stringtranslate.com

Структура Вейра – Фелана

В геометрии структура Вейра -Фелана представляет собой трехмерную структуру, представляющую собой идеализированную пену из пузырьков одинакового размера и двух разных форм. В 1993 году Денис Вейре и Роберт Фелан обнаружили, что эта структура является лучшим решением проблемы Кельвина о замощении пространства ячейками одинакового объема с минимальной площадью поверхности, чем предыдущее самое известное решение - структура Кельвина. [1]

История и проблема Кельвина

Битусеченные кубические соты , выпуклые соты, ячейки усеченного октаэдра которых слегка деформированы, образуя структуру Кельвина.

В двух измерениях разделение плоскости на ячейки равной площади с минимальным средним периметром задаётся шестиугольной мозаикой , но хотя первое упоминание об этой гипотезе о сотах восходит к древнеримскому учёному Марку Теренцию Варрону , она не была доказана до тех пор, пока работа Томаса К. Хейлза в 1999 году. [2] В 1887 году лорд Кельвин задал соответствующий вопрос для трехмерного пространства: как можно разделить пространство на ячейки одинакового объема с наименьшей площадью поверхности между ними? Или, короче говоря, какая пена для мыльных пузырей была самой эффективной ? [3] С тех пор эту проблему стали называть проблемой Кельвина.

Кельвин предложил пену, названную структурой Кельвина . Его пена основана на битусеченных кубических сотах , выпуклых однородных сотах , образованных усеченным октаэдром , заполняющим пространство выпуклым многогранником с 6 квадратными гранями и 8 шестиугольными гранями. Однако эти соты не удовлетворяют законам Плато , сформулированным Джозефом Плато в 19 веке, согласно которым минимальные поверхности пенопласта встречаются под углами на своих краях, причем эти края встречаются друг с другом в наборах по четыре с углами . Углы многогранной структуры разные; например, его края встречаются под углами на квадратных или шестиугольных гранях. Таким образом, предложенная Кельвином структура использует криволинейные края и слегка искривленные минимальные поверхности для своих граней, подчиняясь законам Плато и уменьшая площадь структуры на 0,2% по сравнению с соответствующей многогранной структурой. [1] [3]

Хотя Кельвин не сформулировал это явно как гипотезу, [4] идея о том, что пена из усеченных кубических сот является наиболее эффективной пеной и решает проблему Кельвина, стала известна как гипотеза Кельвина . В это широко верили, и более 100 лет не было известно ни одного контрпримера. Наконец, в 1993 году физик Тринити-колледжа Дублина Денис Вейр и его студент Роберт Фелан открыли структуру Вейра-Фелана посредством компьютерного моделирования пены и показали, что она более эффективна, опровергнув гипотезу Кельвина. [1]

С момента открытия структуры Вейра-Фелана были найдены и другие контрпримеры гипотезе Кельвина, но структура Вейра-Фелана по-прежнему имеет наименьшую известную площадь поверхности на ячейку из этих контрпримеров. [5] [6] [7] Хотя численные эксперименты показывают, что структура Вейра-Фелана оптимальна, это остается недоказанным. [8] В общем, было очень сложно доказать оптимальность структур, включающих минимальные поверхности . Минимальность сферы как поверхности, охватывающей один объем, не была доказана до XIX века, а следующая простейшая подобная проблема, гипотеза о двойном пузыре , заключающем в себе два объема, оставалась открытой более 100 лет, пока не была доказана в 2002 году. [9] ]

