Правильный многоугольник

Равноугольный и равносторонний многоугольник

В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это многоугольник , прямоугольный (все углы равны) и равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми , звездообразными или косыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с возрастающим числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямой линии ), если длина ребра фиксирована.

Общие свойства

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с от 3 до 12 вершин, помеченные символами Шлефли.

Эти свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, как выпуклым, так и звездообразным .

Правильный n -сторонний многоугольник обладает вращательной симметрией порядка n .

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. они являются конциклическими точками. То есть правильный многоугольник — это циклический многоугольник .

Вместе со свойством сторон одинаковой длины это означает, что в каждом правильном многоугольнике также есть вписанная окружность или вписанная окружность , касающаяся каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник является касательным многоугольником .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители числа n являются различными простыми числами Ферма . См. Конструируемый многоугольник .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью оригами тогда и только тогда , когда для некоторого числа каждое отличное число является простым числом Пьерпона . ^[1] ${\displaystyle n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p_{i}}$

Симметрия

Группа симметрии n - стороннего правильного многоугольника представляет собой группу диэдра D _n (порядка 2 n ): D ₂ , D 3 , D 4 , ... Она состоит из вращений в C _n вместе с симметрией отражения в n осях . которые проходят через центр. Если n четно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечетно, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

Все правильные простые многоугольники (простым многоугольником называется тот, который нигде не пересекается) являются выпуклыми. Те, у которых одинаковое число сторон, также подобны .

n - сторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается символом Шлефли { n }. При n < 3 имеем два вырожденных случая:

Моногон {1}

Вырождение в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не считают моногон настоящим многоугольником, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не похожа на структуру какого-либо абстрактного многоугольника .)

Дигон {2}; «двойной отрезок»

Вырождение в обычном пространстве . (Из-за этого некоторые авторитеты не считают дигон настоящим многоугольником.)

В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких случаях принято отбрасывать префикс Regular. Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Как следствие формулы хорды кольца , площадь, ограниченная описанной и вписанной окружностями каждого единичного выпуклого правильного многоугольника, равна π /4.

Углы

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет меру:

${\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}}$степени;

${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$радианы; или

${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}$полные обороты ,

и каждый внешний угол (т. е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру в градусах, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам, или 2π радиан, или одному полному обороту. ${\displaystyle {\tfrac {360}{n}}}$

Когда n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. У правильного многоугольника с 10 000 сторон (мириагона ) внутренний угол равен 179,964°. По мере увеличения числа сторон внутренний угол может приблизиться к 180°, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не сможет стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180°, поскольку окружность фактически станет прямой линией (см. Апейрогон ). По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.

Диагонали

При n > 2 число диагоналей равно ; т.е. 0, 2, 5, 9, ... для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, ... . Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... части OEIS : A007678 . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-3)}$

Для правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех остальных вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .

Точки на плоскости

Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d _i от произвольной точки плоскости до вершин имеем ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}\right)^{2}.}$

Для высших степеней расстояний от произвольной точки плоскости до вершин правильного -угольника, если ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

тогда ^[3]

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

и

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

где – целое положительное число меньше . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Если - расстояние от произвольной точки плоскости до центра тяжести правильного -угольника с радиусом описанной окружности , то ^[3] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)}$,

где = 1, 2, …, . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n-1}$

Внутренние точки

Для правильного n -угольника сумма расстояний по перпендикулярам от любой внутренней точки до n сторон в n раз больше апофемы ^{[4] : ​​с. 72} (апофема — расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. ^{[5] [6]}

Окружной радиус

Правильный пятиугольник ( n = 5) со стороной s , радиусом описанной окружности R и апофемой a.

Графики стороны ,  с ; апофема ,  а ; и площадь A  правильных многоугольников с n сторонами и радиусом описанной окружности 1, с основанием b  прямоугольника той же площади . Зеленая линия показывает случай n = 6 .

Радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одной из вершин связан с длиной стороны s или с апофемой a соотношением

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

Для конструируемых многоугольников существуют алгебраические выражения для этих отношений; см. Бицентрический многоугольник#Правильные многоугольники .

