stringtranslate.com

Край (геометрия)

В геометрии ребро — это особый тип отрезка линии , соединяющий две вершины многоугольника , многогранника или многогранника более высокой размерности . [1] В многоугольнике ребро — это отрезок линии на границе, [2] и его часто называют стороной многоугольника . В многограннике или, в более общем смысле, в многограннике, ребро — это отрезок прямой, где встречаются две грани (или стороны многогранника). [3] Сегмент, соединяющий две вершины и проходящий через внутреннюю или внешнюю часть, не является ребром, а называется диагональю .

Связь с ребрами в графах

В теории графов ребро — это абстрактный объект, соединяющий две вершины графа , в отличие от ребер многоугольника и многогранника, которые имеют конкретное геометрическое представление в виде отрезка прямой. Однако любой многогранник можно представить его скелетом или ребром-скелетом, графом, вершины которого являются геометрическими вершинами многогранника, а ребра соответствуют геометрическим ребрам. [4] И наоборот, графы, являющиеся скелетами трехмерных многогранников, могут быть охарактеризованы теоремой Стейница как в точности 3-связные плоские графы . [5]

Количество ребер в многограннике

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.

где V — количество вершин , E — количество ребер, а F — количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество ребер на 2 меньше суммы чисел вершин и граней. Например, у куба 8 вершин и 6 граней, а значит, 12 ребер.

Случаи с другими лицами

В многоугольнике в каждой вершине встречаются два ребра ; в более общем смысле, по теореме Балинского , по крайней мере d ребер сходятся в каждой вершине d -мерного выпуклого многогранника. [6] Аналогично, в многограннике ровно две двумерные грани встречаются на каждом ребре, [7] в то время как в многогранниках более высоких размерностей три или более двумерных грани встречаются на каждом ребре.

Альтернативная терминология

В теории многомерных выпуклых многогранников грань или сторона d -мерного многогранника — это один из его ( d —  1)-мерных элементов, гребень — это ( d  — 2)-мерный элемент, а вершина — это ( d  − 3)-мерный объект. Таким образом, ребра многоугольника — это его грани, ребра трёхмерного выпуклого многогранника — его рёбра, а ребра четырёхмерного многогранника — его вершины. [8]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Тексты для выпускников по математике , том. 152, Спрингер, Определение 2.1, с. 51, ISBN 9780387943657.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Край многоугольника». Из Wolfram MathWorld.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Край многогранника». Из Wolfram MathWorld.
  4. ^ Сенешаль, Марджори (2013), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении, Springer, стр. 81, ISBN 9780387927145.
  5. ^ Писанский, Томаж ; Рандич, Милан (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Горини, Кэтрин А. (редактор), Геометрия в действии , Примечания MAA, том. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Матем. доц. Америка, стр. 174–194, MR  1782654.. См., в частности, теорему 3, с. 176.
  6. ^ Балинский, М. Л. (1961), «О графовой структуре выпуклых многогранников в n-пространстве», Pacific Journal of Mathematics , 11 (2): 431–434, doi : 10.2140/pjm.1961.11.431 , MR  0126765.
  7. ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 1, ISBN 9780521098595.
  8. ^ Зайдель, Раймунд (1986), «Построение выпуклых оболочек более высокой размерности с логарифмической стоимостью на грань», Труды восемнадцатого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '86) , стр. 404–413, doi : 10.1145/12130.12172 , S2CID  8342016.

Внешние ссылки