Полигон

Плоская фигура, ограниченная отрезками линий

Некоторые многоугольники разных типов: открытые (за исключением границы), только границы (исключая внутреннюю часть), закрытые (включая как границу, так и внутреннюю часть) и самопересекающиеся.

В геометрии многоугольник ( / ˈ p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) — плоская фигура , составленная из отрезков прямой , соединенных в замкнутую многоугольную цепь .

Отрезки замкнутой многоугольной цепи называются ее ребрами или сторонами . Точки пересечения двух ребер являются вершинами или углами многоугольника . n - угольник — это многоугольник с n сторонами; например, треугольник - это 3-угольник.

Простой многоугольник — это тот, который не пересекает сам себя. Точнее, единственными разрешенными пересечениями сегментов линий, составляющих многоугольник, являются общие конечные точки последовательных сегментов многоугольной цепи. Простой многоугольник — это граница области плоскости, которая называется сплошным многоугольником . Внутренняя часть сплошного многоугольника — это его тело , также известное как многоугольная область или многоугольная область . В контекстах, где речь идет только о простых и сплошных многоугольниках, многоугольник может относиться только к простому многоугольнику или сплошному многоугольнику.

Многоугольная цепочка может пересекать сама себя, создавая звездчатые многоугольники и другие самопересекающиеся многоугольники . Некоторые источники также считают замкнутые ломаные цепи в евклидовом пространстве разновидностью многоугольника ( косого многоугольника ), даже если цепь не лежит в одной плоскости.

Многоугольник — это двумерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений. Существует еще много обобщений многоугольников, определенных для разных целей.

Этимология

Слово многоугольник происходит от греческого прилагательного πολύς ( polús ) «много», «много» и γωνία ( gonía ) «угол» или «угол». Было высказано предположение, что γόνυ ( gónu ) «колено» может быть источником слова gon . ^[1]

Классификация

Некоторые разные типы многоугольников

Количество сторон

Многоугольники в первую очередь классифицируются по количеству сторон.

Выпуклость и пересечение

Многоугольники могут характеризоваться своей выпуклостью или типом невыпуклости:

• Выпуклый : любая линия, проведенная через многоугольник (и не касающаяся края или угла), пересекает его границу ровно дважды. Как следствие, все его внутренние углы меньше 180°. Эквивалентно, любой отрезок линии с конечными точками на границе проходит только через внутренние точки между его конечными точками. Это условие справедливо для многоугольников любой геометрии, а не только евклидовой. ^[2]
• Невыпуклая: может быть найдена линия, которая пересекает свою границу более двух раз. Эквивалентно, существует отрезок линии между двумя граничными точками, выходящий за пределы многоугольника.
• Просто : граница многоугольника не пересекает сама себя. Все выпуклые многоугольники простые.
• Вогнутый : Невыпуклый и простой. Существует по крайней мере один внутренний угол больше 180°.
• В форме звезды : весь интерьер виден хотя бы с одной точки, не пересекая края. Многоугольник должен быть простым и может быть выпуклым или вогнутым. Все выпуклые многоугольники имеют звездообразную форму.
• Самопересекающийся : граница многоугольника пересекает сама себя. Термин « комплекс» иногда используется в отличие от термина «простой» , но такое использование может привести к путанице с идеей сложного многоугольника , который существует на комплексной плоскости Гильберта , состоящей из двух комплексных измерений.
• Звездчатый многоугольник : многоугольник, который регулярно самопересекается. Многоугольник не может быть одновременно звездой и звездообразным.

Равенство и симметрия

• Равноугольный : все угловые углы равны.
• Равносторонний : все ребра имеют одинаковую длину.
• Правильные : как равносторонние, так и равноугольные.
• Цикличность : все углы лежат на одной окружности , называемой описанной окружностью .
• Касательная : все стороны касаются вписанной окружности .
• Изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат на одной орбите симметрии . Многоугольник также является циклическим и равноугольным.
• Изотоксальный или транзитивный по ребру : все стороны лежат на одной орбите симметрии . Многоугольник также бывает равносторонним и касательным.

Свойство регулярности можно определить и другими способами: многоугольник является правильным тогда и только тогда, когда он одновременно изогональный и изотоксальный или, что то же самое, одновременно циклический и равносторонний. Невыпуклый правильный многоугольник называется правильным звездчатым многоугольником .

Разнообразный

• Прямолинейный : стороны многоугольника встречаются под прямым углом, т.е. все его внутренние углы составляют 90 или 270 градусов.
• Монотонный относительно данной прямой L : каждая прямая, ортогональная L, пересекает многоугольник не более двух раз.

Свойства и формулы

Разбиение n -угольника на n − 2 треугольника

Повсюду предполагается евклидова геометрия .