Сумма перпендикуляров из вершин правильного n -угольника к любой прямой, касательной к описанной окружности, равна n умноженному на радиус описанной окружности. ^{[4] : с. 73}

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n -угольника до любой точки его описанной окружности равна 2 nR ² , где R — радиус описанной окружности. ^{[4] : стр.73}

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n -угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR ² −1/4ns ² , где s — длина стороны, а R — радиус описанной окружности. ^{[4] : с. 73}

Если – расстояния от вершин правильного -угольника до любой точки описанной вокруг него окружности, то ^[3] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

Разрезы

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разделить на или ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$1/2m ( m − 1) параллелограммов. Эти мозаики содержатся как подмножества вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . ^[7] В частности, это верно для любого правильного многоугольника с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших многоугольников.

Область

Площадь A выпуклого правильного n -стороннего многоугольника, имеющего сторону s , радиус описанной окружности R , апофему a и периметр p, равна ^{[8] [9]}

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 это дает следующую таблицу: ^[10] ( Поскольку as ${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$ ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ , площадь, когда стремится к as, увеличивается.) ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle n^{2}/4\pi }$ ${\displaystyle n}$

Сравнение размеров правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, от трех до шестидесяти сторон. Размер неограниченно увеличивается по мере того, как число сторон приближается к бесконечности.

Из всех n -угольников заданного периметра правильным является тот, у которого наибольшая площадь. ^[19]

Конструируемый многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще невозможно построить. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами ^{[20] : с. xi} , и они знали, как построить правильный многоугольник с двойным числом сторон данного правильного многоугольника. ^{[20] : стр. 49–50} Это привело к заданию вопроса: можно ли построить все правильные n -угольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольников можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простое число Ферма — это простое число вида ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но так и не опубликовал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля . ${\displaystyle 2^{\left(2^{n}\right)}+1.}$

Эквивалентно, правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом , то есть может быть записан с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные косые многоугольники

Правильный косой многоугольник в трехмерном пространстве можно рассматривать как неплоские пути, зигзагообразные между двумя параллельными плоскостями, определяемыми как боковые края однородной антипризмы . Все ребра и внутренние углы равны.

В более общем смысле, правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примеры включают многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и выглядят как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники

Невыпуклый правильный многоугольник — это правильный звездчатый многоугольник . Самый распространенный пример — пентаграмма , имеющая те же вершины, что и пятиугольник , но соединяющая чередующиеся вершины.

Для n -стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли модифицируется, чтобы указать плотность или «звездность» m многоугольника, как { n / m }. Например, если m равно 2, то каждая вторая точка соединяется. Если m равно 3, то соединяется каждая третья точка. Граница многоугольника обходит центр m раз.

(Невырожденные) правильные звезды до 12 сторон:

• Пентаграмма – {5/2}
• Гептаграмма – {7/2} и {7/3}.
• Октаграмма – {8/3}
• Эннеаграмма – {9/2} и {9/4}.
• Декаграмма – {10/3}
• Хендекаграмма – {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}.
• Додекаграмма – {12/5}

m и n должны быть взаимно простыми , иначе фигура выродится.

Вырожденные правильные звезды до 12 сторон:

• Тетрагон – {4/2}
• Шестиугольники – {6/2}, {6/3}
• Восьмиугольники – {8/2}, {8/4}
• Эннеагон – {9/3}
• Десятиугольники — {10/2}, {10/4} и {10/5}.
• Додекагоны — {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}.

