Гомография

Изоморфизм проективных пространств в геометрии

В проективной геометрии гомография — это изоморфизм проективных пространств , индуцированный изоморфизмом векторных пространств , из которых происходят проективные пространства. ^[1] Это биекция , которая отображает линии на линии и, следовательно, является коллинеацией . В общем, некоторые коллинеации не являются гомографиями, но фундаментальная теорема проективной геометрии утверждает, что это не так в случае реальных проективных пространств размерности не менее двух. Синонимы включают проективность , проективную трансформацию и проективную коллинеацию .

Исторически гомографии (и проективные пространства) были введены для изучения перспективы и проекций в евклидовой геометрии , и термин гомография , который этимологически примерно означает «подобный рисунок», восходит к этому времени. В конце XIX века были введены формальные определения проективных пространств, которые расширили евклидовы и аффинные пространства за счет добавления новых точек, называемых точками на бесконечности . Термин «проективная трансформация» возник из этих абстрактных конструкций. Эти конструкции делятся на два класса, эквивалентность которых доказана. Проективное пространство может быть построено как набор линий векторного пространства над заданным полем (приведенное выше определение основано на этой версии); эта конструкция облегчает определение проективных координат и позволяет использовать средства линейной алгебры для изучения гомографий. Альтернативный подход состоит в определении проективного пространства через набор аксиом, которые не включают явно какое-либо поле ( геометрия инцидентности , см. также синтетическую геометрию ); в этом контексте коллинеации легче определить, чем гомографии, а гомографии определяются как конкретные коллинеации, называемые, таким образом, «проективными коллинеациями».

Для простоты, если не указано иное, проективные пространства, рассматриваемые в этой статье, считаются определенными над (коммутативным) полем . Эквивалентно предполагается, что теорема Паппа о шестиугольнике и теорема Дезарга верны. Большая часть результатов остается верной или может быть обобщена на проективные геометрии, для которых эти теоремы не выполняются.

Геометрическая мотивация

Точки A, B, C, D и A ' , B ' , C ' , D ' связаны перспективой, которая является проективным преобразованием.

Исторически концепция гомографии была введена для понимания, объяснения и изучения визуальной перспективы и, в частности, разницы во внешнем виде двух плоских объектов, рассматриваемых с разных точек зрения.

В трехмерном евклидовом пространстве центральная проекция точки O (центра) на плоскость P , не содержащую O , — это отображение, которое отправляет точку A в пересечение (если оно существует) прямой OA и плоскости П . Проекция не определена, если точка A принадлежит плоскости, проходящей через O и параллельной P. Понятие проективного пространства первоначально было введено путем расширения евклидова пространства, то есть путем добавления к нему точек, находящихся на бесконечности , чтобы определить проекцию для каждой точки, кроме O .

Учитывая другую плоскость Q , которая не содержит O , ограничение на Q указанной выше проекции называется перспективой .

Согласно этим определениям, перспективность является лишь частичной функцией , но она становится биекцией, если ее расширить на проективные пространства. Поэтому это понятие обычно определяется для проективных пространств. Это понятие также легко обобщается на проективные пространства любой размерности и над любым полем следующим образом:

Учитывая два проективных пространства P и Q размерности n , перспектива — это биекция P в Q , которая может быть получена путем вложения P и Q в проективное пространство R размерности n + 1 и ограничения на P центральной проекции на Q.

Если f — это перспектива от P к Q , а g — перспектива от Q к P с другим центром, то g ⋅ f — это гомография от P к самому себе, которая называется центральной коллинеацией , когда размерность P равна минимум два. (См. § Центральные коллинеации ниже и Перспективность § Перспективные коллинеации .)

Первоначально гомография определялась как композиция конечного числа перспектив. ^[2] Частью фундаментальной теоремы проективной геометрии (см. ниже) является то, что это определение совпадает с более алгебраическим определением, обрисованным во введении и подробно описанным ниже.

Определение и выражение в однородных координатах

Проективное пространство P( V ) размерности n над полем K можно определить как набор прямых, проходящих через начало координат в K -векторном пространстве V размерности n + 1 . Если базис V фиксирован, точка V может быть представлена ​​точкой ( x ₀ , ..., x _n ) из K ^{n +1} . Таким образом, точка P( V ), являющаяся линией в V , может быть представлена ​​координатами любой ненулевой точки этой прямой, которые, таким образом, называются однородными координатами проективной точки.

