Тетраэдрально -октаэдрические соты , чередующиеся кубические соты представляют собой квазирегулярную, заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Он состоит из чередующихся правильных октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.
Другие названия включают полукубические соты , полукубические ячейки или тетрагональные дисфеноидальные ячейки . Джон Хортон Конвей называет эту соту тетраоктаэдрилом , а ее двойник — додекаэдрилом .
Р. Бакминстер Фуллер объединяет два слова октаэдр и тетраэдр в октетную ферму, ромбоэдр, состоящий из одного октаэдра (или двух квадратных пирамид) и двух противоположных тетраэдров.
Он вершинно-транзитивен и имеет 8 тетраэдров и 6 октаэдров вокруг каждой вершины . Он транзитивен по ребрам , на каждом ребре чередуются 2 тетраэдра и 2 октаэдра.
Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками или ячейками более высокой размерности , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу , чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.
Это часть бесконечного семейства однородных сот , называемых чередующимися гиперкубическими сотами , образованных как чередование гиперкубических сот и состоящих из полугиперкуба и перекрестных многогранных граней. Он также является частью другого бесконечного семейства однородных сот, называемых симплексическими сотами .
В этом случае трехмерного пространства кубические соты чередуются, сводя кубические ячейки к тетраэдрам, а удаленные вершины создают октаэдрические пустоты. По существу, его можно представить расширенным символом Шлефли h{4,3,4}, содержащим половину вершин кубической соты {4,3,4}.
Существуют похожие соты, называемые спиральными тетраэдрально-октаэдрическими сотами , слои которых повернуты на 60 градусов, поэтому половина ребер имеет соседние, а не чередующиеся тетраэдры и октаэдры.
Симметрию тетраэдрально-октаэдрических сот можно удвоить, разместив тетраэдры на октаэдрических ячейках, создав неоднородную соту, состоящую из тетраэдров и октаэдров (как треугольные антипризмы). Его вершинная фигура представляет собой усеченный триакис-тетраэдр третьего порядка . Эти соты представляют собой двойные соты триакиса с усеченными тетраэдрическими ячейками.
Для чередующихся кубических сот с краями, параллельными осям, и с длиной ребра, равной 1, декартовы координаты вершин таковы: (Для всех целых значений: i , j , k с i + j + k четным )
Имеются две светоотражающие конструкции и множество чередующихся кубических сот ; Примеры:
Перемежающиеся кубические соты можно разрезать на секции, где внутри октаэдра создаются новые квадратные грани. Каждый срез будет содержать квадратные пирамиды, обращенные вверх и вниз , и тетраэдры , расположенные на их ребрах. Второе направление среза не требует новых граней и включает чередование тетраэдра и октаэдра. Эти плитные соты представляют собой чешуйчатые соты , а не однородные, поскольку имеют неоднородные ячейки.
Перемежающиеся кубические соты можно ортогонально спроецировать на плоскую квадратную мозаику с помощью операции геометрического сгиба , которая отображает одну пару зеркал друг в друга. Проекция чередующихся кубических сот создает две смещенные копии расположения вершин квадратной мозаики на плоскости:
Его расположение вершин представляет собой решетку A 3 или решетку D 3 . [2] [3] Эта решетка известна в кристаллографии как гранецентрированная кубическая решетка , а также называется кубической плотноупакованной решеткой, поскольку ее вершины являются центрами плотной упаковки с равными сферами, что обеспечивает максимально возможное среднее значение. плотность. Тетраэдрально-октаэдрические соты представляют собой трехмерный случай симплектических сот . Его ячейка Вороного представляет собой ромбический додекаэдр , двойственный вершинной фигуре кубооктаэдра для сот октаэдра.
Д+
3упаковку можно построить объединением двух решеток D 3 (или A 3 ). Д+
нупаковка - это всего лишь решетка для четных размеров. Число поцелуев равно 2 2 =4 (2 n-1 для n<8, 240 для n=8 и 2n(n-1) для n>8). [4]
∪А*
3или Д*
3решетка (также называемая A4
3или Д4
3) может быть построено объединением всех четырех решеток A 3 и идентично расположению вершин дисфеноидных тетраэдрических сот , двойных сот однородных усеченных кубических сот : [5] Это также объемноцентрированная кубическая структура , объединение две кубические соты в двух положениях.
∪
∪
∪= двойственное
"="
∪.Поцелуйное число D*
3решетка равна 8 [6] , а ее мозаика Вороного представляет собой усеченные кубические соты ,
, содержащий все усеченные октаэдрические ячейки Вороного ,. [7]
[4,3,4],Группа Кокстера генерирует 15 комбинаций однородных сот, 9 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты. Расширенные кубические соты (также известные как сморщенные тессерактические соты) геометрически идентичны кубическим сотам.
[4,3 1,1 ],Группа Кокстера генерирует 9 комбинаций однородных сот, 4 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты.
Эта сота — одна из пяти различных однородных сот [8] , построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
Кантические кубические соты , кантические кубические ячейки или усеченные полукубические соты представляют собой однородную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из усеченных октаэдров , кубооктаэдров и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2. Его вершинная фигура представляет собой прямоугольную пирамиду .
Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным тетраоктаэдрилом , а его двойной полусплюснутый октаэдрилл .
Он имеет две разные однородные конструкции. Конструкцию можно увидеть с поочередно окрашенными усеченными тетраэдрами .
