В геометрии мозаики рептилия или рептилия — это форма, которую можно разрезать на более мелкие копии одной и той же формы . Этот термин был придуман как игра слов в отношении животных- рептилий математиком-любителем Соломоном В. Голомбом и популяризирован Мартином Гарднером в его колонке « Математические игры » в майском номере журнала Scientific American за 1963 год . [1] В 2012 году Ли Сэллоуз в журнале Mathematics Magazine представил обобщение повторяющихся плиток, называемое наборами самозакрывающихся плиток . [2]
Плитка-реплик помечается как повтор- n, если при вскрытии используется n копий. Такая форма обязательно образует прототип мозаики плоскости, во многих случаях апериодической мозаики . Рассечение рептилий с использованием разных размеров исходной формы называется неправильной рептилией или нерептилией. Если при рассечении используется n копий, форма называется неповторяющейся . Если все эти подплитки имеют разные размеры, то мозаику дополнительно называют идеальной. Форма, которая является Rep- n или IrRep- n , тривиально также является IrRep-( kn − k + n ) для любого k > 1 путем замены самой маленькой плитки в разрезе Rep- n на n еще меньших плиток. Порядок фигуры, независимо от того, используются ли повторяющиеся плитки или неповторяющиеся плитки, представляет собой наименьшее возможное количество плиток, которого будет достаточно. [3]
Каждый квадрат , прямоугольник , параллелограмм , ромб или треугольник представляет собой повторение-4. Гексиаммонд сфинкса ( показанный выше) имеет повтор 4 и повтор 9 и является одним из немногих известных самовоспроизводящихся пятиугольников. Остров Госпер имеет номер реп-7. Снежинка Коха имеет тип Irреп-7: шесть маленьких снежинок одинакового размера вместе с еще одной снежинкой, площадь которой в три раза превышает площадь меньших, могут объединиться в одну большую снежинку.
Прямоугольный треугольник с длинами сторон в соотношении 1:2 — это повтор-5, а его рассечение повтора-5 образует основу апериодической мозаики вертушки . По теореме Пифагора гипотенуза , или наклонная сторона треугольника Rep - 5, имеет длину √ 5 .
Международный стандарт ISO 216 определяет размеры листов бумаги с помощью √ 2 , в котором длинная сторона прямоугольного листа бумаги равна квадратному корню из двухкратной короткой стороны бумаги. Прямоугольники этой формы — это повтор 2. Прямоугольник (или параллелограмм) является повторением n , если его соотношение сторон равно √ n :1. Равнобедренный прямоугольный треугольник также является повтором-2.
Некоторые репродукции, такие как квадрат и равносторонний треугольник , симметричны и остаются идентичными при отражении в зеркале . Другие, такие как сфинкс , асимметричны и существуют в двух различных формах , связанных зеркальным отражением. Рассечение сфинкса и некоторых других асимметричных рептилий требует использования как исходной формы, так и ее зеркального отображения.
Некоторые реп-плитки основаны на полиформах , таких как полиромбы и полимино , или формах, созданных путем наложения равносторонних треугольников и квадратов от края к краю.
Если полимино является спрямляемым, то есть способным замостить прямоугольник , то оно также будет повторяющейся плиткой, потому что прямоугольник будет иметь целое соотношение длин сторон и, таким образом, будет замостить квадрат . Это можно увидеть на октамино , которые состоят из восьми квадратов. Две копии некоторых октамино составят квадрат; следовательно, эти октамино также являются реп-плитами Rep-16.
Четыре копии некоторых нономино и нокингов замостит квадрат, поэтому эти полиформы также являются реп-тайлами Rep-36.
Аналогично, если полиалмаз замостит равносторонний треугольник, это также будет повторяющаяся плитка.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, содержащий один прямой угол 90°. Две конкретные формы прямоугольного треугольника привлекли внимание исследователей рептилий: треугольник 45°-90°-45° и треугольник 30°-60°-90°.
