Мозаика или мозаика — это покрытие поверхности , часто плоскости , с использованием одной или нескольких геометрических фигур , называемых плитками , без перекрытий и зазоров. В математике тесселяцию можно обобщить на более высокие измерения и различные геометрии.
Периодическая мозаика имеет повторяющийся узор. Некоторые специальные виды включают в себя регулярные плитки с правильными многоугольными плитками одинаковой формы и полуправильные плитки с правильными плитками более чем одной формы и с одинаковым расположением всех углов. Узоры, образованные периодическими плитками, можно разделить на 17 групп обоев . Мозаика, в которой отсутствует повторяющийся узор, называется «непериодической». Апериодическая мозаика использует небольшой набор фигур плитки, которые не могут образовывать повторяющийся узор ( апериодический набор прототипов ). Мозаика пространства , также известная как заполнение пространства или соты, может быть определена в геометрии более высоких измерений.
Настоящая физическая мозаика — это плитка, сделанная из таких материалов, как склеенные керамические квадраты или шестиугольники. Такие плитки могут представлять собой декоративные узоры или выполнять такие функции, как создание прочных и водостойких покрытий для тротуаров , полов или стен. Исторически мозаика использовалась в Древнем Риме и в исламском искусстве , например, в марокканской архитектуре и декоративной геометрической плитке дворца Альгамбра . В двадцатом веке работы М. К. Эшера часто использовали мозаику, как в обычной евклидовой геометрии, так и в гиперболической геометрии , для художественного эффекта. Мозаика иногда используется для декоративного эффекта при выстегивании . Тесселяции образуют класс узоров в природе , например, в массивах шестиугольных ячеек , встречающихся в сотах .
Мозаику использовали шумеры (около 4000 г. до н. э.) при отделке стен зданий, образованных узорами глиняных плиток. [1]
Декоративные мозаичные плитки, сделанные из небольших квадратных блоков, называемых тессерами , широко использовались в классической античности [2] , иногда демонстрируя геометрические узоры. [3] [4]
В 1619 году Иоганн Кеплер провел первое документально подтвержденное исследование мозаики. Он писал о правильных и полуправильных мозаиках в своей книге «Harmonices Mundi» ; возможно, он был первым, кто исследовал и объяснил шестиугольную структуру сот и снежинок . [5] [6] [7]
Примерно двести лет спустя, в 1891 году, русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждое периодическое замощение плоскости содержит одну из семнадцати различных групп изометрий. [8] [9] Работа Федорова положила неофициальное начало математическому изучению мозаики. Среди других выдающихся авторов — Алексей Васильевич Шубников и Николай Белов (1964), [10] и Генрих Хиш и Отто Кинцле (1963). [11]
На латыни тесселла — это небольшой кубический кусок глины , камня или стекла , используемый для изготовления мозаики. [12] Слово «тесселла» означает «маленький квадрат» (от tessera — квадрат, что, в свою очередь, происходит от греческого слова τέσσερα, означающего четыре ). Это соответствует повседневному термину «черепица» , который относится к применению мозаики, часто выполненной из глазурованной глины.
Тесселяция в двух измерениях, также называемая плоской мозаикой, — это раздел геометрии, изучающий, как фигуры, известные как плитки , могут быть расположены так, чтобы заполнить плоскость без каких-либо зазоров, в соответствии с заданным набором правил. Эти правила могут быть разнообразными. Общие из них заключаются в том, что между плитками не должно быть зазоров и ни один угол одной плитки не может лежать на краю другой. [13] Мозаика, созданная склеенной кирпичной кладкой, не подчиняется этому правилу. Среди тех, которые это делают, правильная тесселяция имеет как одинаковые [a] правильные плитки , так и одинаковые правильные углы или вершины, имеющие одинаковый угол между соседними краями для каждой плитки. [14] Есть только три формы, которые могут образовывать такие правильные мозаики: равносторонний треугольник , квадрат и правильный шестиугольник . Любую из этих трех фигур можно дублировать бесконечно, чтобы заполнить плоскость без пробелов. [6]
Многие другие типы тесселяции возможны при различных ограничениях. Например, существует восемь типов полуправильной мозаики, состоящей из более чем одного вида правильных многоугольников, но имеющих одинаковое расположение многоугольников в каждом углу. [15] Неправильные мозаики также могут быть составлены из других фигур, таких как пятиугольники , полимино и практически любые геометрические фигуры. Художник М. К. Эшер известен созданием мозаики из неправильно переплетенных плиток в форме животных и других природных объектов. [16] Если для плиток разной формы выбраны подходящие контрастные цвета, образуются яркие узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы. [17]