Учитывая два проективных пространства P( V ) и P( W ) одной и той же размерности, гомография - это отображение из P( V ) в P( W ), которое индуцировано изоморфизмом векторных пространств f  : V → W . Такой изоморфизм индуцирует биекцию P( V ) в P( W ) из-за линейности f . Два таких изоморфизма, f и g , определяют одну и ту же гомографию тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент a из K такой, что g = af .

Это можно записать в терминах однородных координат следующим образом: Гомография φ может быть определена неособой ( n +1 ) × ( n +1) матрицей [ a _{i , j} ], называемой матрицей гомографии . Эта матрица определена с точностью до умножения на ненулевой элемент K . Однородные координаты [ x0 : _...  : xn ] точки и координаты [ _y0  :...: yn ] _{ее изображения} по φ связаны соотношением

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}&=a_{0,0}x_{0}+\dots +a_{0,n}x_{n}\\&\vdots \\y_{n}&=a_{n,0}x_{0}+\dots +a_{n,n}x_{n}.\end{aligned}}}$

Когда проективные пространства определяются путем добавления точек на бесконечности к аффинным пространствам (проективное завершение), предыдущие формулы в аффинных координатах становятся следующими:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&={\frac {a_{1,0}+a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\\&\vdots \\y_{n}&={\frac {a_{n,0}+a_{n,1}x_{1}+\dots +a_{n,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\end{aligned}}}$

что обобщает выражение гомографической функции из следующего раздела. Это определяет только частичную функцию между аффинными пространствами, которая определена только вне гиперплоскости, где знаменатель равен нулю.

Гомографии проективной прямой

Гомографии комплексной плоскости сохраняют ортогональные окружности.

Проективную линию над полем K можно отождествить с объединением K и точки, называемой «точкой на бесконечности» и обозначаемой ∞ (см. Проективная линия ). При таком представлении проективной прямой гомографии представляют собой отображения

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},{\text{ where }}ad-bc\neq 0,}$

которые называются гомографическими функциями или дробно-линейными преобразованиями .

В случае комплексной проективной прямой , которую можно отождествить со сферой Римана , гомографии называются преобразованиями Мёбиуса . Они соответствуют в точности тем биекциям сферы Римана, которые сохраняют ориентацию и конформны. ^[3]

При изучении коллинеаций случай проективных прямых является особенным из-за малой размерности. Когда линия рассматривается как изолированное проективное пространство, любая перестановка точек проективной прямой является коллинеацией, ^[4] поскольку каждый набор точек коллинеарен. Однако, если проективная линия встроена в проективное пространство более высокой размерности, геометрическая структура этого пространства может использоваться для наложения геометрической структуры на линию. Таким образом, в синтетической геометрии рассматриваются гомографии и коллинеации проективной прямой, полученные ограничениями на линию коллинеаций и гомографии пространств более высокой размерности. Это означает, что основная теорема проективной геометрии (см. ниже) остается справедливой и в одномерной ситуации. Гомографию проективной прямой можно также правильно определить, настаивая на том, что отображение сохраняет перекрестные отношения . ^[5]

Проекционная рамка и координаты

Проективная рамка или проективный базис проективного пространства размерности n — это упорядоченный набор из n + 2 точек такой, что ни одна гиперплоскость не содержит n + 1 из них. Проективный фрейм иногда называют симплексом ^[6] , хотя симплекс в пространстве размерности n имеет не более n + 1 вершин.

В этом разделе рассматриваются проективные пространства над коммутативным полем K , хотя большинство результатов можно обобщить на проективные пространства над телом .

Пусть P ( V ) — проективное пространство размерности n , где V — K -векторное пространство размерности n +1 , а p  : V ∖ {0} → P ( V ) — каноническая проекция, которая отображает ненулевой вектор в векторная линия, содержащая его.

