Усеченный тессеракт

Type of tesseract

В геометрии усеченный тессеракт — это однородный 4-многогранник, образованный как усечение правильного тессеракта .

Существует три усечения, включая побитовое усечение и триусечение, которое создает усеченные 16 ячеек .

Усеченный тессеракт

Усеченный тессеракт ограничен 24 ячейками : 8 усеченными кубами и 16 тетраэдрами .

Альтернативные названия

• Усеченный тессеракт ( Норман В. Джонсон )
• Усеченный тессеракт (аббревиатура tat) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс) ^[1]

Строительство

Усеченный тессеракт может быть построен путем усечения вершин тессеракта на длину ребра. В каждой усеченной вершине образуется правильный тетраэдр. ${\displaystyle 1/({\sqrt {2}}+2)}$

Декартовы координаты вершин усеченного тессеракта с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)}$

Прогнозы

Стереоскопическая 3D - проекция усеченного тессеракта.

В усеченном кубе первой параллельной проекции усеченного тессеракта в трехмерное пространство изображение располагается следующим образом:

• Оболочкой проекции является куб .
• Две ячейки усеченного куба проецируются на усеченный куб, вписанный в кубическую оболочку.
• Остальные 6 усеченных кубов выступают на квадратные грани конверта.
• 8 тетраэдрических объемов между оболочкой и треугольными гранями центрального усеченного куба — это образы 16 тетраэдров, по паре ячеек на каждое изображение.

Изображений

Связанные многогранники

Усеченный тессеракт — третий в последовательности усеченных гиперкубов :

Усеченный тессеракт

Сеть

Усеченный по битам тессеракт , усеченный по битам 16-ячеечный или тессерактигексадекашорон создается с помощью операции усечения битов , примененной к тессеракту . Его также можно назвать рунцикантическим тессерактом с половиной вершин ранцикантеллированного тессеракта сстроительство.

Альтернативные названия

• Битусеченный тессеракт/Рунсикантический тессеракт ( Норман В. Джонсон )
• Тессерактигексадекашорон (аббревиатура тах) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс) ^[2]

Строительство

Тессеракт усекается побитно путем усечения его ячеек за пределами их средних точек, превращая восемь кубов в восемь усеченных октаэдров . У них по-прежнему общие квадратные грани, но шестиугольные грани образуют усеченные тетраэдры, которые имеют общие треугольные грани друг с другом.

Декартовы координаты вершин усеченного тессеракта с длиной ребра 2 задаются всеми перестановками:

${\displaystyle \left(0,\ \pm {\sqrt {2}},\ \pm 2{\sqrt {2}},\ \pm 2{\sqrt {2}}\right)}$

Состав

Усеченные октаэдры соединены друг с другом квадратными гранями, а с усеченными тетраэдрами — шестиугольными гранями. Усеченные тетраэдры соединены друг с другом треугольными гранями.

Прогнозы

Стереографические проекции

Проекция усеченного октаэдра битусеченного тессеракта в трехмерное пространство имеет усеченную кубическую оболочку. Две из усеченных октаэдрических ячеек выступают на усеченный октаэдр, вписанный в эту оболочку, причем квадратные грани касаются центров октаэдрических граней. 6 октаэдрических граней являются изображениями остальных 6 усеченных октаэдрических ячеек. Оставшийся зазор между вписанным усеченным октаэдром и оболочкой заполнен 8 уплощенными усеченными тетраэдрами, каждый из которых является образом пары усеченных тетраэдрических ячеек.

Связанные многогранники

Битусеченный тессеракт является вторым в последовательности битусеченных гиперкубов :

Усеченный 16-клеточный

Усеченный 16-клеточный усеченный гексадекахорон , кантический тессеракт , ограниченный 24 ячейками : 8 правильными октаэдрами и 16 усеченными тетраэдрами . Он имеет половину вершин согнутого тессеракта с построением.

Он связан с 24-клеточным многогранником , но не путать с ним, который представляет собой правильный 4-многогранник, ограниченный 24 правильными октаэдрами.