Более формально, мозаика или тайлинг — это покрытие евклидовой плоскости счетным числом замкнутых наборов, называемых тайлами , таких, что тайлы пересекаются только на своих границах . Эти плитки могут быть многоугольниками или любой другой формой. [b] Многие мозаики формируются из конечного числа прототипов , в которых все плитки в тесселяции конгруэнтны заданным прототипам. Если геометрическую фигуру можно использовать в качестве прототипа для создания мозаики, говорят, что форма мозаизирует или мозаику плоскости . Критерий Конвея — это достаточный, но не обязательный набор правил для определения того, закрывает ли данная фигура плоскость периодически без отражений: некоторые плитки не соответствуют критерию, но все же закрывают плоскость. [19] Не найдено общего правила для определения того, может ли данная фигура замостить плоскость или нет, а это означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся мозаики. [18]
Математически мозаику можно распространить на пространства, отличные от евклидовой плоскости. [6] Швейцарский геометр Людвиг Шлефли первым сделал это, определив многосхемы , которые математики сегодня называют многогранниками . Это аналоги многоугольников и многогранников в пространствах большего размера. Он далее определил обозначение символов Шлефли , чтобы упростить описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника — {3}, а для квадрата — {4}. [20] Обозначение Шлефли позволяет компактно описывать мозаики. Например, мозаика из правильных шестиугольников имеет три шестисторонних многоугольника в каждой вершине, поэтому ее символ Шлефли — {6,3}. [21]
Существуют и другие методы описания многоугольных мозаик. Когда мозаика состоит из правильных многоугольников, наиболее распространенным обозначением является конфигурация вершин , которая представляет собой просто список количества сторон многоугольников вокруг вершины. Квадратная мозаика имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 4 4 . Замощение правильных шестиугольников отмечено 6.6.6 или 6 3 . [18]
При обсуждении мозаик математики используют некоторые технические термины. Край — это пересечение двух граничащих плиток; часто это прямая линия. Вершина — это точка пересечения трех или более граничащих плиток. Используя эти термины, изогональная или вершинно-транзитивная мозаика — это мозаика, в которой каждая вершинная точка идентична; то есть расположение многоугольников вокруг каждой вершины одинаково. [18] Фундаментальная область представляет собой форму, например прямоугольник, которая повторяется, образуя мозаику. [22] Например, при регулярном замощении плоскости квадратами в каждой вершине встречаются четыре квадрата . [18]
Стороны многоугольников не обязательно совпадают с краями плиток. Мозаика от края до края — это любая многоугольная мозаика, при которой соседние плитки имеют только одну полную сторону, т. е. ни одна плитка не разделяет частичную сторону или более одной стороны с любой другой плиткой. В мозаике от края до края стороны многоугольников и края плиток одинаковы. Знакомая плитка «кирпичная стена» не имеет стыковки от края до края, потому что длинная сторона каждого прямоугольного кирпича является общей с двумя соседними кирпичами. [18]
Нормальный тайлинг — это мозаика, для которой каждый тайл топологически эквивалентен диску , пересечение любых двух тайлов представляет собой связное множество или пустое множество , а все тайлы равномерно ограничены . Это означает, что один окружной радиус и один радиус вписывания могут использоваться для всех плиток во всей мозаике; условие не позволяет использовать плитки, которые патологически длинные или тонкие. [23]
Моноэдральная мозаика — это мозаика, в которой все плитки конгруэнтны ; у него есть только один прототип. Особенно интересным типом моноэдральной мозаики является спиральная моноэдральная мозаика. Первая спиральная моноэдральная мозаика была открыта Хайнцем Водербергом в 1936 году; мозаика Водерберга имеет единичную плитку, которая представляет собой невыпуклый восьмиугольник . [1] Мозаика Хиршхорна , опубликованная Майклом Д. Хиршхорном и Д.С. Хантом в 1985 году, представляет собой мозаику пятиугольников с использованием неправильных пятиугольников: правильные пятиугольники не могут замостить евклидову плоскость как внутренний угол правильного пятиугольника,3 π/5, не является делителем 2 π . [24] [25]
Изоэдральная мозаика — это особый вариант моноэдральной мозаики, в которой все плитки принадлежат одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одной и той же протоплитки относительно группы симметрии мозаики. [23] Если прототайл допускает мозаику, но ни одна такая мозаика не является изоэдральной, то прототайл называется анизоэдральным и образует анизоэдральные мозаики .
