В геометрии вершинная фигура , вообще говоря, — это фигура, открывающаяся при срезании угла многогранника или многогранника .
Возьмите какой-нибудь угол или вершину многогранника . Отметьте точку где-нибудь вдоль каждого соединенного края. Нарисуйте линии через соединенные грани, соединяя соседние точки вокруг грани. Когда все будет готово, эти линии образуют полный контур, то есть многоугольник, вокруг вершины. Этот многоугольник является вершиной фигуры.
Более точные формальные определения могут варьироваться в широких пределах в зависимости от обстоятельств. Например, Коксетер (например, 1948, 1954) меняет свое определение так, как удобно для текущей области обсуждения. Большинство следующих определений вершинной фигуры одинаково хорошо применимы к бесконечным мозаикам или, в более широком смысле, к мозаике, заполняющей пространство , ячейками многогранников и другими многогранниками более высокой размерности .
Сделайте разрез через угол многогранника, разрезая все ребра, соединенные с вершиной. Поверхность разреза является вершиной фигуры. Это, пожалуй, самый распространенный и наиболее простой для понимания подход. Разные авторы делают срезы в разных местах. Веннингер (2003) разрезает каждое ребро на единицу расстояния от вершины, как и Коксетер (1948). Для однородных многогранников конструкция Дормана-Люка разрезает каждое связное ребро в его средней точке. Другие авторы делают разрез через вершину на другом конце каждого ребра. [1] [2]
Для неправильного многогранника разрезание всех ребер, инцидентных данной вершине, на равных расстояниях от вершины может привести к образованию фигуры, не лежащей в плоскости. Более общий подход, справедливый для произвольных выпуклых многогранников, состоит в том, чтобы разрезать любую плоскость, которая отделяет данную вершину от всех других вершин, но в остальном является произвольной. Эта конструкция определяет комбинаторную структуру вершинной фигуры, подобную множеству связанных вершин (см. ниже), но не ее точную геометрию; его можно обобщить на выпуклые многогранники любого измерения. Однако для невыпуклых многогранников вблизи вершины может не существовать плоскости, пересекающей все грани, инцидентные вершине.
Кромвель (1999) формирует фигуру вершины, пересекая многогранник сферой с центром в вершине, достаточно маленькой, чтобы пересекать только ребра и грани, инцидентные вершине. Это можно представить как сферический разрез или черпак с центром в вершине. Таким образом, разрезанная поверхность или вершинная фигура представляет собой сферический многоугольник, отмеченный на этой сфере. Одним из преимуществ этого метода является то, что форма фигуры вершины фиксирована (вплоть до масштаба сферы), тогда как метод пересечения плоскостью может создавать разные формы в зависимости от угла плоскости. Кроме того, этот метод работает для невыпуклых многогранников.
Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Skilling, 1975) рассматривают фигуру вершины как упорядоченный (или частично упорядоченный) набор точек всех соседних (соединенных ребром) вершин с данной вершиной.
В теории абстрактных многогранников фигура вершины в данной вершине V включает в себя все элементы, инцидентные этой вершине; ребра, грани и т. д. Более формально это ( n − 1)-сечение F n / V , где F n — наибольшая грань.
Этот набор элементов известен как вершинная звезда . Геометрическую вершинную фигуру и вершинную звезду можно понимать как разные реализации одного и того же абстрактного раздела.
Вершинная фигура n -многогранника является ( n −1)-многогранником. Например, фигура вершины многогранника — это многоугольник , а фигура вершины 4-многогранника — многогранник.
В общем случае фигура вершины не обязательно должна быть плоской.
Для невыпуклых многогранников фигура вершины может быть и невыпуклой. Например, однородные многогранники могут иметь звездчатые многоугольники для граней и/или фигур вершин.
Фигуры вершин особенно важны для униформ и других изогональных (вершинно-транзитивных) многогранников, поскольку одна фигура вершины может определять весь многогранник.
Для многогранников с правильными гранями фигуру вершины можно представить в обозначениях конфигурации вершин , перечислив грани последовательно вокруг вершины. Например, 3.4.4.4 — это вершина с одним треугольником и тремя квадратами, и она определяет однородный ромбокубооктаэдр .
Если многогранник изогональный, фигура вершины будет существовать на гиперплоской поверхности n -пространства.
Учитывая связность этих соседних вершин, можно построить фигуру вершины для каждой вершины многогранника:
Для однородного многогранника грань двойственного многогранника можно найти по фигуре вершины исходного многогранника, используя конструкцию « Дормана Люка ».
Если многогранник правильный, его можно представить символом Шлефли , и из этого обозначения можно тривиально извлечь как ячейку , так и фигуру вершины.
В общем случае правильный многогранник с символом Шлефли { a , b , c ,..., y , z } имеет ячейки как { a , b , c ,..., y } и фигуры вершин как { b , c ,. .., y , z }.
Поскольку двойственный многогранник к правильному многограннику также является правильным и представлен перевернутыми индексами символов Шлефли, легко видеть, что двойственная вершинная фигура является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников это частный случай конструкции Дормана-Люка .
Вершинная фигура усеченных кубических сот представляет собой неоднородную квадратную пирамиду . Один октаэдр и четыре усеченных куба встречаются в каждой вершине, образуя мозаику , заполняющую пространство .
Реберная фигура , связанная с фигурой вершины , является фигурой вершины фигуры вершины . [3] Реберные фигуры полезны для выражения отношений между элементами внутри правильных и однородных многогранников.
Реберная фигура будет ( n −2)-многогранником, представляющим расположение граней вокруг данного ребра. Однородные многогранники на регулярных и однокольцевых диаграммах Кокстера будут иметь один тип ребра. В общем, однородный многогранник может иметь столько же типов ребер, сколько и активных зеркал в конструкции, поскольку каждое активное зеркало создает одно ребро в фундаментальной области.
Правильные многогранники (и соты) имеют фигуру с одним ребром , которая также является правильной. Для правильного многогранника { p , q , r , s ,..., z } фигура ребра равна { r , s ,..., z }.
В четырех измерениях реберная фигура 4-многогранника или 3-сот представляет собой многоугольник, представляющий расположение набора граней вокруг края. Например, реберной фигурой для правильной кубической соты {4,3,4} является квадрат , а для правильного 4-многогранника { p , q , r } — многоугольник { r }.
Менее тривиально: усеченные кубические соты t 0,1 {4,3,4} имеют фигуру вершины квадратной пирамиды с ячейками усеченного куба и октаэдра . Здесь есть два типа реберных фигур . Одна из них представляет собой фигуру с квадратным краем на вершине пирамиды. Это представляет собой четыре усеченных куба по краю. Остальные четыре реберные фигуры представляют собой равнобедренные треугольники на вершинах основания пирамиды. Они представляют собой расположение двух усеченных кубов и одного октаэдра вокруг других ребер.
