Вектор (математика и физика)

В математике и физике вектор — это термин, который в просторечии относится к некоторым величинам , которые не могут быть выражены одним числом ( скаляром ), или к элементам некоторых векторных пространств .

Исторически векторы были введены в геометрию и физику (обычно в механику ) для величин, которые имеют как величину, так и направление, таких как перемещения , силы и скорость . Такие величины представляются геометрическими векторами так же, как расстояния , массы и время представляются действительными числами .

Термин вектор также используется в некоторых контекстах для кортежей , которые представляют собой конечные последовательности чисел фиксированной длины.

Как геометрические векторы, так и кортежи можно складывать и масштабировать, и эти векторные операции привели к концепции векторного пространства, которое представляет собой множество, оснащенное векторным сложением и скалярным умножением , которые удовлетворяют некоторым аксиомам , обобщающим основные свойства вышеперечисленных операций. виды векторов. Векторное пространство, образованное геометрическими векторами, называется евклидовым векторным пространством , а векторное пространство, образованное кортежами, называется координатным векторным пространством .

В математике рассматриваются многие векторные пространства, такие как поле расширения , кольца многочленов , алгебры и функциональные пространства . Термин вектор обычно не используется для элементов этих векторных пространств и обычно зарезервирован для геометрических векторов, кортежей и элементов неопределенных векторных пространств (например, при обсуждении общих свойств векторных пространств).

Векторы в евклидовой геометрии

В математике , физике и технике евклидов вектор или просто вектор (иногда называемый геометрическим вектором ^[1] или пространственным вектором ^[2] ) — это геометрический объект, имеющий величину (или длину ) и направление . Векторы можно добавлять к другим векторам в соответствии с векторной алгеброй . Евклидов вектор часто изображается в виде направленного отрезка или графически в виде стрелки, соединяющей начальную точку А с конечной точкой В , ^[3] и обозначается ${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

Вектор — это то, что нужно, чтобы «перенести» точку А в точку Б ; латинское слово вектор означает «носитель». ^[4] Впервые он был использован астрономами 18-го века, исследующими вращение планет вокруг Солнца. ^[5] Величина вектора — это расстояние между двумя точками, а направление — это направление смещения от A до B. Многие алгебраические операции над действительными числами, такие как сложение , вычитание , умножение и отрицание , имеют близкие аналоги для векторов, ^[6] операции, которые подчиняются знакомым алгебраическим законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности . Эти операции и связанные с ними законы квалифицируют евклидовы векторы как пример более обобщенной концепции векторов, определяемых просто как элементы векторного пространства .

Векторы играют важную роль в физике : скорость и ускорение движущегося объекта, а также действующие на него силы можно описать векторами. ^[7] Многие другие физические величины можно рассматривать как векторы. Хотя большинство из них не представляют расстояния (за исключением, например, положения или смещения ), их величину и направление все же можно представить длиной и направлением стрелки. Математическое представление физического вектора зависит от системы координат , используемой для его описания. К другим вектороподобным объектам, описывающим физические величины и аналогичным образом преобразующимся при изменении системы координат, относятся псевдовекторы и тензоры . ^[8]

Векторные пространства

В математике и физике векторное пространство (также называемое линейным пространством) — это набор , элементы которого, часто называемые векторами , можно складывать и умножать («масштабировать») на числа, называемые скалярами . Скаляры часто являются действительными числами , но могут быть и комплексными числами или, в более общем плане, элементами любого поля . Операции сложения векторов и скалярного умножения должны удовлетворять определенным требованиям, называемым векторными аксиомами . Реальное векторное пространство и комплексное векторное пространство — это виды векторных пространств, основанные на различных видах скаляров: действительное координатное пространство или комплексное координатное пространство .

Векторные пространства обобщают евклидовы векторы , которые позволяют моделировать физические величины , такие как силы и скорость , которые имеют не только величину , но и направление . Концепция векторных пространств является фундаментальной для линейной алгебры вместе с концепцией матриц , которая позволяет выполнять вычисления в векторных пространствах. Это обеспечивает краткий и синтетический способ манипулирования и изучения систем линейных уравнений .

