Октаэдр

Многогранник с восемью треугольными гранями.

3D модель правильного октаэдра

В геометрии октаэдр ( мн.: октаэдры или октаэдры ) — многогранник с восемью гранями . Этот термин чаще всего используется для обозначения правильного октаэдра , платоновского тела , состоящего из восьми равносторонних треугольников , четыре из которых сходятся в каждой вершине.

Правильный октаэдр — это двойственный многогранник кубу . Это также выпрямленный тетраэдр , квадратная бипирамида в любой из трех ортогональных ориентаций и треугольная антипризма в любой из четырех ориентаций.

Октаэдр — это трехмерный случай более общего понятия перекрестного многогранника .

Правильный октаэдр — это 3-шар в манхэттенской ( ℓ ₁ ) метрике .

Правильный октаэдр

Размеры

Если длина ребра правильного октаэдра равна a , радиус описанной сферы (той, которая касается октаэдра во всех вершинах) равен

${\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707\cdot a}$

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней октаэдра) равен

${\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0.408\cdot a}$

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

${\displaystyle r_{m}={\tfrac {1}{2}}a=0.5\cdot a}$

Ортогональные проекции

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональные проекции , расположенные по центру на ребре, вершине, грани и нормали к грани. Вторая и третья соответствуют плоскостям Кокстера В ₂ и А ₂ .

Сферическая черепица

Октаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость посредством стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Декартовы координаты

Октаэдр с длиной ребра √ 2 можно разместить так, чтобы его центр находился в начале координат, а вершины - на осях координат; тогда декартовы координаты вершин равны

(±1, 0, 0);

(0, ±1, 0);

(0, 0, ±1).

В декартовой системе координат x – y – z октаэдр с центральными координатами ( a , b , c ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x , y , z ) таких, что

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r.}$

Площадь и объём

Площадь поверхности A и объем V правильного октаэдра с длиной ребра a равны:

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.464a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}}$

Таким образом, объём в четыре раза больше, чем у правильного тетраэдра с той же длиной ребра, а площадь поверхности — в два раза (потому что треугольников у нас 8, а не 4).

Если октаэдр растянули так, что он подчиняется уравнению

${\displaystyle \left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1,}$

формулы площади поверхности и объема расширяются и становятся

${\displaystyle A=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}},}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}.}$

Кроме того, тензор инерции растянутого октаэдра равен

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}-y_{m}^{2})\end{bmatrix}}.}$

Они сводятся к уравнениям для правильного октаэдра, когда

${\displaystyle x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$

Геометрические отношения

Используя стандартную номенклатуру тел Джонсона , октаэдр можно было бы назвать квадратной бипирамидой .

Двойной

Октаэдр – это двойственный многогранник кубу .

Если в куб вписан октаэдр с длиной ребра , то длина ребра куба . ${\displaystyle =a}$ ${\displaystyle ={\sqrt {2}}a}$

Звездчатость

Октаэдр представляет собой центральное пересечение двух тетраэдров.

Внутренняя часть соединения двух двойственных тетраэдров представляет собой октаэдр, и это соединение, называемое стелой-октангулой , является его первой и единственной звездчатостью . Соответственно, правильный октаэдр — это результат отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров вдвое меньшего линейного размера (т.е. спрямления тетраэдра). Вершины октаэдра лежат в срединах ребер тетраэдра, и в этом смысле он относится к тетраэдру так же, как кубооктаэдр и икосододекаэдр относятся к другим платоновым телам.

Курносый октаэдр

Можно также разделить ребра октаэдра в соотношении золотой середины , чтобы определить вершины икосаэдра . Это делается путем сначала размещения векторов вдоль ребер октаэдра так, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяем каждое ребро на золотую середину вдоль направления его вектора. Есть пять октаэдров, которые таким образом определяют любой икосаэдр, и вместе они определяют правильное соединение . Икосаэдр, полученный таким образом, называется курносым октаэдром .

Мозаика

Октаэдры и тетраэдры могут чередоваться, образуя вершину, ребро и однородную по граням мозаику пространства . Это и регулярная мозаика кубов — единственные такие однородные соты в трехмерном пространстве.

Характеристическая ортосхема

Как и все правильные выпуклые многогранники, октаэдр можно разбить на целое число непересекающихся ортосхем , имеющих одну и ту же форму, характерную для многогранника. Характеристическая ортосхема многогранника является фундаментальным свойством, поскольку многогранник порождается отражениями в гранях его ортосхемы. Ортосхема встречается в двух хиральных формах, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Характеристической ортосхемой правильного многогранника является четырехпрямоугольный неправильный тетраэдр .

