Кубические соты или кубическая ячейка — единственная правильная правильная мозаика , заполняющая пространство (или соты ), в евклидовом трехмерном пространстве, состоящем из кубических ячеек. Он имеет по 4 куба вокруг каждого ребра и по 8 кубов вокруг каждой вершины. Его вершинная фигура — правильный октаэдр . Это самодвойственная мозаика с символом Шлефли {4,3,4}. Джон Хортон Конвей назвал эти соты кубилью .
Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками или ячейками более высокой размерности , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу , чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.
Это часть многомерного семейства сот гиперкуба с символами Шлефли формы {4,3,...,3,4}, начиная с квадратной мозаики {4,4} на плоскости.
Это одна из 28 однородных сот, в которых используются выпуклые однородные многогранные ячейки.
Простые кубические решетки могут быть искажены до более низких симметрий, представленных более низкими кристаллическими системами:
Существует большое количество однородных раскрасок , полученных из разных симметрий. К ним относятся:
Кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии. Форма высшей (шестиугольной) симметрии образует треугольную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует квадратную мозаику .
Он связан с правильным 4-многогранным тессерактом , символом Шлефли {4,3,3}, который существует в 4-мерном пространстве и имеет только 3 куба вокруг каждого края. Это также связано с кубическими сотами пятого порядка , символом Шлефли {4,3,5}, гиперболического пространства с пятью кубами по каждому краю.
Он представляет собой последовательность полихор и сот с восьмигранными вершинными фигурами .
Это последовательность правильных многогранников и сот с кубическими ячейками .
Кубические соты имеют более низкую симметрию, чем сморщенные кубические соты, с кубиками двух размеров . Конструкцию с двойной симметрией можно построить, поместив маленький куб в каждый большой куб, в результате чего получатся неоднородные соты с кубами , квадратными призмами и прямоугольными трапециями (куб с симметрией D 2d ). Его вершинная фигура представляет собой треугольную пирамиду, боковые грани которой дополнены тетраэдрами.
Полученные соты можно чередовать, чтобы получить еще одну неоднородную соту с правильными тетраэдрами , двумя видами тетрагональных дисфеноидов, треугольными пирамидами и клиновидными. Его вершинная фигура имеет симметрию C 3v и имеет 26 треугольных граней, 39 ребер и 15 вершин.
[4,3,4],
Группа Коксетера генерирует 15 перестановок однородных мозаик, 9 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты . Расширенные кубические соты (также известные как продолговатые кубические соты ) геометрически идентичны кубическим сотам.
[4,3 1,1 ],
Группа Кокстера генерирует 9 перестановок однородных мозаик, 4 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты .
Эта сота — одна из пяти различных однородных сот [2] , построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
Выпрямленные кубические соты или выпрямленные кубические ячейки представляют собой однородную мозаику , заполняющую пространство (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из октаэдров и кубооктаэдров в соотношении 1:1, с квадратной фигурой вершины призмы .
Джон Хортон Конвей называет эту соту кубооктаэдрилом , а ее двойник — сплюснутым октаэдрилем .
Выпрямленные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Существует четыре однородных раскраски ячеек этой соты с отражательной симметрией, перечисленные по их группе Кокстера и названию конструкции Витхоффа , а также диаграмме Кокстера ниже.
Эти соты можно разделить на тригексагональные плоскости мозаики, используя шестиугольные центры кубооктаэдров, создавая два треугольных купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Кокстера.
и символ s 3 {2,6,3} с симметрией обозначений Кокстера [2 + ,6,3].
.Конструкцию с двойной симметрией можно создать, поместив октаэдры на кубооктаэдры, в результате чего получатся неоднородные соты с двумя видами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы). Вершинная фигура представляет собой квадратный бифрустум . Двойная состоит из вытянутых квадратных бипирамид .
Усеченные кубические соты или усеченная кубическая ячейка — это однородная мозаика , заполняющая пространство (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве. Он составлен из усеченных кубов и октаэдров в соотношении 1:1, с вершиной равнобедренной квадратной пирамиды .
Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным кубильем и двойной пирамидилью .
Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Существует вторая равномерная раскраска , обусловленная отражательной симметрией групп Кокстера , вторая видна с поочередно окрашенными усеченными кубическими ячейками.
Конструкцию двойной симметрии можно создать, поместив октаэдры на усеченные кубы, в результате чего получится неоднородная сотовая структура с двумя видами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы) и двумя видами тетраэдров (тетрагональные дисфеноиды и двуугольные дисфеноиды). Вершинная фигура представляет собой квадратный купол октакиса.
