Тессеракт

Четырехмерный аналог куба

Крест Дали , сетка тессеракта .

Тессеракт можно развернуть на восемь кубов в трехмерном пространстве, так же как куб можно развернуть на шесть квадратов в двухмерном пространстве.

В геометрии тессеракт или 4-куб — ​​это четырёхмерный гиперкуб , аналог двумерного квадрата и трёхмерного куба . ^[1] Так же, как периметр квадрата состоит из четырех ребер, а поверхность куба состоит из шести квадратных граней , гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек , встречающихся под прямым углом . Тессеракт — один из шести выпуклых правильных 4-многогранников .

Тессеракт также называют 8-клеточным , C ₈ , (правильным) октахороном или кубической призмой . Это четырехмерный многогранник меры , принятый за единицу гиперобъема. ^[2] Коксетер называет его многогранником γ ₄ . ^[3] Термин «гиперкуб» без ссылки на размерность часто рассматривается как синоним этого конкретного многогранника .

Оксфордский словарь английского языка относит слово « тессеракт» к книге Чарльза Говарда Хинтона «Новая эра мысли» 1888 года . Этот термин происходит от греческого tessara ( τέσσαρα «четыре») и aktis ( ἀκτίς «луч»), обозначая четыре ребра, идущие от каждой вершины к другим вершинам. Хинтон первоначально написал это слово как тессаракт . ^[4]

Геометрия

Как правильный многогранник с тремя кубами , сложенными вместе вокруг каждого ребра, он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Построенный как четырехмерная гиперпризма , состоящая из двух параллельных кубов, он может быть назван составным Шлефли. символ {4,3} × {} с порядком симметрии 96. Как дуопризма 4-4 , декартово произведение двух квадратов , его можно назвать составным символом Шлефли {4} × {4} с порядком симметрии 64. В качестве ортотопа он может быть представлен составным символом Шлефли { } × { } × { } × { } или { } ⁴ с порядком симметрии 16.

Поскольку к каждой вершине тессеракта примыкают четыре ребра, вершинная фигура тессеракта представляет собой правильный тетраэдр . Двойной многогранник тессеракта представляет собой 16-ячеечный символ Шлефли {3,3,4}, с которым его можно объединить, образуя соединение тессеракта и 16-ячеечного .

Все ребра правильного тессеракта имеют одинаковую длину. Это представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы топологии сети для соединения нескольких процессоров в параллельных вычислениях : расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует множество различных путей, позволяющих балансировать вес.

Тессеракт ограничен восемью трехмерными гиперплоскостями . Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратных грани. Три куба и три квадрата пересекаются по каждому ребру. В каждой вершине сходятся четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра. Всего тессеракт состоит из 8 кубов, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.

Координаты

Единичный тессеракт имеет длину стороны 1 и обычно считается базовой единицей гиперобъема в 4-мерном пространстве. Единичный тессеракт в декартовой системе координат для 4-мерного пространства имеет две противоположные вершины с координатами [0, 0, 0, 0] и [1, 1, 1, 1] и другие вершины с координатами во всех возможных комбинациях 0. с и 1 с. Это декартово произведение замкнутого единичного интервала [0, 1] по каждой оси.

Иногда единичный тессеракт центрируется в начале координат, чтобы его координаты были более симметричными. Это декартово произведение замкнутого интервала по каждой оси. ${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$ ${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}$

Другой обычно удобный тессеракт — это декартово произведение замкнутого интервала [−1, 1] по каждой оси с вершинами в координатах (±1, ±1, ±1, ±1) . Этот тессеракт имеет длину стороны 2 и гиперобъем 2 ⁴ = 16 .

Сеть

Развертка многогранника называется сетью . Существует 261 отдельная сеть тессеракта. ^[5] Развертки тессеракта можно посчитать, сопоставив сети с парными деревьями ( дерево вместе с идеальным паросочетанием в его дополнении ).

Строительство

Анимация изменения размеров

Построение гиперкубов можно представить следующим образом:

• Одномерное: две точки A и B могут быть соединены в линию, образуя новый отрезок AB.
• Двумерный: два параллельных отрезка AB и CD, разделенные расстоянием AB, можно соединить и образовать квадрат с углами, отмеченными как ABCD.
• Трехмерное изображение: два параллельных квадрата ABCD и EFGH, разделенные расстоянием AB, можно соединить в куб с углами, отмеченными как ABCDEFGH.
• В 4-м измерении: два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP, разделенные расстоянием AB, можно соединить, образуя тессеракт с углами, отмеченными как ABCDEFGHIJKLMNOP. Однако такое параллельное расположение двух кубов, при котором каждая из восьми соответствующих пар вершин находится на расстоянии AB, может быть достигнуто только в пространстве с четырьмя или более измерениями.