Грани характеристического тетраэдра октаэдра лежат в зеркальных плоскостях симметрии октаэдра . Октаэдр уникален среди платоновых тел тем, что в каждой вершине сходится четное количество граней. Следовательно, это единственный член этой группы, среди зеркальных плоскостей которого есть те, которые не проходят ни через одну из его граней. Группа симметрии октаэдра обозначается B 3 . Октаэдр и его двойственный многогранник куб имеют одну и ту же группу симметрии, но разные характеристики тетраэдров.

Характеристический тетраэдр правильного октаэдра можно найти каноническим разрезом ^[1] правильного октаэдра.который подразделяет его на 48 характерных ортосхем.вокруг центра октаэдра. Три левосторонние ортосхемы и три правосторонние ортосхемы встречаются на каждой из восьми граней октаэдра, шесть ортосхем вместе образуют трехпрямоугольный тетраэдр : треугольную пирамиду с гранью октаэдра в качестве равностороннего основания и вершиной с кубическими углами в центре. октаэдра. ^[2]

Если октаэдр имеет длину ребра 𝒍 = 2, шесть ребер его характерного тетраэдра имеют длину , , вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[a] плюс , , (ребра, которые характерные радиусы октаэдра). Путь с тремя ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен , , : сначала от вершины октаэдра до центра ребра октаэдра, затем поворот на 90° к центру грани октаэдра, затем поворот на 90° к центру октаэдра. Ортосхема имеет четыре разные грани прямоугольного треугольника. Внешняя грань представляет собой треугольник 90-60-30 , который составляет одну шестую грани октаэдра. Три грани внутри октаэдра: треугольник 45-90-45 с ребрами , , , прямоугольный треугольник с ребрами , , , и прямоугольный треугольник с ребрами , , . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$

Топология

Октаэдр 4-связен , а это означает, что для отключения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, а это означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством — это пятиугольная дипирамида , курносый дисфеноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[4]

Сети

Правильный октаэдр имеет одиннадцать расположений сеток .

Огранка

Однородный тетрагемигексаэдр представляет собой тетраэдрическую симметричную огранку правильного октаэдра, имеющую общее расположение ребер и вершин . У него четыре треугольные грани и три центральных квадрата.

Равномерные раскраски и симметрия

Есть три однородные раскраски октаэдра, названные по цветам треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

Группа симметрии октаэдра — Oh _, порядка 48, трёхмерная гипероктаэдрическая группа . Подгруппы этой группы включают D _3d (порядок 12), группу симметрии треугольной антипризмы ; D _4h (порядок 16) — группа симметрии квадратной бипирамиды ; T _d (порядок 24) — группа симметрии выпрямленного тетраэдра. Эту симметрию можно подчеркнуть разной раскраской лиц.

Неправильные октаэдры

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному многограннику. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые один к одному соответствуют чертам правильного октаэдра.

• Треугольные антипризмы : две грани равносторонние, лежат в параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
• Четырехугольные бипирамиды , в которых хотя бы один из экваториальных четырёхугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр — это частный случай, в котором все три четырехугольника являются плоскими квадратами.
• Многогранник Шенхардта — невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.
• Октаэдр Брикара — невыпуклый самопересекающийся гибкий многогранник.

В более общем смысле октаэдром может быть любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер, минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. ^[5] Существует 257 топологически различных выпуклых октаэдров, исключая зеркальные изображения. Точнее, для октаэдров с 6–12 вершинами соответственно имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14. ^{[6] [7]} (Два многогранника «топологически различны», если они имеют существенно различное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменяя длины ребер или углы между ребрами или гранями. .)

Некоторые более известные неправильные октаэдры включают следующее:

• Шестиугольная призма : две грани представляют собой параллельные правильные шестиугольники; шесть квадратов соединяют соответствующие пары ребер шестиугольника.
• Семиугольная пирамида : одна грань представляет собой семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней представляют собой треугольники (обычно равнобедренные). Невозможно, чтобы все треугольные грани были равносторонними.
• Усеченный тетраэдр : четыре грани тетраэдра усекаются, образуя правильные шестиугольники, и есть еще четыре равносторонних треугольных грани, где каждая вершина тетраэдра была усечена.
• Тетрагональный трапецоэдр : восемь граней представляют собой конгруэнтные воздушные змеи .
• Гиробифастигиум : две однородные треугольные призмы , склеенные по одной из своих квадратных сторон так, что ни один треугольник не имеет общего края с другим треугольником (твердое тело Джонсона 26).
• Восьмиугольный осоэдр : вырожден в евклидовом пространстве, но может быть реализован сферически.