Кубические соты с усеченными кусочками — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве , состоящая из усеченных октаэдров (или, что то же самое, кубов с усеченными битами ). Он имеет четыре усеченных октаэдра вокруг каждой вершины в виде тетрагональной фигуры вершины дисфеноида . Будучи полностью состоящим из усеченных октаэдров , он является клеточно-транзитивным . Он также транзитивен по ребрам , с двумя шестиугольниками и одним квадратом на каждом ребре, и транзитивен по вершинам . Это одна из 28 единых сот .
Джон Хортон Конвей называет эту соту усеченным октаэдрилом в своем списке архитектонической и катоптрической мозаики , а ее двойник называется сплющенным тетраэдрилом , также называемым дисфеноидным тетраэдрическим сотом . Хотя правильный тетраэдр не может сам по себе мозаику, этот двойственный тетраэдр имеет идентичные ячейки дисфеноидного тетраэдра с гранями равнобедренного треугольника .
Кубические соты с усеченными кусочками можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии. Форма высшей (шестиугольной) симметрии образует неоднородную ромботригексагональную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует две перекрывающиеся усеченные квадратные мозаики , которые объединяются вместе в квадратную мозаику со скошенными краями .
Вершинной фигурой этой соты является дисфеноидный тетраэдр , а также тетраэдр Гурса ( фундаментальная область ) для группы Коксетера . Эти соты имеют четыре однородные конструкции, причем усеченные октаэдрические ячейки имеют разные группы Кокстера и конструкции Витхоффа . Эти однородные симметрии можно представить, раскрасив по-разному ячейки в каждой конструкции.
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров для получения неоднородной соты с усеченными октаэдрами и шестиугольными призмами (как дитригональные трапеции). Ее вершинной фигурой является C 2v -симметричная треугольная бипирамида .
Затем эти соты можно чередовать, чтобы получить еще одну неоднородную соту с пиритоэдрическими икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тетраэдрами (как клиноиды). Его вершинная фигура имеет симметрию C 2v и состоит из 2 пятиугольников , 4 прямоугольников , 4 равнобедренных треугольников (разделенных на два набора по 2) и 4 разносторонних треугольников .
Кубические соты с чередующимися усеченными кусочками или кубические соты с двукратными усечениями являются неоднородными, при этом конструкция с наивысшей симметрией отражает чередование однородных кубических сот с усеченными битами. Конструкция с более низкой симметрией включает в себя правильные икосаэдры в паре с золотыми икосаэдрами (с 8 равносторонними треугольниками в паре с 12 золотыми треугольниками). Есть три конструкции из трех связанных диаграмм Кокстера :,
, и
. Они имеют симметрию [4,3 + ,4], [4,(3 1,1 ) + ] и [3 [4] ] + соответственно. Первую и последнюю симметрию можно удвоить как [[4,3 + ,4]] и [[3 [4] ]] + .
Эти соты представлены атомами бора α-ромбоэдрического кристалла . Центры икосаэдров расположены в ГЦК-положениях решетки. [3]
Зубчатые кубические соты или зубчатые кубические ячейки представляют собой однородную мозаику (или соты ) , заполняющую пространство, в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из ромбокубооктаэдров , кубооктаэдров и кубов в соотношении 1:1:3, с клиновидной вершинной фигурой .
Джон Хортон Конвей называет эти соты 2-RCO-трилью , а ее сплюснутым октаэдрилом с двойной четвертью .
Зубчатые кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Существует вторая однородная раскраска , обусловленная отражательной симметрией групп Кокстера , вторая наблюдается с попеременно окрашенными ромбокубооктаэдрическими ячейками.
Конструкцию двойной симметрии можно построить, поместив кубооктаэдры на ромбокубооктаэдры, в результате чего образуются выпрямленные кубические соты, приняв треугольные зазоры антипризм как правильные октаэдры , пары квадратных антипризм и тетрагональные дисфеноиды нулевой высоты как компоненты кубооктаэдра . Другие варианты приводят к кубооктаэдрам , квадратным антипризмам , октаэдрам (как треугольные антиподии) и тетраэдрам (как тетрагональные дисфеноиды) с вершинной фигурой, топологически эквивалентной кубу с треугольной призмой, прикрепленной к одной из его квадратных граней.
Двойник зубчатых кубических сот называется четверть сплюснутым октаэдрилом , катоптрической мозаикой с диаграммой Коксетера. 
, содержащий грани из двух из четырех гиперплоскостей кубической [4,3,4] фундаментальной области.
Он имеет ячейки неправильной треугольной бипирамиды, которые можно рассматривать как 1/12 куба, состоящие из центра куба, двух центров граней и двух вершин.