Векторные пространства характеризуются своей размерностью , которая, грубо говоря, задает количество независимых направлений в пространстве. Это означает, что для двух векторных пространств над данным полем и одинаковой размерности свойства, которые зависят только от структуры векторного пространства, совершенно одинаковы (технически векторные пространства изоморфны ) . Векторное пространство является конечномерным, если его размерность является натуральным числом . В противном случае оно бесконечномерно , а его размерность — бесконечный кардинал . Конечномерные векторные пространства естественным образом встречаются в геометрии и смежных областях. Бесконечномерные векторные пространства встречаются во многих областях математики. Например, кольца многочленов представляют собой счетно -бесконечномерные векторные пространства, а многие функциональные пространства имеют мощность континуума в качестве размерности.

Многие векторные пространства, рассматриваемые в математике, наделены и другими структурами . Это случай алгебр , которые включают расширения полей , кольца многочленов, ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Это также относится к топологическим векторным пространствам , которые включают функциональные пространства, пространства внутреннего произведения , нормированные пространства , гильбертовы пространства и банаховые пространства .

Векторы по алгебре

Любая алгебра над полем представляет собой векторное пространство, но элементы алгебры обычно не называются векторами. Однако в некоторых случаях их называют векторами , главным образом по историческим причинам.

Векторный кватернион , кватернион с нулевой вещественной частью.
Мультивектор или $p$ -вектор , элемент внешней алгебры векторного пространства.
Спиноры , также называемые векторами спина , были введены для расширения понятия вектора вращения . Фактически, векторы вращения представляют собой вращения скважин локально , а не глобально, поскольку замкнутый контур в пространстве векторов вращения может вызвать кривую в пространстве вращений, которая не является петлей. Кроме того, многообразие векторов вращения ориентируемо , а многообразие вращений — нет. Спиноры — это элементы векторного подпространства некоторой алгебры Клиффорда .
Вектор Витта — бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца, которая принадлежит алгебре над этим кольцом и была введена для обработки распространения переноса в операциях над p-адическими числами .

Данные, представленные векторами

Набор кортежей из $n действительных$ чисел имеет естественную структуру векторного пространства, определяемую покомпонентным сложением и скалярным умножением . Эти кортежи принято называть векторами , даже в тех контекстах, где операции с векторным пространством не применяются. В более общем смысле, когда некоторые данные могут быть естественным образом представлены векторами, их часто называют векторами , даже если сложение и скалярное умножение векторов не являются допустимыми операциями над этими данными. ^[^{оспаривается}^–^{обсуждается}^] Вот несколько примеров. $\mathbb {R} ^{n}$

Вектор вращения — евклидов вектор , направление которого совпадает с направлением оси вращения , а величина — это угол поворота.
Вектор Бюргерса — вектор, который представляет величину и направление искажения дислокаций в кристаллической решетке.
Интервальный вектор в теории музыкальных множеств — массив, выражающий интервальное содержимое набора высотных классов.
Вектор вероятности в статистике — вектор с неотрицательными элементами, сумма которых равна единице.
Случайный вектор или многомерная случайная величина , в статистике — набор действительных случайных величин , которые могут коррелировать . Однако случайный вектор может также относиться к случайной величине , которая принимает свои значения в векторном пространстве.
Логический вектор , вектор из 0 и 1 ( логические значения ).

Векторы в исчислении

Исчисление служит основным математическим инструментом в области векторов, предлагая основу для анализа и манипулирования векторными величинами в различных научных дисциплинах, особенно в физике и технике . Векторные функции, где выходным сигналом является вектор, тщательно исследуются с помощью исчисления, чтобы получить важную информацию о движении в трехмерном пространстве. Векторное исчисление расширяет традиционные принципы исчисления на векторные поля, вводя такие операции, как градиент , дивергенция и ротор , которые находят применение в физике и инженерном контексте. Линейные интегралы , имеющие решающее значение для расчета работы на пути внутри силовых полей, и поверхностные интегралы , используемые для определения таких величин, как поток , иллюстрируют практическую полезность исчисления в векторном анализе. Интегралы по объему , необходимые для вычислений, включающих скалярные или векторные поля в трехмерных областях, способствуют пониманию распределения массы , плотности заряда и скорости потока жидкости. ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

Найдите вектор в Викисловаре, бесплатном словаре.

