Диэдральная симметрия в трех измерениях

Правильная многоугольная симметрия

В геометрии двугранная симметрия в трех измерениях — это одна из трех бесконечных последовательностей точечных групп в трех измерениях , которые имеют группу симметрии , которая в качестве абстрактной группы представляет собой группу диэдра Dih _n (для n  ≥ 2).

Типы

Существует 3 типа двугранной симметрии в трех измерениях, каждый из которых показан ниже в 3 обозначениях: обозначение Шенфлиса , обозначение Коксетера и обозначение орбифолда .

Хиральный

• D _n , [ n ,2] ⁺ , (22 n ) порядка 2 n – диэдральная симметрия или пара-n-гональная группа (абстрактная группа: Dih _n ).

Ачирал

• D _nh , [ n ,2], (*22 n ) порядка 4 n – призматическая симметрия или полная орто-n-гональная группа (абстрактная группа: Dih _n × Z ₂ ).
• D _nd (или D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) порядка 4 n – антипризматическая симметрия или полная гиро-н-гональная группа (абстрактная группа: Dih _{2 n} ).

Для заданного n все три имеют n -кратную вращательную симметрию относительно одной оси ( поворот на угол 360°/ n не меняет объект) и 2-кратную вращательную симметрию относительно перпендикулярной оси, следовательно, относительно n из них. При n = ∞ они соответствуют трем группам Фриза . Используется обозначение Шенфлиса , обозначение Кокстера в скобках и обозначение орбифолда в круглых скобках. Термин «горизонтальный» (h) используется по отношению к вертикальной оси вращения.

В 2D группа симметрии D _n включает отражения в линиях. Когда 2D-плоскость встроена горизонтально в 3D-пространство, такое отражение можно рассматривать либо как ограничение этой плоскости отражения через вертикальную плоскость, либо как ограничение плоскости вращения вокруг линии отражения на 180°. °. В 3D различают две операции: группа D _n содержит только вращения, а не отражения. Другая группа — пирамидальная симметрия C _nv того же порядка, 2 n .

При отражательной симметрии в плоскости, перпендикулярной оси n -кратного вращения, имеем D _nh , [n], (*22 n ).

D _nd (или D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) имеет вертикальные зеркальные плоскости между горизонтальными осями вращения, а не через них. В результате вертикальная ось представляет собой 2 n -кратную ось роторного отражения .

D _nh — группа симметрии правильной n -сторонней призмы , а также правильной n-сторонней бипирамиды . D _nd — группа симметрии правильной n -сторонней антипризмы , а также правильного n-стороннего трапецоэдра . D _n — группа симметрии частично повернутой призмы.

n  = 1 не включено, поскольку три симметрии равны другим:

• D ₁ и C ₂ : группа порядка 2 с одним поворотом на 180°.
• D _{1 h} и C _{2 v} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180° вокруг линии в этой плоскости.
• D _{1 d} и C _{2 h} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180° вокруг линии, перпендикулярной этой плоскости.

При n  = 2 нет одной главной оси и двух дополнительных осей, а есть три эквивалентные.

• D ₂ , [2,2] ⁺ , (222) порядка 4 является одним из трех типов групп симметрии с четырехгруппой Клейна в качестве абстрактной группы. Он имеет три перпендикулярные оси вращения 2-го порядка. Это группа симметрии кубоида , у которого буква S написана на двух противоположных гранях в одной ориентации.
• D _{2 h} , [2,2], (*222) порядка 8 — группа симметрии кубоида.
• D _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2*2) порядка 8 — это группа симметрии, например:
  • Квадратный кубоид с диагональю, проведенной на одной квадратной грани, и перпендикулярной диагональю на другой.
  • Правильный тетраэдр , масштабированный в направлении линии, соединяющей середины двух противоположных ребер ( D _{2 d} — подгруппа T d ; масштабируя, мы уменьшаем симметрию).

Подгруппы

Для D _nh , [n,2], (*22n), порядок 4n

• C _nh , [n ⁺ ,2], (n*), порядка 2n
• C _nv , [n,1], (*nn), порядок 2n
• D _n , [n,2] ⁺ , (22n), порядок 2n

Для D _nd , [2n,2 ⁺ ], (2*n), порядок 4n

• S _{2 n} , [2n ⁺ ,2 ⁺ ], (n×), порядок 2n
• C _nv , [n ⁺ ,2], (n*), порядка 2n
• D _n , [n,2] ⁺ , (22n), порядок 2n

D _nd также является подгруппой D _{2 nh} .

Примеры

D _nh , [ n ], (*22 n ):

Д _{5 ч} , [5], (*225):

Д _{4 д} , [8,2 ⁺ ], (2*4):

Д _{5 д} , [10,2 ⁺ ], (2*5):

Д _{17 д} , [34,2+ ^] , ​​(2*17):

Смотрите также

• Список сферических групп симметрии
• Группы точек в трех измерениях
• Циклическая симметрия в трех измерениях

Рекомендации

• Коксетер , HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера 
• Конвей, Джон Хортон ; Хьюсон, Дэниел Х. (2002), «Орбифолдная запись для двумерных групп», Структурная химия , Springer Нидерланды, 13 (3): 247–257, doi : 10.1023/A: 1015851621002, S2CID  33947139

Внешние ссылки

• Графический обзор 32 групп кристаллографических точек – образуют первые части (кроме пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных групп 3D точек.