Восемь ячеек тессеракта можно рассматривать (три разных способа) как два переплетенных кольца из четырех кубов. ^[6]

Тессеракт можно разложить на меньшие 4-многогранники. Это выпуклая оболочка соединения двух полутессерактов ( 16-клеток ). Его также можно триангулировать в 4-мерные симплексы ( неправильные 5 ячеек ), которые имеют общие вершины с тессерактом. Известно, что существуютТаких триангуляций 92 487 256 ^[7] и что наименьшее количество 4-мерных симплексов в любой из них равно 16. ^[8]

Разложение тессеракта на экземпляры его характерного симплекса (частная ортосхема с диаграммой Коксетера).) — это самая простая возможная прямая конструкция тессеракта. Характеристическая 5-ячейка 4-куба является фундаментальной областью определяющей группы симметрии тессеракта , группы, которая порождает многогранники B 4 . Характерный симплекс тессеракта непосредственно порождает тессеракт посредством действий группы, отражаясь в собственных ограничивающих гранях (зеркальных стенках ).

Радиальная равносторонняя симметрия

Радиус гиперсферы, описанной вокруг правильного многогранника, — это расстояние от центра многогранника до одной из вершин, а для тессеракта этот радиус равен длине его ребра; диаметр сферы, длина диагонали между противоположными вершинами тессеракта, в два раза превышает длину ребра. Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный тессеракт и 24-клеточный , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . В частности, тессеракт — единственный гиперкуб (кроме нульмерной точки), который является радиально равносторонним . Самая длинная диагональ от вершины к вершине -мерного гиперкуба с единичной длиной ребра равна длине ребра для квадрата и только для тессеракта . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n{\vphantom {t}}}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

Тессеракт, ориентированный по оси, вписанный в трехмерную сферу единичного радиуса, имеет вершины с координатами. ${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

Характеристики

Доказательство без слов того, что граф гиперкуба неплоский , с использованием теорем Куратовского или Вагнера и нахождением либо K ₅ (вверху), либо K _3,3 (внизу) подграфов .

Для тессеракта с длиной стороны s :

• Гиперобъем (4D): ${\displaystyle H=s^{4}}$
• Поверхностный «объем» (3D): ${\displaystyle SV=8s^{3}}$
• Диагональ лица : ${\displaystyle d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s}$
• Диагональ ячейки : ${\displaystyle d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s}$
• 4-мерная диагональ: ${\displaystyle d_{\mathrm {4} }=2s}$

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всем тессеракте. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[9] Например, цифра 2 в первом столбце второй строки указывает на то, что в каждом ребре (т. е. на крайних точках) имеется по 2 вершины; цифра 4 во втором столбце первой строки означает, что в каждой вершине сходятся 4 ребра.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Прогнозы

Тессеракты можно проецировать в трехмерное и двумерное пространство аналогично проектированию куба в двумерное пространство.

Параллельные проекционные оболочки тессеракта (каждая ячейка рисуется гранями разного цвета, перевернутые ячейки не рисуются)

Ромбический додекаэдр образует выпуклую оболочку параллельной проекции тессеракта, идущей сначала по вершине. Число вершин в слоях этой проекции равно 1 4 6 4 1 — четвёртая строка в треугольнике Паскаля .

Параллельная проекция тессеракта на ячейку в трехмерное пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшая и самая дальняя ячейки проецируются на куб, а остальные шесть ячеек проецируются на шесть квадратных граней куба.

Параллельная проекция тессеракта лицевой стороной вперед в трехмерное пространство имеет кубовидную оболочку. Две пары ячеек выступают на верхнюю и нижнюю половины этой оболочки, а четыре оставшиеся ячейки выступают на боковые грани.

Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство, параллельная с края, имеет оболочку в форме шестиугольной призмы . Шесть ячеек проецируются на ромбические призмы, которые расположены в шестиугольной призме аналогично тому, как грани трехмерного куба проецируются на шесть ромбов в шестиугольной оболочке при проекции «сначала вершина». Две оставшиеся ячейки выступают на основания призм.

Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство, параллельная сначала вершине, имеет ромбическую додекаэдрическую оболочку. Две вершины тессеракта проецируются в начало координат. Существует ровно два способа разрезать ромбдодекаэдр на четыре конгруэнтных ромбоэдра , что дает в общей сложности восемь возможных ромбоэдров, каждый из которых представляет собой проецируемый куб тессеракта. Эта проекция также имеет максимальный объем. Одним набором векторов проекции являются u = (1,1,−1,−1) , v = (−1,1,−1,1) , w = (1,−1,−1,1) .

Анимация, показывающая каждый отдельный куб в проекции тессеракта на плоскость B _{4 Кокстера.}

Тесселяция

Тессеракт, как и все гиперкубы , замощает евклидово пространство . Самодвойственная тессерактическая сота , состоящая из 4 тессерактов вокруг каждой грани, имеет символ Шлефли {4,3,3,4} . Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол 90°. ^[10]

Радиальная равносторонняя симметрия тессеракта делает его мозаику уникальной регулярной объемноцентрированной кубической решеткой из сфер одинакового размера в любом количестве измерений.

Связанные многогранники и соты

Тессеракт является четвертым в серии гиперкубов :

Тессеракт (8-клеточный) является третьим в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности).

Как однородная дуопризма , тессеракт существует в последовательности однородных дуопризм : { p }×{4}.

