Плезиоэдр

Тип заполняющего пространство многогранника

В геометрии плезиоэдр — это особый вид заполняющего пространство многогранника , определяемый как ячейка Вороного симметричного множества Делоне . Трехмерное евклидово пространство может быть полностью заполнено копиями любой из этих фигур без перекрытия. Полученные соты будут иметь симметрию, которая переводит любую копию плезиоэдра в любую другую копию.

К плезиоэдрам относятся такие известные формы, как куб , шестиугольная призма , ромбдодекаэдр и усеченный октаэдр . Максимальное количество граней, которое может иметь плезиоэдр, — 38.

Определение

17-гранный плезиоэдр и его соты , диаграмма Вороного графа Лавеса

Множество точек в евклидовом пространстве является множеством Делоне , если существует число такое, что каждые две точки находятся по крайней мере на расстоянии друг от друга и такое, что каждая точка пространства находится на расстоянии по крайней мере одной точки в . Так заполняет пространство, но его точки никогда не приближаются слишком близко друг к другу. Чтобы это было правдой, оно должно быть бесконечным. Кроме того, набор симметричен (в том смысле, который необходим для определения плезиоэдра), если для каждых двух точек и существует жесткое движение пространства, которое принимает до и до . То есть симметрии действуют транзитивно на . ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/\varepsilon }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Диаграмма Вороного любого набора точек разбивает пространство на области, называемые ячейками Вороного, которые находятся ближе к одной данной точке, чем к любой другой. Когда множество Делоне, ячейка Вороного каждой точки представляет собой выпуклый многогранник . Грани этого многогранника лежат на плоскостях, перпендикулярно делящих пополам отрезки от других близлежащих точек . ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$

Когда симметричен и является Делоне, все ячейки Вороного должны быть конгруэнтны друг другу, поскольку симметрии также должны быть симметриями диаграммы Вороного. В этом случае диаграмма Вороного образует соты , в которых есть только одна прототильная форма — форма этих ячеек Вороного. Такая форма называется плезиоэдром. Созданная таким образом мозаика является изоэдральной , что означает, что она не только имеет один прототайл («моноэдральный»), но также и то, что любая копия этой плитки может быть преобразована в любую другую копию за счет симметрии мозаики. ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Как и в случае любого многогранника, заполняющего пространство, инвариант Дена плезиоэдра обязательно равен нулю. ^[3]

Примеры

Плезиоэдры включают пять параллелоэдров . Это многогранники, которые могут замостить пространство таким образом, что каждая плитка будет симметрична любой другой плитке за счет трансляционной симметрии, без вращения. Эквивалентно, это ячейки Вороного решеток , поскольку это трансляционно-симметричные множества Делоне. Плезиоэдры — это частный случай стереоэдров , прототипы изоэдральных мозаик в более общем плане. ^[1] По этой причине (а также потому, что диаграммы Вороного также известны как мозаики Дирихле) их также называют «стереоэдрами Дирихле» ^[4]

Существует лишь конечное число комбинаторных типов плезиоэдров. Известные отдельные плезиоэдры включают:

• Пять параллелоэдров: куб (или в более общем смысле параллелепипед ), шестиугольная призма , ромбдодекаэдр , удлиненный додекаэдр и усеченный октаэдр . ^[5]
• Треугольная призма , прототип треугольных призматических сот . ^[6] В более общем смысле, каждый из 11 типов мозаики Лавеса плоскости конгруэнтными выпуклыми многоугольниками (и каждый из подтипов этих мозаик с разными группами симметрии) может быть реализован как ячейки Вороного симметричного множества Делоне на плоскости. . ^[7] Отсюда следует, что призмы над каждой из этих фигур представляют собой плезиоэдры. Помимо треугольных призм, к ним относятся призмы над некоторыми четырехугольниками, пятиугольниками и шестиугольниками.
• Гиробифастигиум представляет собой стереоэдр, но не плезиоэдр, поскольку точки в центрах ячеек его лицевой мозаики (где они вынуждены располагаться в силу симметрии) имеют ячейки Вороного разной формы . Однако уплощенная версия гиробифастигия с гранями, состоящими из равнобедренных прямоугольных треугольников и серебряных прямоугольников , представляет собой плезиоэдр.
• Триакис усеченный тетраэдр , прототил триакиса усеченной тетраэдрической соты и плезиоэдр, порожденный алмазной решеткой ^[1]
• Трапецоромбический додекаэдр , прототип трапезо-ромбических додекаэдрических сот и плезиоэдр, порожденный гексагональной плотной упаковкой.
• 17-сторонние ячейки Вороного графа Лавеса ^[8]