Для каждого кадра P ( V ) существует базис e0 ,..., en _из V такой _, что кадр равен ( p ( e0 _{) , ...} , p ( en ₎ , p ( e0 + ... + en )) , и этот базис единственен с точностью до умножения всех его элементов на один и тот же ненулевой элемент _из K . _{Обратно ,} если e0 _, ..., en является базисом V , то ( p ( e0 ),..., p ₍ en ₎ , p ( e0 +...+ en ₎ ) является кадр P ( V )

Отсюда следует, что для двух кадров существует ровно одна гомография, отображающая первую на вторую. В частности, единственной гомографией, фиксирующей точки фрейма, является тождественная карта . Этот результат намного сложнее в синтетической геометрии (где проективные пространства определяются посредством аксиом). Ее иногда называют первой фундаментальной теоремой проективной геометрии . ^[7]

Каждый кадр ( p ( e0 ) _, ..., p ( en ), p ( e0 +...+ en ₎ ) позволяет определить проективные координаты _, также известные как _{однородные} координаты : каждая точка может быть записана как п ( v ) ; проективные координаты p ( v ) в этой системе _{координат} являются координатами v в основании ( e0 _, ..., en ) . Нетрудно проверить, что изменение e i _и v без изменения системы отсчёта и p ( v ) приводит к умножению проективных координат на тот же ненулевой элемент из K.

Проективное пространство Pn ₍ K ) = P ( Kn + ¹ ) имеет канонический фрейм , состоящий из образа p канонического базиса Kn ^{+ 1 (состоящего из элементов, имеющих только один ненулевой элемент} , равный 1) и (1, 1, ..., 1) . Исходя из этого, однородные координаты p ( v ) являются просто элементами (коэффициентами) кортежа v . Учитывая другое проективное пространство P ( V ) той же размерности и его фрейм F , существует одна и только одна гомография h, отображающая F на канонический фрейм P _n ( K ) . Проективные координаты точки a в системе F являются однородными координатами h ( a ) в канонической _{системе} Pn ( K ) .

Центральные коллинеации

Точки A, B, C, D и A ′ , B ′ , C ′ , D ′ связаны несколькими центральными коллинеациями, которые полностью задаются выбором линии неподвижных точек L, проходящей через пересечение прямых ABCD и A ′. Б ′ C ′ D ′ . Пусть O — пересечение прямых AA ′ , BB ′ , CC ′ , DD ′ . Изображение E ′ точки E посредством этой коллинеации есть пересечение прямых A′I и OE, где I – пересечение прямых L и AE.

В приведенных выше разделах гомографии были определены с помощью линейной алгебры. В синтетической геометрии их традиционно определяют как композицию одной или нескольких специальных гомографий, называемых центральными коллинеациями . Эквивалентность этих двух определений является частью фундаментальной теоремы проективной геометрии.

В проективном пространстве P размерности n ≥ 2 коллинеация P — это биекция P на P , которая отображает линии на линии. Центральная коллинеация (традиционно их называли перспективами , ^[8] но этот термин может сбивать с толку, имея другое значение; см. Перспективность ) — это биекция α из P в P , такая, что существует гиперплоскость H ( называемая осью α ) , который поточечно фиксируется с помощью α (т. е. α ( X ) = X для всех точек X в H ) и точки O (называемой центром α ) , которая фиксируется по линиям с помощью α ( любая линия , проходящая через O , отображается в себя через α , но не обязательно поточечно). ^[9] Существует два типа центральных коллинеаций. Элации — это центральные коллинеации, в которых центр падает на ось, а гомологии — это те, в которых центр не падает на ось. Центральная коллинеация однозначно определяется ее центром, ее осью и изображением α ( P ) любой заданной точки P , которое отличается от центра O и не принадлежит оси. (Образ α ( Q ) любой другой точки Q — это пересечение линии, определяемой O и Q , и линии, проходящей через α ( P ), и пересечение с осью линии, определяемой P и Q. )

Центральная коллинеация — это гомография, определяемая матрицей (n+1) × (n+1), которая имеет собственное пространство размерности n . Это гомология, если матрица имеет другое собственное значение и, следовательно, диагонализуема . Это восторг, если все собственные значения равны и матрица недиагонализуема.

Геометрический вид центральной коллинеации легче всего увидеть в проективной плоскости. Учитывая центральную коллинеацию α , рассмотрим линию ℓ, которая не проходит через центр O , и ее образ под α , ℓ ′ = α (ℓ) . Полагая R = ℓ ∩ ℓ ′ , ось α — это некоторая прямая M, проходящая через R. Образ любой точки A из ℓ при α является пересечением OA с ℓ ′ . Образ B ′ точки B , не принадлежащей ℓ, можно построить следующим образом: пусть S = AB ∩ M , тогда B ′ = SA ′ ∩ OB .

