Простафаэрез

Approximate multiplication and division using formulas from trigonometry

Простафаэрез (от греческого προσθαφαίρεσις ) — алгоритм, использовавшийся в конце 16 — начале 17 веков для приблизительного умножения и деления с использованием формул тригонометрии . В течение 25 лет, предшествовавших изобретению логарифма в 1614 году, это был единственный известный общеприменимый способ быстрого приближения произведений. Его название происходит от греческого протеза (πρόσθεσις) и аферезиса (ἀφαίρεσις), что означает сложение и вычитание, два этапа процесса. ^{[1] [2]}

История и мотивация

Сферический треугольник

В Европе XVI века небесная навигация кораблей в дальних плаваниях во многом полагалась на эфемериды для определения их положения и курса. Эти объемные карты, подготовленные астрономами , подробно описывают положение звезд и планет в различные моменты времени. Модели, использованные для их расчета, были основаны на сферической тригонометрии , которая связывает углы и длины дуг сферических треугольников (см. диаграмму справа) с помощью таких формул, как

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha }$

и

${\displaystyle \sin b\sin \alpha =\sin a\sin \beta ,}$

где a , b и c — углы, образуемые в центре сферы соответствующими дугами.

Если одна величина в такой формуле неизвестна, а остальные известны, неизвестную величину можно вычислить с помощью серии умножений, делений и поиска в тригонометрической таблице. Астрономам приходилось производить тысячи таких вычислений, а поскольку лучшим доступным методом умножения было длительное умножение , большая часть этого времени была потрачена на утомительное умножение произведений.

Математики, особенно астрономы, искали более простой путь, и тригонометрия была для этих людей одной из самых продвинутых и знакомых областей. Простафаэрез появился в 1580-х годах, но возбудитель его доподлинно неизвестен; ^[3] в число его авторов входили математики Ибн Юнис , Йоханнес Вернер , Пауль Виттих , Йост Бюрги , Кристофер Клавиус и Франсуа Вьет . Виттих, Юнис и Клавиус были астрономами, и различные источники приписывают им открытие этого метода. Его наиболее известным сторонником был Тихо Браге , который широко использовал его для астрономических расчетов, подобных описанным выше. Его также использовал Джон Нэпьер , которому приписывают изобретение логарифмов, которые его заменили.

Николай Коперник несколько раз упоминает «простаферез» в своей работе De Revolutionibus Orbium Coelestium 1543 года , что означает «великий параллакс», вызванный смещением наблюдателя из-за годового движения Земли.

Личности

Тригонометрические тождества , используемые при простаферезе, связывают произведения тригонометрических функций с суммами. Они включают в себя следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\cos a\cos b&={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\[6pt]\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\end{aligned}}}$

Считается, что первые два из них были выведены Йостом Бюрги , ^{[ нужна цитация ]} , который связал их с [Тихо?] Браге; ^{[ нужна цитация ]} остальные легко следуют из этих двух. Если обе части умножить на 2, эти формулы еще называют формулами Вернера .

Алгоритм

Используя вторую формулу, приведенную выше, техника умножения двух чисел работает следующим образом:

1. Уменьшение масштаба : сдвигая десятичную точку влево или вправо, масштабируйте оба числа до значений между и , которые будут называться и . ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \alpha }$ ${\displaystyle \cos \beta }$
2. Обратный косинус : используя таблицу обратных косинусов, найдите два угла и чьи косинусы являются нашими двумя значениями. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
3. Сумма и разность : найдите сумму и разность двух углов.
4. Усреднение косинусов : найдите косинусы суммы и разности углов с помощью таблицы косинусов и усредните их, получив (в соответствии со второй формулой выше) произведение . ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$
5. Увеличение масштаба : сдвиньте десятичный знак в ответе на общее количество знаков, на которое мы сместили десятичный знак на первом этапе для каждого ввода, но в противоположном направлении.

Например, скажем, мы хотим умножить и . Следуя инструкциям: ${\displaystyle 105}$ ${\displaystyle 720}$

1. Уменьшение масштаба : сдвиньте десятичную запятую на три знака влево в каждом из них. Мы получаем и . ${\displaystyle \cos \alpha =0.105}$ ${\displaystyle \cos \beta =0.720}$
2. Обратный косинус : около 0,105 и около . ${\displaystyle \cos 84^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos 44^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.720}$
3. Сумма и разность : , и . ${\displaystyle 84+44=128}$ ${\displaystyle 84-44=40}$
4. Среднее значение косинусов : около . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 128^{\circ }+\cos 40^{\circ })}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(-0.616+0.766)=0.075}$
5. Увеличение масштаба : для каждого из и мы сдвинули десятичную запятую на три знака влево, поэтому в ответе мы сдвинули шесть знаков вправо. Результат . Это очень близко к реальному продукту ( процентная погрешность ≈0,8%). ${\displaystyle 105}$ ${\displaystyle 720}$ ${\displaystyle 75\,000}$ ${\displaystyle 75\,600}$

Если нам нужно произведение косинусов двух начальных значений, что полезно в некоторых астрономических расчетах, упомянутых выше, это на удивление еще проще: необходимы только шаги 3 и 4, описанные выше.