Описание

Структура Вейра-Фелана отличается от структуры Кельвина тем, что в ней используются два типа ячеек, хотя они имеют одинаковый объем. Подобно ячейкам структуры Кельвина, эти ячейки комбинаторно эквивалентны выпуклым многогранникам . Один из них — пиритоэдр , неправильный додекаэдр с пятиугольными гранями, обладающий тетраэдрической симметрией ( TH ) . Второй представляет собой форму усеченного шестиугольного трапецоэдра , разновидность тетракаидекаэдра с двумя шестиугольными и двенадцатью пятиугольными гранями, в данном случае обладающими только двумя зеркальными плоскостями и роторно-отражательной симметрией. Как и шестиугольники в структуре Кельвина, пятиугольники в обоих типах ячеек слегка изогнуты. Площадь поверхности структуры Вейра-Фелана на 0,3% меньше, чем у структуры Кельвина. [1]

Tetrastix , моделирующий расположенные лицом к лицу цепочки ячеек тетракаидекаэдра в структуре Вейра – Фелана.

Ячейки тетракаидекаэдра, соединенные в обращенные друг к другу цепочки ячеек вдоль своих шестиугольных граней, образуют цепочки в трех перпендикулярных направлениях. Комбинаторно эквивалентная структура структуре Вейра-Фелана может быть создана как мозаика пространства единичными кубами, выстроенными лицом к лицу в бесконечные квадратные призмы таким же образом, чтобы сформировать структуру взаимосвязанных призм, называемую тетрастикс . Эти призмы окружают кубические пустоты, составляющие четверть ячеек кубической мозаики; оставшиеся три четверти ячеек заполняют призмы, смещенные на половину единицы от целочисленной сетки, выровненной по стенкам призмы. Аналогично, в самой структуре Вейра-Фелана, которая имеет ту же симметрию, что и структура тетрастикса, 1/4 ячеек представляют собой додекаэдры, а 3/4 - тетракаидекаэдры. [10]

Многогранные соты, связанные со структурой Вейра-Фелана (полученной путем сплющивания граней и выпрямления краев), также широко называются структурой Вейра-Фелана. Она была известна задолго до открытия структуры Вейра-Фелана, но ее применение к проблеме Кельвина не было учтено. [11]

Приложения

В физических системах

Крупный план формы, используемой для выращивания упорядоченных жидких пен.

Эксперименты показали, что при благоприятных граничных условиях пузырьки равного объема самопроизвольно самоорганизуются в структуру Вейра – Фелана. [12] [13]

Соответствующие многогранные соты встречаются в двух связанных геометриях кристаллической структуры в химии . Там, где компоненты кристалла лежат в центрах многогранников, он образует одну из фаз Франка-Каспера , фазу А15 . [14]

Когда компоненты кристалла лежат в углах многогранников, это известно как « клатратная структура типа I». Газогидраты , образующиеся при низких температурах метаном, пропаном и углекислым газом, имеют структуру, в которой молекулы воды лежат в узлах структуры Вейра-Фелана и связаны между собой водородными связями , а более крупные молекулы газа заперты в полиэдрических клетках. [11] Некоторые гидриды щелочных металлов , силициды и германиды также образуют эту структуру с кремнием или германием в узлах и щелочными металлами в клетках. [1] [15] [16]