Композиция двух центральных коллинеаций, хотя в целом и является гомографией, не является центральной коллинеацией. Фактически каждая гомография представляет собой композицию конечного числа центральных коллинеаций. В синтетической геометрии это свойство, входящее в фундаментальную теорию проективной геометрии, принимается за определение гомографии. ^[10]

Основная теорема проективной геометрии

Помимо гомографий, существуют коллинеации. В частности, любой полевой автоморфизм σ поля F вызывает коллинеацию каждого проективного пространства над F путем применения σ ко всем однородным координатам (над проективной рамкой) точки. Эти коллинеации называются автоморфными коллинеациями .

Основная теорема проективной геометрии состоит из трех следующих теорем.

1. Учитывая два проективных фрейма проективного пространства P , существует ровно одна гомография P , которая отображает первый фрейм во второй.
2. Если размерность проективного пространства P не менее двух, каждая коллинеация P является композицией автоморфной коллинеации и гомографии. В частности, над вещественными числами каждая коллинеация проективного пространства размерности не менее двух является гомографией. ^[11]
3. Любая гомография представляет собой композицию конечного числа перспектив . В частности, если размерность подразумеваемого проективного пространства не менее двух, каждая гомография является композицией конечного числа центральных коллинеаций.

Если проективные пространства определяются посредством аксиом ( синтетическая геометрия ), то третья часть — это просто определение. С другой стороны, если проективные пространства определяются с помощью линейной алгебры , первая часть является простым следствием определений. Поэтому доказательство первой части в синтетической геометрии и доказательство третьей части в терминах линейной алгебры являются фундаментальными шагами доказательства эквивалентности двух способов определения проективных пространств.

Группы гомографии

Поскольку каждая гомография имеет обратное отображение , а композиция двух гомографий другая, гомографии данного проективного пространства образуют группу . Например, группа Мёбиуса является группой гомографии любой комплексной проективной прямой.

Поскольку все проективные пространства одной размерности над одним и тем же полем изоморфны, то же самое верно и для их групп гомографий. Поэтому они рассматриваются как одна группа, действующая в нескольких пространствах, и в обозначениях фигурируют только измерение и поле, а не конкретное проективное пространство.

Группы гомографии, также называемые проективными линейными группами, обозначаются PGL ( n + 1, F ) , когда действуют в проективном пространстве размерности n над полем F. Приведенное выше определение гомографий показывает, что PGL( n + 1, F ) можно отождествить с факторгруппой GL( n + 1, F )/ F ^× I , где GL( n + 1, F ) — общая линейная группа обратимые матрицы , а F ^× I — группа произведений на ненулевой элемент F единичной матрицы размера ( n + 1) × ( n + 1) .

Когда F является полем Галуа GF( q ), тогда группа гомографии записывается PGL( n , q ) . Например, PGL(2, 7) действует в восьми точках проективной прямой над конечным полем GF(7), а PGL(2, 4) , изоморфная знакопеременной группе A ₅ , является группой гомографии проективная линия с пятью точками. ^[12]

Группа гомографий PGL( n + 1, F ) является подгруппой группы коллинеаций PΓL( n + 1, F ) коллинеаций проективного пространства размерности n . Когда точки и линии проективного пространства рассматриваются как блочный дизайн , блоки которого представляют собой наборы точек, содержащихся в линии, группу коллинеации принято называть группой автоморфизмов дизайна .

Перекрестное соотношение

Использование перекрестных отношений в проективной геометрии для измерения реальных размеров объектов, изображенных в перспективной проекции . A, B, C, D и V — точки на изображении, их расстояние указано в пикселях; A', B', C' и D' находятся в реальном мире, их расстояние в метрах.

• В (1) ширина переулка W вычисляется на основе известных ширин соседних магазинов.
• В (2) необходима ширина только одного магазина, поскольку видна точка схода V.

Перекрестное отношение четырех коллинеарных точек является инвариантом относительно гомографии, который имеет фундаментальное значение для изучения гомографии прямых.

