4, 5, 8, 10 могут прояснить закономерность: это целые числа, меньшие21/2которые относительно просты (или не имеют общих простых множителей с) 21. Последние несколько примеров являются следствием основного факта о неприводимых круговых многочленах : косинусы являются действительными частями нулей этих многочленов; сумма нулей представляет собой функцию Мёбиуса , рассчитанную (в самом последнем случае выше) 21; выше присутствует только половина нулей. Две идентичности, предшествующие последней, возникают таким же образом: 21 заменяется 10 и 15 соответственно.

Другие косинусные тождества включают: ^[48]

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}$$

Многие из этих любопытных личностей проистекают из более общих фактов, таких как следующие: ^[49]

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$$

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.}$$

Их объединение дает нам

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}$$

Если n нечетное число ( ), мы можем использовать симметрии, чтобы получить ${\displaystyle n=2m+1}$

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}$$

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта может быть выражена через полином и полюсы. Установив частоту в качестве частоты среза, можно доказать следующее тождество:

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}$$

Вычисление π

Эффективный способ вычисления π для большого количества цифр основан на следующем тождестве без переменных, предложенном Machin . Это известно как формула типа Машины :

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$$

Леонарда Эйлера

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$$

тройки Пифагора

$${\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}$$

Другие включают: ^{[50] [46]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$$

$${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,}$$

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

В общем случае для чисел t ₁ , ..., t _{n −1} ∈ (−1, 1), для которых θ _n = Σ^{п -1}
_{к =1}арктан t _k ∈ ( π /4, 3 π /4) , пусть t _n = tan( π /2 − θ _n ) = cot θ _n . Это последнее выражение можно вычислить непосредственно, используя формулу котангенса суммы углов, тангенсы которых равны t ₁ , ..., t _{n −1} , и его значение будет находиться в (−1, 1) . В частности, вычисленное t _n будет рациональным, если все значения t ₁ , ..., t _{n -1} рациональны. Благодаря этим значениям

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}$$

где во всех выражениях, кроме первого, мы использовали формулы касательного полуугла. Первые две формулы работают, даже если одно или несколько значений t _k находятся за пределами (−1, 1) . Обратите внимание, что если t = p / q рационально, то значения (2 t , 1 − t ² , 1 + t ² ) в приведенных выше формулах пропорциональны тройке Пифагора (2 pq , q ² − p ² , q ² + п ² ) .

Например, для n = 3 членов:

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}$$

a , b , c , d > 0

Личность Евклида

Евклид показал в книге XIII, предложении 10 своих «Начал» , что площадь квадрата на стороне правильного пятиугольника, вписанного в круг, равна сумме площадей квадратов на сторонах правильного шестиугольника и правильного десятиугольника. вписаны в тот же круг. На языке современной тригонометрии это говорит:

$${\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}$$

Птолемей использовал это предложение для вычисления некоторых углов в своей таблице хорд в книге I, главе 11 « Альмагеста» .

Состав тригонометрических функций

Эти тождества включают тригонометрическую функцию тригонометрической функции: ^[51]

• ${\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}$
• ${\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}$
• ${\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}$
• ${\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

где J _i — функции Бесселя .

Дальнейшие «условные» тождества для случая α + β + γ = 180°.

Следующие формулы применимы к произвольным плоским треугольникам и следуют из того, что функции, входящие в формулы, четко определены (последнее применимо только к формулам, в которых встречаются тангенсы и котангенсы). ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

Исторические сокращения

В навигации использовались версинус , коверсинус , гаверсинус и экссеканс . Например, формула гаверсинуса использовалась для расчета расстояния между двумя точками на сфере. Сегодня они используются редко.

Разнообразный

Ядро Дирихле

Ядро Дирихле D _n ( x ) — это функция, встречающаяся по обе стороны следующего тождества:

$${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.}$$

Свертка любой интегрируемой функции периода с ядром Дирихле совпадает с приближением Фурье-й степени функции . То же самое справедливо для любой меры или обобщенной функции . ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle n}$

Замена касательной полуугла

Если мы установим

$${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}$$

^[52]

$${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}}$$

цис x ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

Когда эта замена на tan ${\displaystyle t}$Икс/2используется в исчислении , отсюда следует, что заменяется на ${\displaystyle \sin x}$2 т/1 + т ², заменяется на ${\displaystyle \cos x}$1 − т ²/1 + т ²и дифференциал d x заменяется на2 д т/1 + т ². Тем самым преобразуются рациональные функции и в рациональные функции с целью найти их первообразные . ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle t}$

Бесконечный продукт Вьета

$${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}$$

Смотрите также

• Неравенство Аристарха
• Производные тригонометрических функций
• Точные тригонометрические значения (значения синуса и косинуса, выраженные в сурдах)
• Эксекант
• Полусторонняя формула
• Гиперболическая функция
• Законы решения треугольников:
  • Закон косинусов
    • Сферический закон косинусов
  • Закон синусов
  • Закон касательных
  • Закон котангенсов
  • Формула Молвейде
• Список интегралов тригонометрических функций
• Мнемоника в тригонометрии
• Пентаграмма мирификум
• Доказательства тригонометрических тождеств.
• Простафаэрез
• теорема Пифагора
• Формула касательного полуугла
• Тригонометрическое число
• Тригонометрия
• Использование тригонометрии
• Версинус и гаверсинус

