Масштабирование (геометрия)

Геометрическое преобразование

Каждая итерация треугольника Серпинского содержит треугольники, связанные со следующей итерацией масштабным коэффициентом 1/2.

В аффинной геометрии равномерное масштабирование (или изотропное масштабирование ^[1] ) — это линейное преобразование , которое увеличивает (увеличивает) или сжимает (уменьшает) объекты на масштабный коэффициент , одинаковый во всех направлениях. Результат равномерного масштабирования аналогичен (в геометрическом смысле) оригиналу. Обычно допускается масштабный коэффициент, равный 1, поэтому конгруэнтные формы также классифицируются как подобные. Равномерное масштабирование происходит, например, при увеличении или уменьшении фотографии , либо при создании масштабной модели здания, автомобиля, самолета и т.п.

Более общим является масштабирование с отдельным масштабным коэффициентом для каждого направления оси. Неравномерное масштабирование ( анизотропное масштабирование ) получается, когда хотя бы один из коэффициентов масштабирования отличается от остальных; особым случаем является направленное масштабирование или растяжение (в одном направлении). Неравномерное масштабирование меняет форму объекта; например, квадрат может превратиться в прямоугольник или в параллелограмм, если стороны квадрата не параллельны осям масштабирования (углы между линиями, параллельными осям, сохраняются, но не все углы). Это происходит, например, когда на удаленный рекламный щит смотрят под косым углом или когда тень плоского объекта падает на поверхность, не параллельную ему.

Когда масштабный коэффициент больше 1, (равномерное или неравномерное) масштабирование иногда также называют расширением или расширением . Когда масштабный коэффициент представляет собой положительное число меньше 1, масштабирование иногда также называют сокращением или сокращением .

В самом общем смысле масштабирование включает случай, когда направления масштабирования не перпендикулярны. Сюда также входит случай, когда один или несколько масштабных коэффициентов равны нулю ( проекция ), и случай одного или нескольких отрицательных масштабных коэффициентов (направленное масштабирование на -1 эквивалентно отражению ) .

Масштабирование — это линейное преобразование и частный случай гомотетического преобразования (масштабирования относительно точки). В большинстве случаев гомотетические преобразования являются нелинейными преобразованиями.

Равномерное масштабирование

Каждая итерация треугольника Серпинского содержит треугольники, связанные со следующей итерацией масштабным коэффициентом 1/2.

Масштабный коэффициент обычно представляет собой десятичную дробь, которая масштабирует или умножает некоторую величину. В уравнении y  = Cx C — масштабный коэффициент для x . C также является коэффициентом x и может быть назван константой пропорциональности y к x . Например, удвоение расстояний соответствует масштабному коэффициенту расстояния, равному двум, а разрезание торта пополам дает куски с масштабным коэффициентом для объема, равным половине. Основное уравнение для этого — изображение вместо прообраза.

В области измерений масштабный коэффициент прибора иногда называют чувствительностью. Отношение любых двух соответствующих длин в двух подобных геометрических фигурах также называется масштабом.

Матричное представление

Масштабирование может быть представлено матрицей масштабирования . Чтобы масштабировать объект вектором v = ( v _x , v _y , v _z ), каждую точку p = ( p _x , p _y , p _z ) необходимо будет умножить на эту матрицу масштабирования:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

Такое масштабирование изменяет диаметр объекта на коэффициент между масштабными коэффициентами, площадь на коэффициент между наименьшим и наибольшим произведением двух масштабных коэффициентов, а объем на произведение всех трех.

Масштабирование является равномерным тогда и только тогда, когда коэффициенты масштабирования равны ( v _x = v _y = v _z ). Если все масштабные коэффициенты, кроме одного, равны 1, мы имеем направленное масштабирование.

В случае, когда v _x = v _y = v _z = k , масштабирование увеличивает площадь любой поверхности в k ² раза и объем любого твердого объекта в k ³ раза .

Масштабирование в произвольных размерах

В -мерном пространстве равномерное масштабирование на коэффициент достигается скалярным умножением на , то есть умножением каждой координаты каждой точки на . В качестве частного случая линейного преобразования этого можно добиться также путем умножения каждой точки (рассматриваемой как вектор-столбец) на диагональную матрицу , все элементы которой на диагонали равны , а именно . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle vI}$

Неравномерное масштабирование осуществляется путем умножения на любую симметричную матрицу . Собственные значения матрицы — это масштабные коэффициенты, а соответствующие собственные векторы — это оси, вдоль которых применяется каждый масштабный коэффициент. Особым случаем является диагональная матрица с произвольными числами вдоль диагонали: тогда оси масштабирования являются осями координат, а преобразование масштабируется вдоль каждой оси с коэффициентом . ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$

При равномерном масштабировании с ненулевым масштабным коэффициентом все ненулевые векторы сохраняют свое направление (если смотреть из начала координат) или все имеют противоположное направление, в зависимости от знака масштабного коэффициента. При неравномерном масштабировании только векторы, принадлежащие собственному пространству , сохранят свое направление. Вектор, представляющий собой сумму двух или более ненулевых векторов, принадлежащих разным собственным пространствам, будет наклонен к собственному пространству с наибольшим собственным значением.

Использование однородных координат

В проективной геометрии , часто используемой в компьютерной графике , точки представляются с использованием однородных координат . Чтобы масштабировать объект вектором v = ( v _x , v _y , v _z ), каждый однородный координатный вектор p = ( p _x , _py , p _z , 1) необходимо умножить на эту матрицу проективного преобразования :

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Поскольку последний компонент однородной координаты можно рассматривать как знаменатель трех других компонентов, равномерное масштабирование с помощью общего коэффициента s (равномерное масштабирование) можно выполнить с помощью этой матрицы масштабирования:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Для каждого вектора p = ( p _x , p _y , p _z , 1) мы будем иметь

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

что было бы эквивалентно

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Функция расширения и сокращения

Учитывая точку , расширение связывает ее с точкой посредством уравнений ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$для . ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$

Следовательно, для данной функции уравнение расширенной функции имеет вид ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

Частные случаи

Если , преобразование горизонтальное; когда , это расширение, когда , это сокращение. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m<1}$

Если , преобразование вертикальное; когда это расширение, когда это сокращение. ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n<1}$

Если или , преобразование представляет собой сжатое отображение . ${\displaystyle m=1/n}$ ${\displaystyle n=1/m}$

Смотрите также

• Математический портал

• 2D_computer_graphics#Масштабирование
• Цифровое увеличение
• Расширение (метрическое пространство)
• Гомогенная функция
• Гомотетическое преобразование
• Ортогональные координаты
• Скаляр (математика)
• Масштаб (значения)
  • Масштаб (соотношение)
  • Масштаб (карта)
• Масштабный коэффициент (информатика)
• Масштабный коэффициент (космология)
• Масштабы масштабных моделей
• Масштабирование в статистической оценке
• Масштабирование в гравитации
• Сжатие карт
• Матрица трансформации
• Масштабирование изображения

Сноски

1. Дюран; Катлер. «Преобразования» (PowerPoint) . Массачусетский Институт Технологий . Проверено 12 сентября 2008 г.

Внешние ссылки

• Понимание 2D-масштабирования и Понимание 3D-масштабирования, Роджер Гермундссон, Демонстрационный проект Wolfram .
• Калькулятор масштабного коэффициента