Правильный тессеракт, наряду с 16-клеточным , существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией . Тессеракт {4,3,3} существует в последовательности правильных 4-многогранников и сот { p ,3,3} с тетраэдрическими вершинными фигурами {3,3}. Тессеракт также представляет собой последовательность правильных 4-многогранников и сот {4,3, p } с кубическими ячейками .

Правильный комплексный многогранник ₄ {4} ₂ ,, имеет реальное представление в виде тессеракта или 4-4 дуопризмы в 4-мерном пространстве. ₄ {4} ₂ имеет 16 вершин и 8 4-ребер. Его симметрия равна ₄ [4] ₂ , порядок 32. Он также имеет конструкцию более низкой симметрии, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, или ₄ {}× ₄ {}, с симметрией ₄ [2] ₄ , порядок 16. Это симметрия, если красные и синие 4-ребра считаются различными. ^[11]

В популярной культуре

С момента своего открытия четырехмерные гиперкубы стали популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Яркие примеры включают:

• « И он построил кривой дом » — научно-фантастический рассказ Роберта Хайнлайна 1940 года, в котором показано здание в форме четырехмерного гиперкуба. ^[12] Эта книга, а также книга Мартина Гарднера «Безсторонний профессор», опубликованная в 1946 году, являются одними из первых произведений научной фантастики, знакомящих читателей с лентой Мебиуса , бутылкой Клейна и гиперкубом (тессерактом).
• Распятие (Corpus Hypercubus) , картина маслом Сальвадора Дали 1954 года, изображающая четырехмерный гиперкуб, развернутый в трехмерный латинский крест . ^[13]
• Большая Арка , памятник и здание недалеко от Парижа, Франция, завершенное в 1989 году. По словам инженера памятника Эрика Райтцеля , Большая Арка была спроектирована так, чтобы напоминать проекцию гиперкуба. ^[14]
• Fez , видеоигра, в которой вы играете персонажем, который может видеть за пределами двух измерений, которые видят другие персонажи, и должен использовать эту способность для решения платформерных головоломок. Включает «Точку», тессеракт, который помогает игроку ориентироваться в мире и рассказывает, как использовать способности, что соответствует теме видения за пределами человеческого восприятия известного многомерного пространства. ^[15]

Слово « тессеракт» позже было принято для множества других применений в популярной культуре, в том числе в качестве сюжета в произведениях научной фантастики, часто практически не связанных с четырехмерным гиперкубом; см. Тессеракт (значения) .

Смотрите также

• Математика и искусство

Примечания

1. «Тессеракт — четырехмерный куб». www.cut-the-knot.org . Проверено 9 ноября 2020 г.
2. Эльте, EL (1912). Полуправильные многогранники гиперпространств . Гронинген: Гронингенский университет. ISBN 1-4181-7968-Х.
3. Коксетер 1973, стр. 122–123, §7.2. иллюстрация Рис. 7.2 C .
4. "Тессеракт" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . 199669. (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
5. «Разворачивание 8-клеточного». Unfolding.apperceptual.com . Проверено 21 января 2018 г.
6. Коксетер 1970, с. 18.
7. Пурнен, Лайонел (2013), «Флип-граф четырехмерного куба связен», Discrete & Computational Geometry , 49 (3): 511–530, arXiv : 1201.6543 , doi : 10.1007/s00454-013-9488 -у, МР  3038527, S2CID  30946324
8. Коттл, Ричард В. (1982), «Минимальная триангуляция 4-куба», Дискретная математика , 40 : 25–29, doi : 10.1016/0012-365X(82)90185-6 , MR  0676709
9. Коксетер 1973, с. 12, §1.8 Конфигурации.
10. Коксетер 1973, с. 293.
11. Коксетер, HSM, Правильные комплексные многогранники , второе издание, Cambridge University Press, (1991).
12. Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, doi : 10.1353/wlt.2010.0188, JSTOR  27871086, S2CID  115769478
13. Кемп, Мартин (1 января 1998 г.), «Измерения Дали», Nature , 391 (27): 27, Бибкод : 1998Natur.391...27K, doi : 10.1038/34063 , S2CID  5317132
14. Урсин, Анна (2016), «Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании», Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании , Справочник по информатике, стр. 91, ISBN 9781522504818
15. «Точка (Персонаж) - Гигантская бомба» . Гигантская бомба . Проверено 21 января 2018 г.

Рекомендации

• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. стр. 122–123.
• Ф. Артур Шерк, Питер МакМаллен, Энтони К. Томпсон, Азия Ивик Вайс (1995) Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Coxeter , ISBN Wiley-Interscience Publication 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 4
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 ) 
• Т. Госсет (1900) О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан.
• Т. Проктор Холл (1893) «Проекция четырехкратных фигур на трехплоскую», Американский журнал математики 15: 179–89.
• Равномерные многогранники Нормана Джонсона , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
• Виктор Шлегель (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionen Körper , Варен.

Внешние ссылки

• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x4o3o3o - tes».
• Домашняя страница Кена Перлина «Способ визуализации гиперкубов», Кен Перлин
• «Некоторые заметки о четвертом измерении» включают анимированные уроки Давида П. Червоне по нескольким различным аспектам тессеракта.
• Анимация Тессеракта с устранением скрытого объема