Большой икосаэдр

Многогранник Кеплера-Пуансо с 20 гранями

3D модель большого икосаэдра

В геометрии большой икосаэдр — один из четырёх многогранников Кеплера–Пуансо ( невыпуклых правильных многогранников ) с символом Шлефли {3, 5 ⁄ 2 } и диаграммой Коксетера–Дынкина. Он состоит из 20 пересекающихся треугольных граней, в каждой вершине которых сходятся пять треугольников в пентаграммной последовательности.

Большой икосаэдр может быть построен аналогично пентаграмме, ее двумерному аналогу, путем расширения ( n –1) -мерных симплексных граней основного n -политопа (равносторонние треугольники для большого икосаэдра и отрезки линий для пентаграммы) до тех пор, пока фигура не обретет правильные грани. Большой 600-ячейник можно рассматривать как его четырехмерный аналог, используя тот же процесс.

Строительство

Длина ребра большого икосаэдра в раз больше длины ребра исходного икосаэдра. ${\displaystyle {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{2}}}$

Изображения

Формулы

Для большого икосаэдра с длиной ребра E,

$${\displaystyle {\text{Circumradius}}={{\tfrac {E}{4}}{\Bigl (}{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}{\Bigr )}}}$$

$${\displaystyle {\text{Surface Area}}=3{\sqrt {3}}(5+4{\sqrt {5}})E^{2}}$$

$${\displaystyle {\text{Volume}}={\tfrac {25+9{\sqrt {5}}}{4}}E^{3}}$$

Как пренебрежение

Большой икосаэдр можно построить как однородный плосконосый треугольник с разноцветными гранями и только тетраэдрической симметрией :. Эту конструкцию можно назвать ретроскосным тетраэдром или ретроскосным тетратетраэдром , ^[1] аналогичной симметрии плосконосого тетраэдра икосаэдра , как частичной огранки усеченного октаэдра (или всеусеченного тетраэдра ):. Его также можно построить с помощью двухцветных треугольников и пиритоэдрической симметрии, как,или, и называется ретроплосконосым октаэдром .

Связанные многогранники

Анимированная последовательность усечения от {5/2, 3} до {3, 5/2}

Он имеет то же расположение вершин, что и правильный выпуклый икосаэдр . Он также имеет то же расположение ребер , что и малый звездчатый додекаэдр .

Операция усечения, многократно применяемая к большому икосаэдру, производит последовательность однородных многогранников. Усечение ребер до точек производит большой икосододекаэдр как выпрямленный большой икосаэдр. Процесс завершается как биректификация, сводящая исходные грани к точкам и производящая большой звездчатый додекаэдр .

Усеченный большой звездчатый додекаэдр представляет собой вырожденный многогранник с 20 треугольными гранями из усеченных вершин и 12 (скрытыми) сдвоенными пятиугольными гранями ({10/2}) в качестве усечений исходных граней пентаграммы, причем последние образуют два больших додекаэдра, вписанных внутрь икосаэдра и разделяющих его ребра.

Ссылки

1. Клитцинг, Ричард. «однородные многогранники Большой икосаэдр».

• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Cambridge University Press . ISBN 0-521-09859-9.
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Дю Валь, П.; Флатер, Х. Т.; Петри, Дж. Ф. (1999). Пятьдесят девять икосаэдров (3-е изд.). Тарквиний. ISBN 978-1-899618-32-3. МР  0676126.(1-й Эдн Университет Торонто (1938))
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), издание Dover, ISBN 0-486-61480-8 , 3.6–6.2. Формирование звездчатых фигур Платоновых тел , стр. 96–104 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Большой икосаэдр» («Однородный многогранник») на MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Пятнадцать звёздчатых форм икосаэдра». MathWorld .
• Однородные многогранники и двойственные им многогранники