Копланарность

В геометрии множество точек в пространстве копланарно , если существует геометрическая плоскость , которая содержит их все. Например, три точки всегда копланарны, а если точки различны и неколлинеарны , то плоскость, которую они определяют, уникальна. Однако множество из четырех или более различных точек, как правило, не будет лежать в одной плоскости.

Две прямые в трехмерном пространстве являются компланарными, если существует плоскость, включающая их обе. Это происходит, если прямые параллельны или пересекаются . Две прямые, которые не являются компланарными, называются скрещивающимися прямыми .

Дистанционная геометрия предлагает метод решения задачи определения того, является ли набор точек копланарным, зная только расстояния между ними.

Недвижимость в трех измерениях

В трехмерном пространстве два линейно независимых вектора с одной и той же начальной точкой определяют плоскость, проходящую через эту точку. Их векторное произведение является нормальным вектором к этой плоскости, и любой вектор, ортогональный этому векторному произведению через начальную точку, будет лежать в этой плоскости. ^[1] Это приводит к следующему тесту на копланарность с использованием скалярного тройного произведения :

Четыре различные точки $x 1, x 2, x 3, x 4$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда

[(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0.

что также эквивалентно

(x_{2}-x_{1})\cdot [(x_{4}-x_{1})\times (x_{3}-x_{1})]=0.

Если три вектора $a, b, c$ лежат в одной плоскости, то если $a \cdot b = 0$ (т.е. $a$ и $b$ ортогональны), то

(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}})\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}})\ mathbf {\hat {b}} =\mathbf {c},

где ⁠ ⁠ $\mathbf {\hat {a}}$ обозначает единичный вектор в направлении a $.$ То есть $векторные$ проекции c на $a$ и $c$ на $b$ складываются, давая исходный $c$ .

Копланарность точек внразмеры, координаты которых даны

Поскольку три или менее точек всегда копланарны, проблема определения того, когда набор точек копланарен, обычно представляет интерес только тогда, когда задействовано по крайней мере четыре точки. В случае, когда точек ровно четыре, можно использовать несколько специальных методов, но общий метод, который работает для любого количества точек, использует векторные методы и свойство, что плоскость определяется двумя линейно независимыми векторами .

В $n$ -мерном пространстве, где $n \geq 3$ , набор из $k$ точек является копланарным тогда и только тогда, когда матрица их относительных разностей, то есть матрица, столбцы (или строки) которой являются векторами, имеет ранг 2 или меньше. $\{p_{0},\ p_{1},\ \точки ,\ p_{k-1}\}$ ${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},\ {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\ \точки ,\ {\overrightarrow {p_{0}p_{k-1}}}$

Например, если даны четыре точки

{\begin{align}X&=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\\Y&=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\\Z&=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),\\W&=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}),\end{align}}

если матрица

{\begin{bmatrix}x_{1}-w_{1}&x_{2}-w_{2}&\dots &x_{n}-w_{n}\\y_{1}-w_{1} &y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_{n}\\\end{bmatrix}}

имеет ранг 2 или меньше, то четыре точки лежат в одной плоскости.

В частном случае плоскости, содержащей начало координат, свойство можно упростить следующим образом: набор из $k$ точек и начало координат являются копланарными тогда и только тогда, когда матрица координат k $точек$ имеет ранг 2 или меньше.

Геометрические фигуры

Косой многоугольник — это многоугольник , вершины которого не лежат в одной плоскости. Такой многоугольник должен иметь не менее четырех вершин; косых треугольников нет.

Многогранник с положительным объемом имеет вершины, которые не все лежат в одной плоскости .

Смотрите также

Ссылки

^ Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативный редактор), Prindle, Weber & Schmidt, стр. 647, ISBN 0-87150-341-7

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Копланар". MathWorld .