Рекомендации

1. Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4, уравнение 4.3.45». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 73. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
2. Селби 1970, с. 188
3. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.13–15
4. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.7–9
5. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.16
6. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы тригонометрического сложения». Математический мир .
7. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.17
8. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.18
9. «Угловая сумма и разностные тождества». www.milefoot.com . Проверено 12 октября 2019 г.
10. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.19
11. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.32
12. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.33
13. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.34
14. Бронштейн, Мануэль (1989). «Упрощение реальных элементарных функций». В Гонне, GH (ред.). Труды Международного симпозиума ACM- SIGSAM 1989 по символьным и алгебраическим вычислениям . ISSAC '89 (Портленд, США, Орегон, 1989–07). Нью-Йорк: ACM . стр. 207–211. дои : 10.1145/74540.74566. ISBN 0-89791-325-6.
15. Харди, Майкл (2016). «О касательных и секансах бесконечных сумм». Американский математический ежемесячник . 123 (7): 701–703. doi : 10.4169/amer.math.monthly.123.7.701.
16. «Синус, косинус и теорема Птолемея».
17. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы нескольких углов». Математический мир .
18. Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.48
19. Селби 1970, стр. 190
20. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы нескольких углов». mathworld.wolfram.com . Проверено 6 февраля 2022 г.
21. Уорд, Кен. «Рекурсивная формула нескольких углов». Страницы математики Кена Уорда .
22. Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4, уравнения 4.3.20-22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 72. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
23. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы половинного угла». Математический мир .
24. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.24–26
25. Вайсштейн, Эрик В. «Формулы двойного угла». Математический мир .
26. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.27–28
27. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.31–33
28. Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Филадельфия: Паб Saunders College. п. 309. ИСБН 0-03-029558-0. ОСЛК  20842510.
29. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.34–39
30. Джонсон, Уоррен П. (апрель 2010 г.). «Тригонометрические тождества по-эрмитски». Американский математический ежемесячник . 117 (4): 311–327. дои : 10.4169/000298910x480784. S2CID  29690311.
31. «Идентификация продукта под разными углами» .
32. Апостол, ТМ (1967) Исчисление. 2-е издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк, Уайли. Стр. 334-335.
33. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема гармонического сложения». Математический мир .
34. Ортис Муньис, Эдди (февраль 1953 г.). «Метод вывода различных формул электростатики и электромагнетизма с использованием тригонометрических тождеств Лагранжа». Американский журнал физики . 21 (2): 140. Бибкод : 1953AmJPh..21..140M. дои : 10.1119/1.1933371.
35. Агарвал, Рави П.; О'Риган, Донал (2008). Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных: со специальными функциями, рядами Фурье и краевыми задачами (иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 185. ИСБН 978-0-387-79146-3.Выдержка со страницы 185
36. Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-хуэй (2008). «Раздел 2.4.1.6». Справочник по математическим формулам и интегралам (4-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-374288-9.
37. Фэй, Темпл Х.; Клопперс, П. Хендрик (2001). «Феномен Гиббса». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 32 (1): 73–89. дои : 10.1080/00207390117151.
38. Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.47
39. Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.2
40. Абрамовиц и Стегун, с. 71, 4.3.1
41. Абрамовиц и Стегун, с. 80, 4.4.26–31
42. Абрамовиц и Стегун, с. 74, 4.3.65–66
43. Абрамовиц и Стегун, с. 75, 4.3.89–90
44. Абрамовиц и Стегун, с. 85, 4.5.68–69
45. Абрамовиц и Стегун 1972, с. 73, 4.3.45
46. Ву, Рекс Х. «Доказательство без слов: арктангенсальная идентичность Эйлера», Mathematics Magazine 77 (3), июнь 2004 г., стр. 189.
47. С. М. Абраров, Р. К. Джагпал, Р. Сиддики и Б. М. Куайн (2021), «Алгоритмическое определение большого целого числа в двухчленной машиноподобной формуле для π», Математика , 9 (17), 2162, arXiv : 2107.01027 , дои : 10.3390/math9172162{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
48. Скромный, Стив (ноябрь 2004 г.). «Бабушкина личность». Математический вестник . 88 : 524–525. дои : 10.1017/s0025557200176223. S2CID  125105552.
49. Вайсштейн, Эрик В. «Синус». Математический мир .
50. Харрис, Эдвард М. «Суммы арктангенсов», Роджер Б. Нельсон, «Доказательства без слов» (1993, Математическая ассоциация Америки), стр. 39.
51. Милтон Абрамовиц и Ирен Стеган, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Dover Publications , Нью-Йорк, 1972, формулы 9.1.42–9.1.45
52. Абрамовиц и Стегун, с. 72, 4.3.23

Библиография

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.
• Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы для пяти мест (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• Селби, Сэмюэл М., изд. (1970), Стандартные математические таблицы (18-е изд.), The Chemical Rubber Co.

Внешние ссылки

• Значения sin и cos, выраженные в сурдах, для целых чисел, кратных 3° и 5+5/8°, и для тех же углов csc, sec и tan
• Полный список тригонометрических формул