В архитектуре

Пекинский национальный центр водных видов спорта

Структура Вейра-Фелана послужила источником вдохновения для дизайна Тристрама Карфрэ Пекинского национального центра водных видов спорта «Водный куб» для летних Олимпийских игр 2008 года . [17]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ abcde Weaire, Д .; Фелан, Р. (1994), «Контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Phil. Маг. Летт. , 69 (2): 107–110, Бибкод : 1994PMagL..69..107W, doi : 10.1080/09500839408241577.
  2. ^ Хейлз, TC (2001), «Гипотеза о сотах», Дискретная и вычислительная геометрия , 25 (1): 1–22, doi : 10.1007/s004540010071 , hdl : 2027.42/42423 , MR  1797293
  3. ^ ab Лорд Кельвин (сэр Уильям Томсон) (1887), «О разделении пространства с минимальной разделительной площадью» (PDF) , Philosophical Magazine , 24 (151): 503, doi : 10.1080/14786448708628135, заархивировано из оригинала (PDF) ) 26 ноября 2021 г. , получено 15 июня 2012 г..
  4. ^ Weaire & Phelan (1994) пишут, что это «скорее неявно, чем прямо указано в оригинальных статьях Кельвина»
  5. ^ Салливан, Джон М. (1999), «Геометрия пузырьков и пен», Пены и эмульсии (Cargèse, 1997) , Серия E Институтов передовых научных исследований НАТО: Прикладные науки, том. 354, Клювер, стр. 379–402, MR  1688327
  6. ^ Габбриелли, Руджеро (1 августа 2009 г.), «Новый контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Philosophical Magazine Letters , 89 (8): 483–491, Бибкод : 2009PMagL..89..483G, doi : 10.1080 /09500830903022651, ISSN  0950-0839, S2CID  137653272
  7. ↑ Фрайбергер, Марианна (24 сентября 2009 г.), «Пузырь Кельвина снова лопнул», Plus Magazine , Кембриджский университет , получено 4 июля 2017 г.
  8. ^ Уде, Эдуард (2011), «Аппроксимация перегородок наименьшего периметра с помощью Γ-сходимости: вокруг гипотезы Кельвина», Experimental Mathematics , 20 (3): 260–270, doi : 10.1080/10586458.2011.565233, MR  2836251, S2CID  29 45749
  9. ^ Морган, Фрэнк (2009), «Глава 14. Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Геометрическая теория меры: Руководство для начинающих (4-е изд.), Academic Press.
  10. ^ Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), «Понимание ирландских пузырей», Симметрии вещей , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 351, ISBN 978-1-56881-220-5, МР  2410150
  11. ^ ab Полинг, Лайнус (1960), Природа химической связи (3-е изд.), Cornell University Press, стр. 471
  12. ^ Габбриелли, Р.; Мигер, Эй Джей; Вейре, Д.; Бракке, Калифорния; Хатцлер, С. (2012), «Экспериментальная реализация структуры Вейра-Фелана в монодисперсной жидкой пене» (PDF) , Phil. Маг. Летт. , 92 (1): 1–6, Bibcode : 2012PMagL..92....1G, doi : 10.1080/09500839.2011.645898, S2CID  25427974.
  13. ^ Болл, Филип (2011), «Ученые создают «идеальную» пену: теоретическая низкоэнергетическая пена, созданная по-настоящему», Nature , doi : 10.1038/nature.2011.9504, S2CID  136626668.
  14. ^ Фрэнк, ФК; Каспер, Дж.С. (1958), «Структуры сложных сплавов, рассматриваемые как упаковки сфер. I. Определения и основные принципы» (PDF) , Acta Crystallogr. , 11 (3): 184–190, doi : 10.1107/s0365110x58000487. Франк, ФК; Каспер, Дж. С. (1959), «Сложные структуры сплава, рассматриваемые как сферические упаковки. II. Анализ и классификация типичных структур», Acta Crystallogr. , 12 (7): 483–499, doi : 10.1107/s0365110x59001499.
  15. ^ Каспер, Дж. С.; Хагенмюллер, П.; Паучард, М.; Крос, К. (декабрь 1965 г.), «Клатратная структура кремния Na 8 Si 46 и Na x Si 136 (x <11)», Science , 150 (3704): 1713–1714, Бибкод : 1965Sci...150.1713K, doi : 10.1126/science.150.3704.1713, PMID  17768869, S2CID  21291705
  16. ^ Крос, Кристиан; Пушар, Мишель; Хагенмюллер, Пол (декабрь 1970 г.), «Sur une nouvelle famille de clathrates minéraux изотипы гидратов газа и жидкостей, интерпретация полученных результатов», Journal of Solid State Chemistry , 2 (4): 570–581, Bibcode : 1970JSSCh. ..2..570C, doi :10.1016/0022-4596(70)90053-8
  17. ↑ Фонтан, Генри (5 августа 2008 г.), «Проблема пузырей в олимпийском дизайне», New York Times

Внешние ссылки