Кантитусеченные кубические соты или кантиусеченные кубические ячейки — это однородная, заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве, состоящая из усеченных кубооктаэдров , усеченных октаэдров и кубов в соотношении 1:1:3, с зеркальным клиновидным отростком. вершинная фигура .
Джон Хортон Конвей называет эту соту n-tCO-trill , а ее двойную треугольную пирамидилю .
Вокруг каждой вершины существуют четыре ячейки:
Скошенные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Ячейки могут быть показаны в двух разных симметриях. Линейную диаграмму Кокстера можно нарисовать одним цветом для каждого типа ячеек. Форму раздвоенной диаграммы можно нарисовать с чередованием двух типов (цветов) ячеек усеченного кубооктаэдра .
Двойник изогнутых кубических сот называется треугольной пирамидилью с диаграммой Кокстера .. Эти сотовые ячейки представляют собой фундаментальные области симметрии.
Ячейка может составлять 1/24 поступательного куба с расположением вершин: два угла, центр грани и центр куба. Цвета и метки краев указывают, сколько ячеек существует по краю.
Это связано с косым апейроэдром с конфигурацией вершин 4.4.6.6, из которого удалены восьмиугольники и часть квадратов. Его можно рассматривать как построенный путем увеличения усеченных кубооктаэдрических ячеек или путем увеличения чередующихся усеченных октаэдров и кубов.
Конструкцию двойной симметрии можно построить, поместив усеченные октаэдры на усеченные кубооктаэдры, в результате чего получатся неоднородные соты с усеченными октаэдрами , шестиугольными призмами (как дитригональные трапезопризмы), кубами (как квадратные призмы), треугольными призмами (как C 2v -симметричными клиньями). и тетраэдры (как тетрагональные дисфеноиды). Его вершинная фигура топологически эквивалентна октаэдру .
Перемежающиеся кантиусеченные кубические соты или курносые выпрямленные кубические соты содержат три типа ячеек: курносые кубы , икосаэдры (с симметрией Th ), тетраэдры (как тетрагональные дисфеноиды) и новые тетраэдрические ячейки, созданные в промежутках.
Хотя он и не является однородным, конструктивно его можно представить в виде диаграмм Кокстера. или.
Несмотря на неоднородность, существует вариант с двумя длинами кромок, показанными ниже, одна из которых примерно на 4,3% больше другой. Курносые кубики в этом случае однородные, а остальные ячейки — нет.
Кантические курносые кубические соты построены путем смещения усеченных октаэдров таким образом, что из кубов остаются только прямоугольники (квадратные призмы). Она не является однородной, но ее можно представить в виде диаграммы Кокстера. . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией Th ), икосаэдры (с симметрией Th ) и треугольные призмы (как клинья C 2v -симметрии) , заполняющие пробелы. [4]
Конструкцию двойной симметрии можно построить, поместив икосаэдры на ромбокубооктаэдры, в результате чего образуются неоднородные соты с икосаэдрами , октаэдрами (в виде треугольных антипризм), треугольными призмами (в виде C 2v -симметричных клиньев) и квадратными пирамидами .
Кубические соты с усеченными краями или кубические соты с усеченными краями представляют собой однородную мозаику (или соты ) , заполняющую пространство, в евклидовом трехмерном пространстве. Он составлен из ромбокубооктаэдров , усеченных кубов , восьмиугольных призм и кубов в соотношении 1:1:3:3, с фигурой вершины равнобедренно-трапециевидной пирамиды .
Его название происходит от диаграммы Кокстера .с тремя кольцевыми узлами, представляющими 3 активных зеркала в конструкции Витхоффа с точки зрения ее отношения к правильным кубическим сотам.
Джон Хортон Конвей называет эти соты 1-RCO-трилью , а ее двойную квадратную четверть пирамидиллой .
Кубические соты с усеченными краями можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Существуют два связанных однородных косых апейроэдра с одинаковым расположением вершин , которые рассматриваются как граничные ячейки из подмножества ячеек. В одном есть треугольники и квадраты, а в другом треугольники, квадраты и восьмиугольники.
Двойник кубических сот с усеченными краями называется квадратной четвертью пирамидиллы с диаграммой Коксетера. . Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей группы Коксетера [4,3,4].
Ячейки представляют собой неправильные пирамиды, и их можно рассматривать как 1/24 куба с одним углом, одной средней точкой ребра, двумя центрами граней и центром куба.
Конструкцию с двойной симметрией можно построить, поместив ромбокубооктаэдры на усеченные кубы, в результате чего получится неоднородная сота с ромбокубооктаэдрами , октаэдрами ( как треугольные антипризмы), кубами (как квадратные призмы), двумя видами треугольных призм (оба C 2v -симметричные клинья). и тетраэдры (как двуугольные дисфеноиды). Ее вершинная фигура топологически эквивалентна расширенной треугольной призме .