Вектор (значения)

Векторные пространства с большей структурой

Градуированное векторное пространство — тип векторного пространства, включающий дополнительную структуру градации.
Нормированное векторное пространство — векторное пространство, в котором определена норма.
Гильбертово пространство
Упорядоченное векторное пространство — векторное пространство, обладающее частичным порядком.
Супервекторное пространство , название векторного пространства, градуированного по Z _{2 .}
Симплектическое векторное пространство , векторное пространство V, снабженное невырожденной кососимметричной билинейной формой.
Топологическое векторное пространство , смесь топологической структуры с алгебраической концепцией векторного пространства.

Векторные поля

Векторное поле — это векторная функция , которая, как правило, имеет область той же размерности (как многообразие ), что и ее кодомен,

Консервативное векторное поле — векторное поле, представляющее собой градиент скалярного потенциального поля.
Векторное поле Гамильтона — векторное поле, определенное для любой энергетической функции или гамильтониана.
Векторное поле Киллинга — векторное поле на римановом многообразии.
Соленоидальное векторное поле — векторное поле с нулевой дивергенцией.
Векторный потенциал — векторное поле, ротор которого является заданным векторным полем.
Векторный поток , набор тесно связанных понятий потока, определяемого векторным полем.

Разнообразный

исчисление Риччи
Векторный анализ , учебник Уилсона по векторному исчислению , впервые опубликованный в 1901 году, который во многом способствовал стандартизации обозначений и словаря трехмерной линейной алгебры и векторного исчисления.
Векторное расслоение — топологическая конструкция, которая уточняет идею семейства векторных пространств, параметризованных другим пространством.
Векторное исчисление — раздел математики, занимающийся дифференцированием и интегрированием векторных полей.
Векторный дифференциал , или del , оператор векторного дифференциала, представленный символом набла. $\nabla$
Вектор Лапласа , векторный оператор Лапласа, обозначаемый , является дифференциальным оператором, определенным над векторным полем. $\nabla ^{2}$
Векторные обозначения , общепринятые обозначения, используемые при работе с векторами.
Векторный оператор — тип дифференциального оператора, используемый в векторном исчислении.
Векторное произведение , или векторное произведение, операция над двумя векторами в трехмерном евклидовом пространстве, создающая третий трехмерный евклидов вектор.
Векторная проекция , также известная как векторная резолюция или компонент вектора , линейное отображение, создающее вектор, параллельный второму вектору.
Векторнозначная функция — функция, имеющая векторное пространство в качестве кодомена .
Векторизация (математика) — линейное преобразование, преобразующее матрицу в вектор-столбец.
Векторная авторегрессия — эконометрическая модель, используемая для отражения эволюции и взаимозависимостей между несколькими временными рядами.
Векторный бозон — бозон со спиновым квантовым числом, равным 1.
Векторная мера — функция, определенная в семействе множеств и принимающая векторные значения, удовлетворяющие определенным свойствам.
Векторный мезон — мезон с полным спином 1 и нечетной четностью.
Векторное квантование — метод квантования, используемый при обработке сигналов.
Векторный солитон — уединенная волна, состоящая из нескольких компонентов, связанных вместе, которая сохраняет свою форму во время распространения.
Векторный синтез , разновидность синтеза звука.
Фазовый вектор

Примечания

^ Иванов 2001.
^ Хайнбокель 2001
^ Ито 1993, с. 1678 г.; Педо 1988 г.
^ Латынь: vectus, причастие совершенного вида от vehere, «нести» / veho = «Я несу». Историческое развитие слова вектор см. в разделе «вектор n». . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство в участвующей организации.) и Джефф Миллер. «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов» . Проверено 25 мая 2007 г.
^ Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Лондон: Кларендон Пресс. 2001. ISBN 9780195219425.
^ «Вектор | Определение и факты» . Британская энциклопедия . Проверено 19 августа 2020 г.
^ «Векторы». www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Вектор». mathworld.wolfram.com . Проверено 19 августа 2020 г.