Кубическая функция

Полиномиальная функция степени 3

График кубической функции с тремя действительными корнями (где кривая пересекает горизонтальную ось — где y = 0 ). Показанный случай имеет две критические точки . Здесь функция равна f ( x ) = ( x ³ + 3 x ² - 6 x - 8)/4 .

В математике кубическая функция — это функция вида , то есть полиномиальная функция третьей степени. Во многих текстах коэффициенты a , b , c и d должны быть действительными числами , а функция рассматривается как действительная функция , которая отображает действительные числа в действительные числа, или как комплексная функция, которая отображает комплексные числа в комплексные числа. В других случаях коэффициенты могут быть комплексными числами, а функция представляет собой комплексную функцию, кодом которой является набор комплексных чисел , даже если область определения ограничена действительными числами. ${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$

Установка f ( x ) = 0 дает кубическое уравнение вида

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

решения которого называются корнями функции.

Кубическая функция с действительными коэффициентами имеет один или три действительных корня ( которые могут не быть различными ); ^[1] все многочлены нечетной степени с действительными коэффициентами имеют хотя бы один действительный корень.

График кубической функции всегда имеет одну точку перегиба . Он может иметь две критические точки : локальный минимум и локальный максимум. В противном случае кубическая функция монотонна . График кубической функции симметричен относительно точки перегиба; то есть он инвариантен относительно поворота на пол-оборота вокруг этой точки. С точностью до аффинного преобразования возможны только три графика кубических функций.

Кубические функции являются фундаментальными для кубической интерполяции .

История

Критические и переломные точки

Корни , стационарные точки , точка перегиба и вогнутость кубического многочлена x ³ − 6 x 2 + 9 x − 4 (сплошная черная кривая) и его первая (красный пунктир) и вторая (оранжевый пунктир ⁾ производные .

Критические точки кубической функции — это ее стационарные точки , то есть точки, в которых наклон функции равен нулю. ^[2] Таким образом, критические точки кубической функции f , определяемой формулой

ж ( Икс ) знак равно топор ³ + bx ² + cx + d ,

происходят при таких значениях x , что производная

${\displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0}$

кубической функции равна нулю.

Решениями этого уравнения являются значения x критических точек, которые определяются по квадратичной формуле

${\displaystyle x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.}$

Знак выражения Δ ₀ = b ² – 3 ac внутри квадратного корня определяет количество критических точек. Если оно положительное, то имеются две критические точки: одна — локальный максимум, другая — локальный минимум. Если b ² – 3 ac = 0 , то существует только одна критическая точка, которая является точкой перегиба . Если b ² – 3 ac < 0 , то (реальных) критических точек нет. В двух последних случаях, т. е. если b ² – 3 ac неположительна, кубическая функция строго монотонна . На рисунке показан пример случая Δ ₀ > 0 .

Точка перегиба функции — это место, где эта функция меняет вогнутость . ^[3] Точка перегиба возникает, когда вторая производная равна нулю, а третья производная не равна нулю. Таким образом, кубическая функция всегда имеет одну точку перегиба, которая возникает при ${\displaystyle f''(x)=6ax+2b,}$

${\displaystyle x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.}$

Классификация

Кубические функции вида График любой кубической функции подобен такой кривой. ${\displaystyle y=x^{3}+cx.}$

График кубической функции представляет собой кубическую кривую , хотя многие кубические кривые не являются графиками функций.

Хотя кубические функции зависят от четырех параметров, их график может иметь очень мало форм. В действительности график кубической функции всегда подобен графику функции вида

${\displaystyle y=x^{3}+px.}$

Это подобие можно построить как композицию сдвигов , параллельных осям координат, гомотезии ( равномерного масштабирования ) и, возможно, отражения ( зеркального отображения ) относительно оси y . Дальнейшее неравномерное масштабирование может превратить график в график одной из трех кубических функций.

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}}$

Это означает, что существует только три графика кубических функций с точностью до аффинного преобразования .

Приведенные выше геометрические преобразования можно построить следующим образом, исходя из общей кубической функции ${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.}$

Во-первых, если a < 0 , то замена переменной x → – x позволяет предположить a > 0 . После этой замены переменной новый график является зеркальным отображением предыдущего относительно оси y .

Тогда замена переменной x = x ₁ –б/3 апредоставляет функцию вида

${\displaystyle y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.}$

Это соответствует перемещению параллельно оси x .

Замена переменной y = y ₁ + q соответствует сдвигу относительно оси y и дает функцию вида

${\displaystyle y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.}$

Замена переменной соответствует равномерному масштабированию и дает после умножения на функцию вида ${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}},}$

${\displaystyle y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},}$

что является простейшей формой, которую можно получить путем подобия.