Правильная мозаика — это высокосимметричная мозаика от края до края, состоящая из правильных многоугольников одинаковой формы. Существует только три правильных мозаики: состоящие из равносторонних треугольников , квадратов или правильных шестиугольников . Все три этих мозаики изогональны и моноэдральны. [26]
Полуправильная (или архимедова) мозаика использует более одного типа правильного многоугольника в изогональном расположении. Имеется восемь полуправильных мозаик (или девять, если пара зеркальных изображений считается за две). [27] Их можно описать конфигурацией их вершин ; например, полуправильная мозаика с использованием квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4,8 2 (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника). [28] Возможны многие мозаики евклидовой плоскости без ребра, включая семейство мозаик Пифагора , мозаики, в которых используются квадраты двух (параметризованных) размеров, каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера. [29] Краевая тесселяция — это такая мозаика, при которой каждая плитка может отражаться от края, занимая положение соседней плитки, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников. [30]
Плитки с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях можно разделить на группы обоев , которых существует 17. [31] Утверждалось, что все семнадцать из этих групп представлены во дворце Альгамбра в Гранаде , Испания . Хотя это оспаривается, [32] разнообразие и сложность мозаик Альгамбры заинтересовали современных исследователей. [33] Из трех обычных плиток два находятся в группе обоев p6m , а один — в группе p4m . Двумерные плитки с трансляционной симметрией только в одном направлении можно разделить на семь групп фризов, описывающих возможные узоры фризов . [34] Обозначение орбифолда можно использовать для описания групп обоев евклидовой плоскости. [35]
Плитки Пенроуза , в которых используются два разных четырехугольных прототипа, являются самым известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они принадлежат к общему классу апериодических мозаик , в которых используются плитки, которые не могут периодически замощяться. Рекурсивный процесс замощения замен - это метод создания апериодических замощений. Одним из классов, который можно создать таким образом, является Rep-tiles ; эти мозаики обладают неожиданными самовоспроизводящимися свойствами. [36] Мозаики-вертушки непериодичны и используют конструкцию повторяющихся плиток; плитки появляются в бесконечном количестве направлений. [37] Можно было бы подумать, что непериодическая модель будет совершенно лишена симметрии, но это не так. Апериодические мозаики, хотя и лишены трансляционной симметрии , обладают симметрией других типов благодаря бесконечному повторению любого ограниченного участка мозаики и в некоторых конечных группах вращений или отражений этих участков. [38] Правило замены, например, которое можно использовать для создания шаблонов Пенроуза с использованием наборов плиток, называемых ромбами, иллюстрирует масштабирующую симметрию. [39] Слово Фибоначчи можно использовать для построения апериодической мозаики и для изучения квазикристаллов , которые представляют собой структуры с апериодическим порядком. [40]
Плитки Вана представляют собой квадраты, окрашенные по каждому краю и расположенные так, чтобы примыкающие края соседних плиток имели одинаковый цвет; поэтому их иногда называют домино Ванга . Подходящий набор домино Ванга может замостить плоскость, но только апериодически. Это известно, потому что любую машину Тьюринга можно представить как набор домино Ванга, которые замостили плоскость тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не остановилась. Поскольку проблема остановки неразрешима, проблема определения того, сможет ли набор домино Ванга замостить плоскость, также неразрешима. [41] [42] [43] [44] [45]
Плитки Труше представляют собой квадратные плитки, украшенные узорами, поэтому они не имеют вращательной симметрии ; в 1704 году Себастьен Трюше использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут располагать плитку на плоскости периодически или случайным образом. [46] [47]
Плитка Эйнштейна — это единственная форма, которая обеспечивает апериодическую мозаику. Первую такую плитку, получившую название «шляпа», обнаружил в 2023 году Дэвид Смит, математик-любитель. [48] [49] Открытие находится на профессиональной экспертизе и после подтверждения будет считаться решением давней математической проблемы . [50]
Иногда цвет плитки понимается как часть плитки; в других случаях произвольные цвета могут быть применены позже. При обсуждении мозаики, отображаемой в цветах, во избежание двусмысленности необходимо указать, являются ли цвета частью мозаики или просто частью ее иллюстрации. Это влияет на то, будут ли плитки одинаковой формы, но разного цвета считаться идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. Теорема о четырех цветах утверждает, что для каждой мозаики нормальной евклидовой плоскости с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет так, что никакие плитки одинакового цвета не встречаются на кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная теоремой о четырех цветах, обычно не учитывает симметрию мозаики. Чтобы создать такую раскраску, необходимо рассматривать цвета как часть тесселяции. Здесь может потребоваться до семи цветов, как показано на изображении справа. [51]
Помимо различных замощений правильными многоугольниками изучались также замощения другими многоугольниками.