Для деления мы используем определение секущего как обратной величины косинуса. Чтобы разделить на , мы масштабируем числа до и . Косинус есть . Затем используйте таблицу секущих , чтобы узнать, что является секансом . Это означает, что это косинус , и поэтому мы можем умножить , используя описанную выше процедуру. Усреднить косинус суммы углов , с косинусом их разности , ${\displaystyle 3500}$ ${\displaystyle 70}$ ${\displaystyle 0.35}$ ${\displaystyle 7.0}$ ${\displaystyle 69.5^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.35}$ ${\displaystyle 7.0}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }}$ ${\displaystyle 1/7.0}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.35}$ ${\displaystyle 1/7.0}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }+69.5^{\circ }=151.3^{\circ }}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }-69.5^{\circ }=12.3^{\circ }}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 151^{\circ }+\cos 12.3^{\circ })\approx {\tfrac {1}{2}}(-0.877+0.977)=0.050.}$

Увеличение масштаба для определения десятичной точки дает приблизительный ответ: . ${\displaystyle 50}$

Алгоритмы, использующие другие формулы, аналогичны, но каждая из них использует разные таблицы (синус, обратный синус, косинус и обратный косинус) в разных местах. Первые два являются самыми простыми, поскольку для каждого из них требуется только две таблицы. Однако использование второй формулы имеет уникальное преимущество: если доступна только таблица косинусов, ее можно использовать для оценки обратных косинусов путем поиска угла с ближайшим значением косинуса.

Обратите внимание, насколько приведенный выше алгоритм похож на процесс умножения с использованием логарифмов, который состоит из следующих шагов: уменьшить масштаб, взять логарифм, сложить, взять обратный логарифм, увеличить масштаб. Неудивительно, что создатели логарифмов использовали простафаэрез. Действительно, эти два понятия тесно связаны математически. Говоря современным языком, простафаэрез можно рассматривать как основанный на логарифме комплексных чисел, в частности на формуле Эйлера.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Уменьшение ошибки

Если все операции выполняются с высокой точностью, изделие может быть настолько точным, насколько это необходимо. Хотя суммы, разности и средние значения легко вычислить с высокой точностью, даже вручную, тригонометрические функции и особенно обратные тригонометрические функции — нет. По этой причине точность метода во многом зависит от точности и детализации используемых тригонометрических таблиц.

Например, таблица синусов с записью для каждого градуса может отклоняться на целых 0,0087, если мы просто округляем угол до ближайшего градуса ; каждый раз, когда мы удваиваем размер таблицы (например, вводя записи для каждой полградуса вместо каждой степени), мы уменьшаем эту ошибку вдвое. Были тщательно составлены таблицы для простафереза ​​со значениями для каждой секунды, или 3600-й градуса.

Обратные функции синуса и косинуса особенно неприятны, поскольку они становятся крутыми вблизи −1 и 1. Одним из решений является включение большего количества табличных значений в эту область. Другой способ — масштабировать входные данные до чисел от –0,9 до 0,9. Например, 950 станет 0,095 вместо 0,950.

Еще одним эффективным подходом к повышению точности является линейная интерполяция , при которой значение выбирается между двумя соседними значениями таблицы. Например, если мы знаем, что синус 45° составляет около 0,707, а синус 46° — около 0,719, мы можем оценить синус 45,7° как 0,707 × (1 — 0,7) + 0,719 × 0,7 = 0,7154. Фактический синус равен 0,7157. Таблица косинусов, содержащая всего 180 записей в сочетании с линейной интерполяцией, столь же точна, как и таблица с примерно45 000 записей без него. Даже быстрая оценка интерполированного значения часто намного ближе, чем ближайшее табличное значение. Более подробную информацию смотрите в таблице поиска .

Обратные личности

Формулами произведения также можно манипулировать, чтобы получить формулы, выражающие сложение через умножение. Хотя они менее полезны для вычислительных продуктов, они все же полезны для получения тригонометрических результатов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a+\sin b&=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\sin a-\sin b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a+\cos b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a-\cos b&=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Логарифмическая линейка

Рекомендации

1. Пирс, Р.К.-младший (январь 1977 г.). «Краткая история логарифмов». Двухлетний математический журнал колледжа . Математическая ассоциация Америки. 8 (1): 22–26. дои : 10.2307/3026878. JSTOR  3026878.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Простафаэрез, Брайан Борчерс
3. Торен, Виктор Э. (1988). «Возвращение к простафаэрезу». История Математики . 15 (1): 32–39. дои : 10.1016/0315-0860(88)90047-X .

Внешние ссылки

• Формулы простафаэреза
• Дэниел Э. Отеро, Генри Бриггс. Архивировано 22 мая 2005 г. в Wayback Machine . Введение: необходимость скорости в расчетах.
• Mathworld: формулы простафереза
• Адам Мосли. Тихо Браге и математические методы. Кембриджский университет.
• Компьютерное общество IEEE. История вычислений: Джон Нэпьер и изобретение логарифмов.
• Математические слова: простафаферез
• Беатрис Лампкин. Вклад Африки и афроамериканцев в математику. Архивировано 26 октября 2020 г. в Wayback Machine . Обсуждается вклад Ибн Юниса в простафаэрез.
• Простафаэрез и феномен биений в теории вибраций Николаса Дж. Роуза.