Альтернативные названия

• Усеченный 16-клеточный/кантический тессеракт ( Норман В. Джонсон )
• Усеченный гексадекашорон (аббревиатура thex) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс) ^[3]

Строительство

Усеченная 16-ячейка может быть построена из 16-ячейки путем усечения ее вершин на 1/3 длины ребра. В результате получается 16 усеченных тетраэдрических ячеек и вводятся 8 октаэдров (вершинные фигуры).

(Усечение 16-ячейки на 1/2 длины ребра приводит к получению 24-ячейки , которая имеет большую степень симметрии, поскольку усеченные ячейки становятся идентичными фигурам вершин.)

Декартовы координаты вершин усеченной 16-ячейки с длиной ребра √2 задаются всеми перестановками, а комбинации знаков

(0,0,1,2)

Альтернативная конструкция начинается с демитессеракта с координатами вершин (±3,±3,±3,±3), имеющим четное количество каждого знака, и усекает его, чтобы получить перестановки

(1,1,3,3), с четным количеством каждого знака.

Состав

Усеченные тетраэдры соединены друг с другом шестиугольными гранями. Октаэдры соединены с усеченными тетраэдрами треугольными гранями.

Прогнозы

В центре октаэдра

Параллельная проекция октаэдра в трех измерениях с выделенными октаэдрическими ячейками.

Параллельная проекция усеченных 16 ячеек в трехмерное пространство с началом октаэдра имеет следующую структуру:

• Огибающая проекции представляет собой усеченный октаэдр .
• Шесть квадратных граней конверта представляют собой изображения шести октаэдрических ячеек.
• В центре оболочки лежит октаэдр, соединенный с центром шести квадратных граней шестью ребрами. Это изображение двух других октаэдрических ячеек.
• Оставшееся пространство между оболочкой и центральным октаэдром заполнено 8 усеченными тетраэдрами (искаженными проекцией). Это изображения 16 усеченных тетраэдрических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции усеченного октаэдра в 2-мерное пространство. Следовательно, усеченный 16-ячеечный можно рассматривать как 4-мерный аналог усеченного октаэдра.

В центре усеченного тетраэдра

Проекция усеченной 16-ячеечной ячейки в трех измерениях с центром в усеченной тетраэдрической ячейке, с удаленными скрытыми ячейками

Усеченный тетраэдр – первая параллельная проекция усеченной 16-ячейки в трехмерное пространство имеет следующую структуру:

• Огибающая проекции представляет собой усеченный куб .
• Ближайший к 4D-точке обзора усеченный тетраэдр выступает в центр оболочки, его треугольные грани соединены с 4 октаэдрическими объемами, которые соединяют его с 4 треугольными гранями оболочки.
• Оставшееся пространство в конверте заполнено четырьмя другими усеченными тетраэдрами.
• Эти объемы представляют собой изображения клеток, лежащих на ближней стороне усеченной 16-клетки; остальные ячейки проецируются на ту же компоновку, за исключением двойной конфигурации.
• Шесть восьмиугольных граней проекционной оболочки являются изображениями остальных 6 усеченных тетраэдрических ячеек.

Изображений

Связанные многогранники

Усеченная 16-ячейка, как кантический 4-куб, относится к размерному семейству кантических n-кубов:

Связанные однородные многогранники

Связанные однородные многогранники в симметрии демитессеракта

Связанные однородные многогранники в симметрии тессеракта

Примечания

1. Клитцинг, (o3o3o4o - тат)
2. Клитцинг, (o3x3x4o - тах)
3. Клитцинг, (x3x3o4o - x)

Рекомендации

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
• ХСМ Коксетер :
  • Коксетер, Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 , стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973, стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
    • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 ) 
• Равномерные многогранники Нормана Джонсона , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
• 2. Выпуклая равномерная полихора на основе тессеракта (8-клеточного) и гексадекахорона (16-клеточного) - Модели 13, 16, 17, Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)».о3о3о4о - тат, о3х3х4о - тах, х3х3о4о - тех

Внешние ссылки

• Бумажная модель усеченного тессеракта, созданная с использованием сетей, созданных программой Stella4D.