stringtranslate.com

Треугольная бипирамида

В геометрии треугольная бипирамида — это шестигранник с шестью треугольными гранями, построенный путем соединения двух тетраэдров лицом к лицу. Эту же форму еще называют треугольной дипирамидой [1] [2] или тригональной бипирамидой . [3] Если эти тетраэдры правильные, то все грани треугольной бипирамиды равносторонние . Это пример дельтаэдра и тела Джонсона .

Многие многогранники связаны с треугольной бипирамидой, например, новые подобные формы, полученные с помощью разных подходов, а также треугольная призма как ее двойственный многогранник . Многие применения треугольной бипирамиды включают молекулярную геометрию тригональной бипирамиды , которая описывает ее кластер атомов , решение проблемы Томсона и представление систем цветового порядка к восемнадцатому веку. Треугольная бипирамида имеет граф, конструкция которого включает граф-колесо .

Строительство

Как и другие бипирамиды , треугольную бипирамиду можно построить, соединив два тетраэдра лицом к лицу. [2] Эти тетраэдры покрывают свое треугольное основание, так что полученный многогранник имеет шесть треугольников, пять вершин и девять ребер. [3] Треугольная бипирамида называется правильной , если тетраэдры симметрично правильные и обе их вершины находятся на линии, проходящей через центр основания; в противном случае он наклонен . [4] [5] Если тетраэдры правильные, то все ребра треугольной бипирамиды равны по длине, составляющие грани — равносторонние треугольники . Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых — треугольная бипирамида с правильными гранями . [1] В более общем смысле, выпуклый многогранник, в котором все грани правильные, является телом Джонсона , а каждый выпуклый дельтаэдр — телом Джонсона. Треугольная бипирамида с правильными гранями входит в число тел Джонсона под номером , двенадцатое тело Джонсона. [6]

Характеристики

Площадь поверхности треугольной бипирамиды в шесть раз больше площади поверхности всех треугольников. В случае длины ребра площадь его поверхности равна: [7]

[7]
3D треугольной бипирамиды

Треугольная бипирамида имеет трехмерную точечную группу симметрии , группу диэдра шестого порядка: внешний вид треугольной бипирамиды не изменяется при ее повороте на одну, две трети и полный угол вокруг оси симметрии (линия, проходящая через две вершины и центр основания вертикально) и имеет зеркальную симметрию относительно любой биссектрисы основания; он также симметричен, поскольку отражается в горизонтальной плоскости. Его двугранный угол можно вычислить, сложив угол двух правильных тетраэдров: угол тетраэдра между соседними треугольными гранями сам по себе равен , а двугранный угол соседних треугольников на ребре, где соединяются два тетраэдра, примерно вдвое больше: [8]

График

График треугольной бипирамиды

Согласно теореме Стейница , граф можно представить как скелет многогранника, если он является плоским и 3-связным графом . Другими словами, ребра этого графа не пересекаются, а пересекаются только в точке, и одна из любых двух вершин при удалении покидает связный подграф. Треугольная бипирамида представляется графом с девятью ребрами, построенным добавлением одной вершины, соединяющей три другие вершины графа-колеса , где представляет собой граф пирамиды с многогранным основанием. [9] [10]

Саджад, Сардар и Пан (2024) построили цепочку треугольных бипирамид, расположив их линейно, как показано на иллюстрации ниже. Расстояние сопротивления (измерение двух вершин графа с использованием электрической сети ) такой конструкции можно вычислить, применяя принципы последовательного и параллельного преобразования , преобразования звездообразной сетки и преобразования Y-Δ . Его структура является примером изучения металлоорганических каркасов . [11]

Связанные многогранники

Геометрическая реализация графа Гольднера – Харари.
Граф Гольднера – Харари представляет собой треугольную бипирамиду, соединенную тетраэдром.

Некоторые типы треугольных бипирамид могут быть получены разными способами. Например, Клитопа многогранников — это конструкция, предполагающая соединение пирамид; в случае треугольной бипирамиды ее Клитоп можно построить из треугольной бипирамиды, прикрепив тетраэдры к каждой из ее граней, накрыв и заменив их тремя другими треугольниками; скелет полученного многогранника представляет собой граф Гольднера – Харари . [12] [13] Другой тип треугольной бипирамиды — это отсечение всех ее вершин; этот процесс известен как усечение . [14]

Бипирамиды — это двойственный многогранник призм , у которого вершины бипирамид соответствуют граням призмы, а ребра между парами вершин одной соответствуют ребрам между парами граней другой . Следовательно, дуализация двойственного многогранника есть сам исходный многогранник. Следовательно, треугольная бипирамида является двойственным многогранником треугольной призме , и наоборот. [15] [3] Треугольная призма имеет пять граней, девять ребер и шесть вершин и имеет ту же симметрию, что и треугольная бипирамида. [3]

Приложения

Известно решение задачи Томсона, одним из которых является треугольная бипирамида.