Тогда, если p ≠ 0 , неравномерное масштабирование после деления на ${\displaystyle \textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},}$

${\displaystyle y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),}$

где имеет значение 1 или –1, в зависимости от знака p . Если определить последнюю форму функции, она применяется ко всем случаям (с и ). ${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0,}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{3}}$ ${\displaystyle y_{2}=y_{3}}$

Симметрия

Таким образом , для кубической функции вида точка перегиба является началом координат. Поскольку такая функция является нечетной функцией , ее график симметричен относительно точки перегиба и инвариантен относительно поворота на пол-оборота вокруг точки перегиба. Поскольку эти свойства инвариантны по подобию , для всех кубических функций верно следующее. ${\displaystyle y=x^{3}+px,}$

График кубической функции симметричен относительно точки перегиба и инвариантен относительно поворота на пол-оборота вокруг точки перегиба.

Коллинеарности

Точки P1 , P2 и _{P3 (синего цвета} ) лежат на одной прямой _{и принадлежат} графику x3 ⁺3/2х ² -5/2х +5/4. Точки T1 _, T2 и T3 (красные) являются пересечениями (пунктирных) касательных к графику в этих точках с _{самим графиком} . Они тоже коллинеарны.

Касательные линии к графику кубической функции в трех коллинеарных точках снова пересекают кубическую функцию в коллинеарных точках. ^[4] Это можно увидеть следующим образом.

Поскольку это свойство инвариантно относительно жесткого движения , можно предположить, что функция имеет вид

${\displaystyle f(x)=x^{3}+px.}$

Если α — действительное число, то касательная к графику f в точке ( α , f ( α )) — это прямая

{( Икс , ж ( α ) + ( Икс - α ) ж  ′ ( α )) : Икс ∈ R }.

Итак, точку пересечения этой линии и графика f можно получить, решив уравнение f ( x ) = f ( α ) + ( x − α ) f  ′( α ) , то есть

${\displaystyle x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),}$

который можно переписать

${\displaystyle x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,}$

и факторизован как

${\displaystyle (x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.}$

Итак, касательная пересекает кубическую в точке

${\displaystyle (-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).}$

Итак, функция, которая сопоставляет точку ( x , y ) графика с другой точкой, где касательная пересекает график, равна

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).}$

Это аффинное преобразование , которое преобразует коллинеарные точки в коллинеарные точки. Это подтверждает заявленный результат.

Кубическая интерполяция

Учитывая значения функции и ее производной в двух точках, существует ровно одна кубическая функция, имеющая одинаковые четыре значения, которая называется кубическим сплайном Эрмита .

Есть два стандартных способа использования этого факта. Во-первых, если известны, например, посредством физического измерения, значения функции и ее производной в некоторых точках выборки, можно интерполировать функцию с помощью непрерывно дифференцируемой функции , которая является кусочно -кубической функцией.

Если значение функции известно в нескольких точках, кубическая интерполяция заключается в приближении функции непрерывно дифференцируемой функцией , которая является кусочно -кубичной. Для однозначного определения интерполяции необходимо добавить еще два ограничения, например значения производных в конечных точках или нулевую кривизну в конечных точках.

Рекомендации

1. Босток, Линда; Чендлер, Сюзанна; Чендлер, Ф.С. (1979). Чистая математика 2. Нельсон Торнс. п. 462. ИСБН 978-0-85950-097-5. Таким образом, кубическое уравнение имеет либо три действительных корня..., либо один действительный корень...
2. Вайсштейн, Эрик В. «Неподвижная точка». mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
3. Хьюз-Халлетт, Дебора; Лок, Патти Фрейзер; Глисон, Эндрю М.; Флат, Дэниел Э.; Гордон, Шелдон П.; Ломен, Дэвид О.; Лавлок, Дэвид; МакКаллум, Уильям Г.; Осгуд, Брэд Г. (11 декабря 2017 г.). Прикладное исчисление. Джон Уайли и сыновья. п. 181. ИСБН 978-1-119-27556-5. Точка, в которой график функции f меняет вогнутость, называется точкой перегиба функции f.
4. Уитворт, Уильям Аллен (1866), «Уравнения третьей степени», Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений, Кембридж: Deighton, Bell и Co., стр. 425 , получено 17 июня 2016 г.

Внешние ссылки

• «Формула Кардано», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• История квадратных, кубических и четвертых уравнений в архиве MacTutor .