Любой треугольник или четырехугольник (даже невыпуклый ) можно использовать в качестве прототипа для формирования моноэдральной мозаики, часто несколькими способами. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать мозаику с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в середине всех сторон. Для асимметричного четырехугольника эта мозаика принадлежит группе обоев p2 . В качестве фундаментальной области у нас есть четырехугольник. Эквивалентно, мы можем построить параллелограмм , опирающийся на минимальный набор векторов перемещения, начиная с центра вращения. Мы можем разделить это на одну диагональ и взять половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет ту же площадь, что и четырёхугольник, и его можно построить путём вырезания и склеивания. [52]
Если разрешена только одна форма плитки, существуют мозаики с выпуклыми N -угольниками для N , равных 3, 4, 5 и 6. Для N = 5 см. Пятиугольная мозаика , для N = 6 см . Шестиугольная мозаика , для N = 7 , см . семиугольную мозаику , а для N = 8 см. восьмиугольную мозаику .
Результаты по мозаике плоскости полимино см. в разделе Полимино § Использование полимино .
Мозаики Вороного или Дирихле представляют собой мозаику, в которой каждая плитка определяется как набор точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Подумайте о географических регионах, где каждый регион определяется как все точки, ближайшие к данному городу или почтовому отделению.) [53] [54] Ячейка Вороного для каждой определяющей точки представляет собой выпуклый многоугольник. Триангуляция Делоне — это мозаика, которая является двойственным графом мозаики Вороного. Триангуляции Делоне полезны при численном моделировании, отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных краями. [55] Разбиения Вороного со случайно расположенными точками можно использовать для построения случайных разбиений плоскости. [56]
Тесселяцию можно расширить до трех измерений. Определенные многогранники могут быть сложены в правильный кристаллический узор , чтобы заполнить (или выложить плиткой) трехмерное пространство, включая куб ( единственный платоновский многогранник, который может это сделать), ромбдодекаэдр , усеченный октаэдр , а также треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы . , среди других. [57] Любой многогранник, соответствующий этому критерию, известен как плезиоэдр и может иметь от 4 до 38 граней. [58] Встречающиеся в природе ромбические додекаэдры встречаются в виде кристаллов андрадита ( разновидность граната ) и флюорита . [59] [60]
Тесселяции в трех и более измерениях называются сотами . В трех измерениях существует только одна правильная сотовая структура, в каждой вершине многогранника имеется по восемь кубов. Точно так же в трех измерениях существует только одна квазиправильная сотовая структура [c] , имеющая восемь тетраэдров и шесть октаэдров в каждой вершине многогранника. Однако существует множество возможных полуправильных сот в трех измерениях. [61] Однородные соты можно построить с помощью конструкции Витхоффа . [62]
Бипризма Шмитта -Конвея представляет собой выпуклый многогранник, обладающий свойством замощения пространства только апериодически. [63]
Треугольник Шварца — это сферический треугольник , который можно использовать для создания мозаики сферы . [64]
Можно выполнить мозаику в неевклидовых геометриях, таких как гиперболическая геометрия . Равномерное замощение на гиперболической плоскости (которое может быть правильным, квазиправильным или полуправильным) представляет собой заполнение гиперболической плоскости от края до края с правильными многоугольниками в качестве граней ; они вершинно-транзитивны ( транзитивны по своим вершинам ) и изогональны (существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). [65] [66]
Однородные соты в гиперболическом пространстве — это равномерная мозаика однородных многогранных ячеек . В трехмерном (3-D) гиперболическом пространстве существует девять групповых семейств Кокстера компактных выпуклых однородных сот , порожденных как конструкции Витхоффа и представленных перестановками колец диаграмм Кокстера для каждого семейства. [67]
В архитектуре тесселяции использовались для создания декоративных мотивов с древних времен. Мозаика часто имела геометрический узор. [4] Более поздние цивилизации также использовали более крупные плитки, простые или индивидуально украшенные. Одними из самых декоративных были мавританские настенные плитки исламской архитектуры с использованием плиток Гириха и Зеллиге в таких зданиях, как Альгамбра [68] и Ла-Мескита . [69]