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения относительно природы выродившейся фигуры различаются. Например, {6/2} можно обрабатывать одним из двух способов:

• На протяжении большей части 20-го века (см., например, Коксетер (1948)) мы обычно использовали /2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого {6} с ее ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить правильное соединение двух треугольников. или гексаграмма .
  Коксетер поясняет это регулярное соединение с помощью обозначения {kp}[k{p}]{kp} для соединения {p/k}, поэтому гексаграмма представляется как {6}[2{3}]{6}. ^[23] Более компактно Коксетер также пишет 2 {n/2}, как 2 {3} для гексаграммы, состоящей из чередований правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем факторе, чтобы отличить ее от совпадающей интерпретации. ^[24]
• Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), ^[22] считают это неверным. Они используют /2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник с «двойной обмоткой», который имеет две вершины, наложенные друг на друга в каждой угловой точке, и два края вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактных многогранников , но и более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создавал свои звездчатые многоугольники — беря один отрезок проволоки и сгибая его в последовательных точках под одним и тем же углом. пока фигура не закроется.

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодуальны по отношению к конгруэнтности, а при нечетном n они самодуальны по отношению к единице.

Кроме того, самодвойственными являются и правильные звездные фигуры (составные), состоящие из правильных многоугольников.

Правильные многоугольники как грани многогранников

Однородный многогранник имеет в качестве граней правильные многоугольники, так что для каждых двух вершин существует изометрия, отображающая одну в другую (так же, как и для правильного многоугольника).

Квазиправильный многогранник — это однородный многогранник, у которого вокруг каждой вершины чередуются только два вида граней.

Правильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий только одну грань.

Остальные (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, называется дельтаэдром .

Смотрите также

• Евклидово разбиение выпуклыми правильными многоугольниками
• Платоново твердое тело
• Список правильных многогранников и соединений
• Равносторонний многоугольник
• Карлайлский круг

Примечания

1. Хва, Янг Ли (2017). Числа, конструируемые оригами (PDF) (магистерская диссертация). Университет Джорджии. стр. 55–59.
2. Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
3. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355.
4. Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал 1929).
5. Пиковер, Клиффорд А., Книга математики , Стерлинг, 2009: стр. 150
6. Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратная теорема Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
7. Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
8. «Открытый справочник по математике» . Проверено 4 февраля 2014 г.
9. "Математические слова" .
10. Результаты для R = 1 и a = 1, полученные с помощью Maple с использованием определения функции:

    f := proc ( n ) оператор опций , стрелка ; [ [ конвертировать ( 1 / 4 * n * раскладушка ( Пи / n ) , радикал ) , конвертировать ( 1 / 4 * n * раскладушка ( Пи / n ) , float )] , [ конвертировать ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , радикал ) , конвертировать ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , float ) , конвертировать ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , float ) )] , [ конвертировать ( n * tan ( Pi / n ) , радикал ) , конвертировать ( n * tan ( Pi / n ) , float ) , конвертировать ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , float )] ] end процесс                      

    Выражения для n = 16 получены двойным применением формулы тангенса половинного угла к tan(π/4)
11. ${\displaystyle {\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)}$
12. ${\displaystyle {\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}$
13. ${\displaystyle {\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)}$
14. ${\displaystyle 4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)}$
15. ${\displaystyle 16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)}$
16. ${\displaystyle 5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$
17. ${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$
18. ${\displaystyle 20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$
19. Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
20. Болд, Бенджамин. Знаменитые проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).
21. Каппрафф, Джей (2002). За гранью меры: экскурсия по природе, мифам и числам. Всемирная научная. п. 258. ИСБН 978-981-02-4702-7.
22. Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис. 3.
23. Правильные многогранники, стр.95
24. Коксетер, Плотности правильных многогранников II, 1932, стр.53

Рекомендации

• Ли, Хва Ён; «Числа, собираемые в технике оригами».
• Коксетер, HSM (1948). «Правильные многогранники». Метуэн и Ко. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретны и вычисляемы. geom: Фестиваль Гудмана-Полака , Эд. Аронов и др., Springer (2003), стр. 461–488.
• Пуансо, Л .; Мемуар о многоугольниках и многогранниках. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Правильный многоугольник». Математический мир .
• Описание обычного многоугольника С интерактивной анимацией
• Окружность правильного многоугольника с интерактивной анимацией
• Площадь правильного многоугольника Три разные формулы с интерактивной анимацией
• Конструкции правильных многоугольников художниками эпохи Возрождения в Конвергенции