Всеусеченные кубические соты или всеусеченные кубические ячейки представляют собой однородную мозаику (или соты ), заполняющую пространство, в евклидовом трехмерном пространстве. Он состоит из усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм в соотношении 1:3, с филлической фигурой дисфеноида в вершине .
Джон Хортон Конвей называет эти соты b-tCO-trill , а их двойную восьмую пирамидилью .
Всеусеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Ячейки могут быть показаны в двух разных симметриях. Форма диаграммы Кокстера имеет два цвета усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм . Симметрию можно удвоить, связав первую и последнюю ветви диаграммы Кокстера, которую можно показать одним цветом для всех усеченных кубооктаэдрических и восьмиугольных призматических ячеек.
Существуют два связанных однородных косых апейроэдра с одинаковым расположением вершин . В первом удалены восьмиугольники и установлена конфигурация вершин 4.4.4.6. Его можно рассматривать как усеченные кубооктаэдры и восьмиугольные призмы, сложенные вместе. Вторые можно рассматривать как дополненные восьмиугольные призмы, конфигурация вершин 4.8.4.8.
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных кубооктаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных кубооктаэдров друг на друга, чтобы получить неоднородные соты с усеченными кубооктаэдрами , восьмиугольными призмами , шестиугольными призмами (как дитригональные трапезопризмы). и два вида кубов (прямоугольные трапеции и их C 2v -симметричные варианты). Ее вершинная фигура представляет собой неправильную треугольную бипирамиду .
Затем эти соты можно чередовать, чтобы получить еще одну неоднородную соту с курносыми кубами , квадратными антипризмами , октаэдрами (в виде треугольных антипризм) и тремя видами тетраэдров (в виде тетрагональных дисфеноидов, филлических дисфеноидов и неправильных тетраэдров).
Перемежающиеся всеусеченные кубические соты или омниснуб-кубические соты могут быть построены путем чередования всеусеченных кубических сот, хотя их нельзя сделать однородными, но можно представить диаграмму Коксетера :и имеет симметрию [[4,3,4]] + . Он делает курносые кубы из усеченных кубооктаэдров , квадратные антипризмы из восьмиугольных призм и создает новые тетраэдрические ячейки из промежутков.
Двойные чередующиеся всеусеченные кубические соты представляют собой заполняющие пространство соты, построенные как двойные чередующиеся всеусеченные кубические соты.
24 ячейки помещаются вокруг вершины, создавая хирально -октаэдрическую симметрию , которую можно совмещать во всех трех измерениях:
Отдельные клетки обладают 2-кратной вращательной симметрией. В 2D ортогональной проекции это выглядит как зеркальная симметрия.
Рунические скошенные кубические соты или рунические свисающие кубические соты построены путем удаления чередующихся длинных прямоугольников из восьмиугольников и не являются однородными, но их можно представить в виде диаграммы Коксетера. . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ), курносые кубы , два вида кубов : квадратные призмы и прямоугольные трапеции призмы (топологически эквивалентные кубу, но с симметрией D 2d ), а также треугольные призмы (как клинья симметрии C 2v ), заполняющие промежутки. .
Кубические соты биортоснуба построены путем удаления чередующихся длинных прямоугольников из восьмиугольников ортогонально и не являются однородными, но их можно представить в виде диаграммы Коксетера. . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ) и два вида кубов : квадратные призмы и прямоугольные трапеции призмы (топологически эквивалентные кубу, но с симметрией D 2d ).
Усеченные квадратные призматические соты или томо-квадратные призматические ячейки представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве . Он состоит из восьмиугольных призм и кубов в соотношении 1:1.
Он построен из усеченной квадратной плитки , выдавленной в виде призм.
Это один из 28 выпуклых однородных сот .
Курносые квадратные призматические соты или симо-квадратные призматические ячейки представляют собой заполняющую пространство мозаику (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве . Он состоит из кубов и треугольных призм в соотношении 1:2.
Он построен из плоской квадратной плитки , выдавленной в виде призм.
Это один из 28 выпуклых однородных сот .
Курносые квадратные антипризматические соты можно построить путем чередования усеченных квадратных призматических сот, хотя их нельзя сделать однородными, но можно представить диаграмму Коксетера :
и обладает симметрией [4,4,2,∞] + . Он образует квадратные антипризмы из восьмиугольных призм , тетраэдры (как тетрагональные дисфеноиды) из кубов и два тетраэдра из треугольных бипирамид .