Три различные точки a , b и c на проективной прямой над полем F образуют проективную рамку этой прямой. Следовательно, существует единственная гомография h этой прямой на F ∪ {∞} , которая отображает a в ∞ , b в 0 и c в 1. Учитывая четвертую точку на той же прямой, двойное отношение четырех точек a , b , c и d , обозначаемые [ a , b ; c , d ] — это элемент h ( d ) из F ∪ {∞} . Другими словами, если d имеет однородные координаты [ k  : 1] в проективной системе отсчета ( a , b , c ) , то [ a , b ; c , d ] знак равно k . ^[13]

Через кольцо

Предположим, что A — кольцо , а U — его группа единиц . Гомографии действуют на проективной прямой над A , записанной P( A ), состоящей из точек U [ a, b ] с проективными координатами . Гомографии на P( A ) описываются матричными отображениями

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,\ zc+d].}$

Когда A — коммутативное кольцо , гомография может быть записана

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za+b}{zc+d}}\ ,}$

но в остальном дробно-линейное преобразование рассматривается как эквивалентность:

${\displaystyle U[za+b,\ zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),\ 1].}$

Группа гомографии кольца целых Z является модулярной группой PSL(2, Z ) . Кольцевые гомографии использовались в анализе кватернионов , а также с двойными кватернионами для облегчения теории винтов . Конформная группа пространства-времени может быть представлена ​​гомографиями, где A — композиционная алгебра бикватернионов . ^[14]

Периодические гомографии

Гомография является периодической , когда кольцо имеет вид Z / n Z ( целые числа по модулю n ), поскольку с тех пор Артур Кэли интересовался периодичностью, когда он вычислял итерации в 1879 году . ^[15] В своем обзоре подхода грубой силы к периодичности гомографий HSM Коксетер дал такой анализ: ${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle h^{n}={\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Настоящая гомография инволютивна (периода 2) тогда и только тогда, когда a + d = 0 . Если он периодичен с периодом n > 2 , то он эллиптичен, и потери общности не происходит, если предположить, что ad − bc = 1 . Поскольку характеристическими корнями являются exp(± hπi / m ), где ( h , m ) = 1 , след равен a + d = 2 cos( hπ / m ) . ^[16]

Смотрите также

• W-кривая

Примечания

1. Бергер 2009, глава 4.
2. Месерве 1983, стр. 43–4.
3. Хартсхорн 1967, с. 138
4. Йельский университет 1968, с. 244, Баер 2005, с. 50, Артин 1957, с. 88
5. В старых методах лечения часто наблюдается требование сохранения гармонических тетрад (гармонических наборов) (четыре коллинеарных точки, перекрестное отношение которых равно -1), но это исключает проективные линии, определенные над полями второй характеристики , и поэтому является излишне ограничительным. См. Баер 2005, с. 76
6. Баер 2005, с. 66
7. Бергер 2009, глава 6.
8. Йельский университет 1968, с. 224
9. Бойтельспехер и Розенбаум 1998, стр. 96
10. Месерве 1983, стр. 43–4.
11. Хиршфельд 1979, с. 30
12. Хиршфельд 1979, с. 129
13. Бергер 2009, глава 6.
14. Гомографии ассоциативных композиционных алгебр в Wikibooks
15. Артур Кэли (1879) «О матрице и ее связи с функцией ${\textstyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$топор + б/сх + д", Вестник математики 9:104
16. HSM Коксетер , О периодичности в математических обзорах

Рекомендации

• Артин, Э. (1957), Геометрическая алгебра , издательство Interscience Publishers
• Баер, Рейнхольд (2005) [впервые опубликовано в 1952 году], Линейная алгебра и проективная геометрия , Дувр, ISBN 9780486445656
• Бергер, Марсель (2009), Геометрия I , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11658-5, перевод с французского оригинала 1977 года М. Коула и С. Леви, четвертое издание английского перевода 1987 года.
• Бойтельспехер, Альбрехт; Розенбаум, Ют (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-48364-6
• Хартсхорн, Робин (1967), Основы проективной геометрии , Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc.
• Хиршфельд, JWP (1979), Проективная геометрия над конечными полями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1
• Месерв, Брюс Э. (1983), Фундаментальные концепции геометрии , Дувр, ISBN 0-486-63415-9
• Йель, Пол Б. (1968), Геометрия и симметрия , Холден-Дэй

дальнейшее чтение

• Патрик дю Валь (1964) Гомографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Оксфорд , MR 0169108.
• Гюнтер Эвальд (1971) Геометрия: Введение , стр. 263, Бельмонт: ISBN Wadsworth Publishing 0-534-00034-7 . 

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с гомографией, на Викискладе?