Проблема Томсона касается конфигурации заряженных частиц на сфере с минимальной энергией. Один из них — треугольная бипирамида, представляющая собой известное решение для случая пяти электронов путем размещения вершин треугольной бипирамиды, вписанной в сферу . [16] Этому решению помогает математически строгий компьютер. [17]

В геометрии химического соединения тригонально -бипирамидальная молекулярная геометрия может быть описана как кластер атомов треугольной бипирамиды. Эта молекула имеет элемент основной группы без активной неподеленной пары , как описано в модели, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR . [18] Некоторыми примерами этой структуры являются пентафторид фосфора и пентахлорид фосфора в газовой фазе. [19]

При изучении теории цвета треугольная бипирамида использовалась для представления трехмерной системы порядка цветов в основном цвете . Немецкий астроном Тобиас Майер в 1758 году представил, что каждая из его вершин представляет цвета: белый и черный — это соответственно верхняя и нижняя вершины, тогда как остальные вершины — красный, синий и желтый. [20] [21]

Рекомендации

  1. ^ аб Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Журнал «Математика» . 51 (1): 55–57. дои : 10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR  2689647. MR  1572246.
  2. ^ Аб Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
  3. ^ abcd King, Роберт Б. (1994). «Многогранная динамика». В Бончеве Данаил Д.; Мекенян О.Г. (ред.). Теоретико-графовые подходы к химической реакционной способности . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-011-1202-4. ISBN 978-94-011-1202-4.
  4. ^ Ню, Вэньсинь; Сюй, Гобао (2011). «Кристаллографический контроль нанокристаллов благородных металлов». Нано сегодня . 6 (3): 265–285. doi :10.1016/j.nantod.2011.04.006.
  5. ^ Александров, Виктор (2017). «Во сколько раз можно увеличить объем выпуклого многогранника за счет изометрических деформаций?». Beiträge zur Algebra und Geometry . 58 (3): 549–554. arXiv : 1607.06604 . дои : 10.1007/s13366-017-0336-8.
  6. ^ Уэхара, Рюхей (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Спрингер. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
  7. ^ аб Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8. МР  0290245.
  8. ^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Збл  0132.14603.
  9. ^ Тутте, WT (2001). Теория графов. Издательство Кембриджского университета. п. 113. ИСБН 978-0-521-79489-3.
  10. ^ Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Спрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
  11. ^ Саджад, Вассид; Сардар, Мухаммад С.; Пан, Сян-Фэн (2024). «Расчет расстояния сопротивления и индекса Кирхгофа цепочки треугольной бипирамиды-гексаэдра». Прикладная математика и вычислительная техника . 461 : 1–12. дои : 10.1016/j.amc.2023.128313. S2CID  261797042.
  12. ^ Грюнбаум, Бранко (1967). Выпуклые многогранники . Уайли Интерсайенс. п. 357.. Та же страница, 2-е изд., Тексты для выпускников по математике 221, Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-0-387-40409-7 . 
  13. ^ Эвальд, Гюнтер (1973). «Гамильтоновы схемы в симплициальных комплексах». Геометрии посвященные . 2 (1): 115–125. дои : 10.1007/BF00149287. S2CID  122755203.
  14. ^ Хаджи-Акбари, Амир; Чен, Элизабет Р.; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (2013). «Упаковка и самостоятельная сборка усеченных треугольных бипирамид». Физ. Преподобный Е. 88 (1): 012127. arXiv : 1304.3147 . Бибкод : 2013PhRvE..88a2127H. doi : 10.1103/physreve.88.012127. PMID  23944434. S2CID  8184675..
  15. ^ Сибли, Томас К. (2015). Мыслить геометрически: обзор геометрии. Математическая ассоциация Америки. п. 53. ИСБН 978-1-939512-08-6.
  16. ^ Слоан, Нью-Джерси ; Хардин, Р.Х.; Дафф, TDS; Конвей, Дж. Х. (1995), «Кластеры твердых сфер с минимальной энергией», Дискретная и вычислительная геометрия , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734, S2CID  26955765
  17. ^ Шварц, Ричард Эван (2013). «Пятиэлектронный случай проблемы Томсона». Экспериментальная математика . 22 (2): 157–186. дои : 10.1080/10586458.2013.766570. S2CID  38679186.
  18. ^ Петруччи, Р.Х.; WS, Харвуд; ФГ, Сельдь (2002). Общая химия: принципы и современные приложения (8-е изд.). Прентис-Холл. стр. 413–414. ISBN 978-0-13-014329-7.См. таблицу 11.1.
  19. ^ Хаускрофт, CE; Шарп, AG (2004). Неорганическая химия (2-е изд.). Прентис Холл. п. 407. ИСБН 978-0-13-039913-7.
  20. ^ Куени, Рольф Г. (2003). Цветовое пространство и его подразделения: порядок цветов от древности до наших дней. Джон и сыновья Уайли. п. 53. ИСБН 978-0-471-46146-3.
  21. ^ Куени, Рольф Г. (2013). Цвет: введение в практику и принципы. Джон и сыновья Уайли. п. 198. ИСБН 978-1-118-17384-8.