Тесселяции часто появлялись в графике М.К. Эшера ; его вдохновило мавританское использование симметрии в таких местах, как Альгамбра, когда он посетил Испанию в 1936 году. [70] Эшер сделал четыре рисунка « Ограничение круга » мозаики, в которой используется гиперболическая геометрия. [71] [72] Для своей гравюры на дереве «Предел круга IV» (1960) Эшер подготовил исследование карандашом и тушью, показывающее требуемую геометрию. [73] Эшер объяснил, что «ни один компонент всей серии, которые из бесконечно далекого расстояния поднимаются, как ракеты, перпендикулярно от предела и, наконец, теряются в нем, никогда не достигают пограничной линии». [74]
Мозаичные узоры часто появляются на тканях, будь то тканые, вышитые или напечатанные. Узоры тесселяции использовались для создания переплетающихся мотивов лоскутных одеял . [75] [76]
Тесселяция также является основным жанром оригами (складывания бумаги), где складки используются для повторяющегося соединения молекул, таких как складки, вместе. [77]
Тесселяция используется в обрабатывающей промышленности для уменьшения потерь материала (потери производительности), например листового металла , при вырезании фигур для таких объектов, как автомобильные двери или банки для напитков . [78]
Тесселяция проявляется в растрескивании тонких пленок , подобном грязевым трещинам [79] [80] – при этом наблюдается определенная степень самоорганизации с использованием микро- и нанотехнологий . [81]
Соты являются хорошо известным примером мозаики в природе с ее шестиугольными ячейками. [82]
В ботанике термин «мозаика» описывает клетчатый узор, например, на лепестке цветка, коре дерева или фрукте. Цветы , в том числе рябчик [83] и некоторые виды безвременника , имеют характерную мозаичную форму. [84]
Многие узоры в природе образуются из-за трещин в листах материалов. Эти шаблоны могут быть описаны мозаиками Гилберта [85] , также известными как сети случайных трещин. [86] Тесселяция Гилберта — это математическая модель образования грязевых трещин , игольчатых кристаллов и подобных структур. Модель, названная в честь Эдгара Гилберта , позволяет трещинам образовываться, начиная с хаотического разброса по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях вдоль линии, проходящей через точку зарождения, ее наклон выбирается случайным образом, создавая мозаику неправильных выпуклых многоугольников. [87] Потоки базальтовой лавы часто демонстрируют столбчатую трещиноватость в результате сил сжатия , вызывающих трещины по мере остывания лавы. Развивающиеся обширные сети трещин часто образуют шестиугольные столбы лавы. Одним из примеров такого массива колонн является Дорога гигантов в Северной Ирландии. [88] Мозаичное покрытие , характерный пример которого находится в районе Иглхок-Нек на полуострове Тасман в Тасмании , представляет собой редкое образование осадочных пород, в котором порода раскололась на прямоугольные блоки. [89]
В пенопластах встречаются и другие естественные узоры ; они упакованы в соответствии с законами Плато , которые требуют минимальных поверхностей . Такие пенопласты создают проблему, связанную с максимально плотной упаковкой ячеек: в 1887 году лорд Кельвин предложил упаковку, использующую только одно твердое вещество - кубические соты с усеченными кусочками и очень слегка изогнутыми гранями. В 1993 году Денис Вейре и Роберт Фелан предложили структуру Вейра-Фелана , которая использует меньшую площадь поверхности для разделения ячеек равного объема, чем пена Кельвина. [90]
Тесселяции породили множество типов мозаичных головоломок : от традиционных головоломок (с кусочками дерева или картона неправильной формы) [91] и танграма [92] до более современных головоломок , которые часто имеют математическую основу. Например, полиромбы и полимино — это фигуры правильных треугольников и квадратов, часто используемые в мозаике. [93] [94] Такие авторы, как Генри Дюдени и Мартин Гарднер, неоднократно использовали тесселяцию в развлекательной математике . Например, Дюдени изобрел шарнирное рассечение [95] , а Гарднер написал о « рептилии », форме, которую можно расчленить на более мелкие копии той же формы. [96] [97] Вдохновленная статьями Гарднера в Scientific American , математик-любитель Марджори Райс обнаружила четыре новых мозаики с пятиугольниками. [98] [99] Возведение квадрата в квадрат — это задача замощения целого квадрата (того, стороны которого имеют целую длину) с использованием только других целых квадратов. [100] [101] Расширение — это возведение плоскости в квадрат, замощение ее квадратами, размеры которых представляют собой все натуральные числа без повторений; Джеймс и Фредерик Хенле доказали, что это возможно. [102]
Рисунок 1 является частью мозаики евклидовой плоскости, которую мы представляем продолжающейся во всех направлениях, а рисунок 2 [Ограничение круга IV] представляет собой красивую мозаику модели единичного диска Пуанкаре гиперболической плоскости белыми плитками, изображающими ангелов и черных. плитки, изображающие дьяволов. Важная особенность второго состоит в том, что все белые плитки конгруэнтны, как и все черные плитки; конечно, это неверно для евклидовой метрики, но справедливо для метрики Пуанкаре