Это связано с зубчатыми кубическими сотами . Ромбокубооктаэдры редуцируются до усеченных октаэдров, а кубы — до усеченных тетраэдров.
Рунические кубические соты или рунические кубические ячейки — это однородная, заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из ромбокубооктаэдров , кубов и тетраэдров в соотношении 1:1:2. Его вершинная фигура представляет собой усеченный треугольник с тетраэдром на одном конце, кубом на противоположном конце и тремя ромбокубооктаэдрами вокруг трапециевидных сторон.
Джон Хортон Конвей называет эти соты 3-RCO-трилью , а ее двойную четверть кубилью .
Двойник рунических кубических сот называется четвертью кубиля с диаграммой Коксетера. 
, с гранями в 2 из 4 гиперплоскостей фундаментальной области симметрии , [4,3 1,1 ].
Ячейки можно рассматривать как 1/4 рассеченного куба, используя 4 вершины и центр. Вокруг 6 ребер существуют четыре клетки, а вокруг 3 ребер — 3 клетки.
Он похож на сужающиеся кубические соты , в которых четверть кубов чередуются с тетраэдрами, а половина расширяется в ромбокубооктаэдры.
Эти соты можно разделить на усеченные квадратные плиточные плоскости, используя центры восьмиугольников ромбокубооктаэдров, создавая квадратные купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Кокстера.
и символ s 3 {2,4,4} с симметрией обозначений Кокстера [2 + ,4,4].
.Рунцикантические кубические соты или рункикантические кубические ячейки представляют собой однородную, заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве. Он составлен из усеченных кубооктаэдров , усеченных кубов и усеченных тетраэдров в соотношении 1:1:2, с зеркальной клиновидной вершинной фигурой . Это связано с кубическими сотами с ранцикантелляцией .
Джон Хортон Конвей называет эти соты f-tCO-trill , а их двойную полупирамидиллю .
Двойник кубических сот с усеченными краями называется полупирамидиллей с диаграммой Кокстера. . Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей группы [4,3 1,1 ], группы Кокстера.
Ячейки представляют собой неправильные пирамиды и могут рассматриваться как 1/12 куба или 1/24 ромбододекаэдра , каждая из которых имеет три угла и центр куба.
Существует родственный однородный косой апейроэдр с таким же расположением вершин , но удалены треугольники и квадраты. Его можно рассматривать как усеченные тетраэдры и усеченные кубы, сложенные вместе.
Вращающиеся тетраэдрально-октаэдрические соты или вращающиеся чередующиеся кубические соты представляют собой заполняющую пространство мозаику ( или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве, состоящую из октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2.
Он вершинно-однороден , вокруг каждой вершины находится 8 тетраэдров и 6 октаэдров.
Он не является однородным по краям . Все ребра имеют по 2 тетраэдра и 2 октаэдра, но некоторые из них чередуются, а некоторые парные.
Это можно увидеть как отражающие слои этого сотового слоя:
Это менее симметричная версия другой соты, тетраэдро-октаэдрической соты, в которой каждое ребро окружено чередующимися тетраэдрами и октаэдрами. Оба можно рассматривать как состоящие из слоев толщиной в одну клетку, внутри которых строго чередуются два типа клеток. Поскольку грани на плоскостях, разделяющих эти слои, образуют правильный узор из треугольников , соседние слои можно расположить так, чтобы каждый октаэдр в одном слое встречался с тетраэдром в следующем слое, или так, чтобы каждая ячейка встречалась с ячейкой своего вида ( граница слоя, таким образом, становится плоскостью отражения ). Последняя форма называется циркулярной .
Вершинная фигура называется треугольным ортобикуполом по сравнению с тетраэдрально-октаэдрическими сотами, вершинная фигура которого кубооктаэдр в более низкой симметрии называется треугольным гиробикуполом , поэтому префикс гиро- используется наоборот.
Геометрию также можно построить с помощью операции чередования , примененной к шестиугольным призматическим сотам . Ячейки шестиугольной призмы становятся октаэдрами , а пустоты образуют треугольные бипирамиды , которые можно разделить на пары тетраэдров этой соты. Такие соты с бипирамидами называются дитетраэдрически-октаэдрическими сотами . Существует 3 диаграммы Кокстера-Динкина , которые можно рассматривать как октаэдры 1, 2 или 3 цветов:
Гироудлиненные чередующиеся кубические соты или удлиненные треугольные антипризматические ячейки представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве . Он состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.
Он вершинно-транзитивен, вокруг каждой вершины расположены 3 октаэдра, 4 тетраэдра и 6 треугольных призм.
Это один из 28 выпуклых однородных сот .
Удлиненные чередующиеся кубические соты имеют одинаковое расположение ячеек в каждой вершине, но общее расположение различается. В вытянутой форме каждая призма встречается с тетраэдром на одной из треугольных граней и октаэдром на другой; в гировытянутой форме призма на каждом конце встречает такой же дельтаэдр .
Удлиненные чередующиеся кубические соты или удлиненные треугольные гиропризматические ячейки представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве . Он состоит из октаэдров , треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2.
Он вершинно-транзитивен, вокруг каждой вершины расположены 3 октаэдра, 4 тетраэдра и 6 треугольных призм. Каждая призма на одном конце пересекается с октаэдром, а на другом — с тетраэдром.
Это один из 28 выпуклых однородных сот .
Он имеет закрученную форму, называемую гироудлиненными чередующимися кубическими сотами , с одинаковым расположением ячеек в каждой вершине.