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

Флюоритовый октаэдр.

• Природные кристаллы алмаза , квасцов или флюорита обычно имеют октаэдрическую форму, представляющую собой заполняющие пространство тетраэдрически-октаэдрические соты .
• Пластины камаситового сплава в октаэдритовых метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.
• Многие ионы металлов координируют шесть лигандов в октаэдрической или искаженной октаэдрической конфигурации.
• Видманштеттеновые узоры в кристаллах никеля и железа

Октаэдры в искусстве и культуре

Две змейки Рубика одинаковой формы могут приближаться к октаэдру.

• Особенно в ролевых играх это тело известно как «d8», один из наиболее распространенных многогранных кубиков .
• Если каждое ребро октаэдра заменить резистором сопротивлением 1 Ом , сопротивление между противоположными вершинами составит1/2ом, и это между соседними вершинами5/12ом. ^[8]
• Шесть музыкальных нот можно расположить по вершинам октаэдра таким образом, что каждое ребро представляет собой двойку согласных, а каждая грань представляет собой триаду согласных; см. гексани .

Ферма тетраэдрического октета

Пространственная структура из чередующихся тетраэдров и полуоктаэдров, полученная из тетраэдрально-октаэдрических сот, была изобретена Бакминстером Фуллером в 1950-х годах. Его обычно считают самой прочной строительной конструкцией, способной противостоять консольным нагрузкам.

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно превратить в тетраэдр , добавив четыре тетраэдра на чередующихся гранях. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр .

Октаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу.

Это также один из простейших примеров гиперсимплекса , многогранника, образованного определенными пересечениями гиперкуба с гиперплоскостью .

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр также можно считать выпрямленным тетраэдром – и его можно назвать тетратетраэдром . Это можно показать с помощью двухцветной модели лица. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическую симметрию .

Сравните эту последовательность усечения тетраэдра и его двойника:

Вышеупомянутые формы также могут быть реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракта . Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять срезов выше расположены на высотах r ,3/8,1/2,5/8, и s , где r — любое число в диапазоне 0 < r ≤1/4, а s — любое число в диапазоне3/4≤ s < 1 .

Октаэдр как тетратетраэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , идущих от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики представляют собой конструкции Витхоффа внутри фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области. ^{[9] [10]}

Тригональная антипризма

Как тригональная антипризма , октаэдр относится к семейству гексагонально-диэдральной симметрии.

Квадратная бипирамида

Другие связанные многогранники

Усечение двух противоположных вершин приводит к образованию квадрата-бифрустума .

Октаэдр может быть сгенерирован как трехмерный суперэллипсоид со всеми значениями экспоненты, установленными на 1.

Смотрите также

• Октаэдрическое число
• Центрированное октаэдрическое число
• Вращающийся октаэдр
• Стелла восьмиугольная
• Октаэдр Триакиса
• Шестигранный октаэдр
• Усеченный октаэдр
• Октаэдрическая молекулярная геометрия
• Октаэдрическая симметрия
• Октаэдрический граф
• Октаэдрическая сфера

Примечания

1. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.Ошибка harv: нет цели: CITEREFCoxeter1973 ( справка )

Рекомендации

1. Коксетер 1973, с. 130, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника; «симплициальное подразделение».ошибка sfn: нет цели: CITEREFCoxeter1973 ( справка )
2. Коксетер 1973, стр. 70–71, Характеристические тетраэдры; Рис. 4.7А.ошибка sfn: нет цели: CITEREFCoxeter1973 ( справка )
3. Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (i); «Октаэдр, 𝛽 ₃ ».ошибка sfn: нет цели: CITEREFCoxeter1973 ( справка )
4. Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010). «О хорошо покрытых триангуляциях. III». Дискретная прикладная математика . 158 (8): 894–912. дои : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . МР  2602814.
5. «Перечисление многогранников». Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года . Проверено 2 мая 2006 г.
6. «Счет многогранников».
7. «Многогранники с 8 гранями и 6-8 вершинами». Архивировано из оригинала 17 ноября 2014 года . Проверено 14 августа 2016 г.
8. Кляйн, Дуглас Дж. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Хорватия Химика Акта . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 года . Проверено 30 сентября 2006 г.
9. Правильные многогранники Коксетера , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа) 
10. «Мутации двумерной симметрии Дэниела Хьюсона».

Внешние ссылки

• «Октаэдр»  . Британская энциклопедия . Том. 19 (11-е изд.). 1911.
• Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдр». Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3o4o – окт».
• Редактируемая для печати сетка октаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Бумажная модель октаэдра
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников
  • Обозначение Конвея для многогранников. Попробуйте: dP4.