Известны многие другие плезиоэдры. Два разных с наибольшим известным числом граней, 38, были обнаружены кристаллографом Питером Энгелем. ^{[1] [9]} В течение многих лет максимальное количество граней плезиоэдра было открытой проблемой , ^{[10] [4]} но анализ возможных симметрий трехмерного пространства показал, что это число не превышает 38. ^{[ 11]}

Все ячейки Вороного, состоящие из точек, равномерно распределенных по спирали , заполняющей пространство, конгруэнтны друг другу, и их можно сделать так, чтобы они имели сколь угодно большое количество граней. ^[12] Однако точки на спирали не являются множеством Делоне, а их ячейки Вороного не являются ограниченными многогранниками.

Современный обзор дает Шмитт. ^[11]

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1980), «Плитки с конгруэнтными плитками», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 3 (3): 951–973, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 , MR  0585178.
2. Ауренхаммер, Франц (сентябрь 1991 г.), «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных», ACM Computing Surveys , 23 (3): 345–405, doi : 10.1145/116873.116880. См. особенно раздел 1.2.1 «Регулярно размещаемые сайты», стр. 354–355.
3. Лагариас, JC ; Моьюс, Д. (1995), «Заполняющие многогранники и ножничное конгруэнтность», Дискретная и вычислительная геометрия , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR  1318797 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
4. Сабарьего, Пилар; Сантос, Франциско (2011), «О количестве граней трехмерных стереоэдров Дирихле IV: четверти кубических групп», Beiträge zur Algebra und Geometry , 52 (2): 237–263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007/s13366 -011-0010-5, МР  2842627.
5. Эрдал, Р.М. (1999), «Зонотопы, кубики и гипотеза Вороного о параллелоэдрах», Европейский журнал комбинаторики , 20 (6): 527–549, doi : 10.1006/eujc.1999.0294 , MR  1703597. Вороной предположил, что все разбиения пространств более высоких размерностей сдвигами одного выпуклого многогранника комбинаторно эквивалентны разбиениям Вороного, и Эрдал доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного для размерностей не более четырех была доказана уже Делоне. О классификации трехмерных параллелоэдров на эти пять типов см. Grünbaum & Shephard (1980).
6. Пью, Энтони (1976), «Многогранники с плотной упаковкой», Многогранники: визуальный подход , University of California Press, Беркли, Калифорния-Лондон, стр. 48–50, MR  0451161.
7. Делоне, Б.Н .; Долбилин, Н.П.; Штогрин, М. И. (1978), "Комбинаторная и метрическая теория планигонов", Труды Математического института имени В. А. Стеклова , 148 : 109–140, 275, МР  0558946.
8. Шон, Алан Х. (июнь – июль 2008 г.), «На графике (10,3)-a» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (6): 663.
9. Энгель, Питер (1981), "Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometry, Kristallphysik, Kristallchemie , 154 (3–4): 199–215, Бибкод : 1981ZK....154..199E, doi :10.1524/зкри.1981.154.3-4.199, МР  0598811.
10. Шепард, GC (1985), «69.14 Заполнение пространства одинаковыми симметричными твердыми телами», The Mathematical Gazette , 69 (448): 117–120, doi : 10.2307/3616930, JSTOR  3616930.
11. Шмитт, Мориц (2016), О пространственных группах и стереоэдрах Дирихле-Вороного.
12. Эриксон, Джефф; Ким, Скотт (2003), «Произвольно большие соседние семейства конгруэнтных симметричных выпуклых трехмерных многогранников», Дискретная геометрия , Monogr. Учебники Pure Appl. Матем., вып. 253, Деккер, Нью-Йорк, стр. 267–278, arXiv : math/0106095 , Bibcode : 2001math......6095E, MR  2034721.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Многогранник, заполняющий пространство», MathWorld