Полиформы, основанные на равнобедренных прямоугольных треугольниках со сторонами в соотношении 1:1: √2 , известны как полиаболы . Бесчисленное множество из них являются рептилиями. Действительно, самая простая из всех реп-плиток — это одиночный равнобедренный прямоугольный треугольник. Это повтор-2, если разделить его одной линией, делящей пополам прямой угол с гипотенузой . Повторные плитки Rep-2 также являются повторными плитками Rep-2 n , а треугольники Rep-4,8,16+ дают дополнительные повторные плитки. Их можно найти путем отбрасывания половины подкопий и перестановки остальных до тех пор, пока они не станут зеркально-симметричными внутри прямоугольного треугольника. Другими словами, две копии составят прямоугольный треугольник. Одна из этих новых рептилий напоминает рыбу, состоящую из трех равносторонних треугольников .
Полиформы, основанные на прямоугольных треугольниках с углами 30°-60°-90°, со сторонами в соотношении 1: √ 3 :2, известны как полидрафты . Некоторые из них идентичны полимино и полиалмазам , другие отличаются. [4]
Многие из распространенных повторных плиток имеют тип повтора n 2 для всех положительных целочисленных значений n . В частности, это справедливо для трех трапеций , в том числе из трех равносторонних треугольников, для трех шестиугольников, параллельных осям (L-тромино, L-тетромино и P-пентамино), и шестиугольника сфинкса. [5] Кроме того, многие реп-тайлы, особенно с более высоким re- n , могут быть разложены по-разному. Например, L-тетрамино Rep-9 имеет как минимум четырнадцать различных реп-тайлингов. Шестигранник сфинкса Rep-9 также можно облицовать плиткой по-разному.
Наиболее распространенными реп-плитами являются многоугольники с конечным числом сторон, но некоторые фигуры с бесконечным числом сторон также могут быть реп-плитами. Например, терагонический треугольник, или рогатый треугольник, — это повтор-4. Это также пример фрактальной повторяющейся плитки.
Треугольные и четырехсторонние (четырехсторонние) плитки-реплики распространены, но пятиугольные плитки-реплики встречаются редко. Долгое время считалось, что сфинкс является единственным известным примером, но немецкий / новозеландский математик Карл Шерер и американский математик Джордж Зихерман нашли и другие примеры, включая двойную пирамиду и удлиненную версию сфинкса. . Эти пятиугольные рептилии проиллюстрированы на страницах журнала Math Magic, курируемого американским математиком Эрихом Фридманом . [6] Однако сфинкс и его расширенные версии — единственные известные пятиугольники, которые можно разложить равными копиями. См. Страницы Кларка о рептилиях.
Реплики можно использовать для создания фракталов или самоподобных фигур во все меньших и меньших масштабах. Фрактал повторяющейся плитки формируется путем разделения повторяющейся плитки, удаления одной или нескольких копий разделенной фигуры и последующего рекурсивного продолжения . Например, ковер Серпинского образуется таким образом путем переплетения квадрата на 27 меньших квадратов, а треугольник Серпинского формируется из переплетения равностороннего треугольника на четыре меньших треугольника. Когда одна подкопия отброшена, L- триомино повтора 4 можно использовать для создания четырех фракталов, два из которых идентичны, за исключением ориентации .
Поскольку фракталы часто самоподобны в меньших и меньших масштабах, многие из них могут быть разложены на копии самих себя, как рептилия. Однако если фрактал имеет пустую внутреннюю часть , это разложение может не привести к замощению всей плоскости. Например, треугольник Серпинского — это повтор-3, замощенный тремя копиями самого себя, а ковер Серпинского — это повтор-8, замощенный восемью копиями самого себя, но повторение этих разложений не образует замощение. С другой стороны, кривая дракона представляет собой кривую, заполняющую пространство , с непустой внутренней частью; это повтор-4, и он действительно образует мозаику. Точно так же остров Госпера имеет форму Rep-7, образованную из заполняющей пространство кривой Госпера и снова образующей мозаику.
По построению любой фрактал, определяемый итерированной системой функций из n сжимающих отображений одного и того же отношения, является re-n.
Среди правильных многоугольников только треугольник и квадрат можно разделить на меньшие копии самих себя одинакового размера. Однако правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников, каждый из которых можно разрезать на правильный шестиугольник и еще три равносторонних треугольника. Это основа бесконечного замощения шестиугольника шестиугольниками. Таким образом, шестиугольник является иррептилией без повтора ∞ или без повторения бесконечности.
![Фрактальная удлиненная снежинка Коха (сиамская), выложенная бесконечным количеством своих копий[7]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Frattale_infinito_rep-tile.gif/1280px-Frattale_infinito_rep-tile.gif)