Углы

Любой многоугольник имеет столько же углов, сколько и сторон. Каждый угол имеет несколько углов. Двумя наиболее важными из них являются:

• Внутренний угол . Сумма внутренних углов простого n -угольника равна ( n − 2) × π радиан или ( n − 2) × 180 градусов . Это связано с тем, что любой простой n -угольник (имеющий n сторон) можно рассматривать как состоящий из ( n − 2) треугольников, сумма углов каждого из которых равна π радиан или 180 градусов. Мерой любого внутреннего угла выпуклого правильного n -угольника являютсярадианы илиградусы. Внутренние углы правильных звездчатых многоугольников были впервые изучены Пуансо в той же статье, в которой он описывает четыре правильных звездчатых многогранника : для правильного-угольника ( p -угольника с центральной плотностью q ) каждый внутренний угол равенрадианам илиградусам. . ^[3] ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$ ${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$
• Внешний угол . Внешний угол является дополнительным углом к ​​внутреннему углу. При обходе выпуклого n -угольника угол, «повернутый» в углу, является внешним или внешним углом. Обход всего многоугольника занимает один полный оборот , поэтому сумма внешних углов должна составлять 360°. Этот аргумент можно обобщить на простые вогнутые многоугольники, если из общего числа поворотов вычесть внешние углы, поворачивающиеся в противоположном направлении.при обходе n -угольника сумма внешних углов (общая величина вращения в вершинах) может быть любым целым числом, кратным d 360°, например 720° для пентаграммы и 0° для угловой «восьмерки». или антипараллелограмм , где d — плотность или число поворотов многоугольника.

Область

Координаты невыпуклого пятиугольника

В этом разделе вершины рассматриваемого многоугольника считаются расположенными по порядку. Для удобства в некоторых формулах также будет использоваться обозначение ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) . ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

Простые многоугольники

Если многоугольник несамопересекающийся (то есть простой ), область со знаком

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}$

или, используя определители

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

где квадрат расстояния между и ^{[4] [5]} ${\displaystyle Q_{i,j}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$

Подписанная область зависит от порядка вершин и ориентации плоскости . Обычно положительная ориентация определяется вращением (против часовой стрелки), которое сопоставляет положительную ось x с положительной осью y . Если вершины упорядочены против часовой стрелки (то есть в соответствии с положительной ориентацией), область со знаком положительна; в противном случае оно отрицательно. В любом случае формула площади верна по абсолютному значению . Это обычно называют формулой шнурка или формулой геодезиста . ^[6]

Площадь A простого многоугольника также можно вычислить , если известны длины сторон a ₁ , a ₂ , ..., a _n и внешние углы θ ₁ , θ ₂ , ..., θ _n , от:

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

Формула была описана Лопшицем в 1963 г. ^[7]

Если многоугольник можно нарисовать на сетке с равными интервалами, так что все его вершины являются точками сетки, теорема Пика дает простую формулу для площади многоугольника, основанную на количестве внутренних и граничных точек сетки: первое число плюс половина второго. число, минус 1.

В каждом многоугольнике с периметром p и площадью A выполняется изопериметрическое неравенство . ^[8] ${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

Теорема Бояи–Гервина утверждает , что для любых двух простых многоугольников одинаковой площади первый можно разрезать на многоугольные части, которые можно снова собрать, чтобы сформировать второй многоугольник.

Длины сторон многоугольника, как правило, не определяют его площадь. ^[9] Однако, если многоугольник простой и циклический, то стороны определяют площадь. ^[10] Из всех n -угольников с заданными длинами сторон тот, у которого наибольшая площадь, является циклическим. Из всех n -угольников с данным периметром правильный (и, следовательно, циклический) имеет наибольшую площадь. ^[11]

Правильные многоугольники

Многие специализированные формулы применимы к площадям правильных многоугольников .

Площадь правильного многоугольника выражается через радиус r вписанной в него окружности и периметр p по формуле

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

Этот радиус также называют апофемой и часто обозначается как .

Площадь правильного n -угольника через радиус R описанной вокруг него окружности можно выразить тригонометрически как: ^{[12] [13]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

Площадь правильного n -угольника, вписанного в круг единичного радиуса со стороной s и внутренним углом, также можно выразить тригонометрически как: ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$

Самопересекающийся

Площадь самопересекающегося многоугольника можно определить двумя разными способами, что дает разные ответы:

• Используя формулы для простых многоугольников, мы допускаем, что площадь отдельных областей внутри многоугольника может быть умножена на коэффициент, который мы называем плотностью региона . Например, центральный выпуклый пятиугольник в центре пентаграммы имеет плотность 2. Две треугольные области перекрестного четырехугольника (как на рисунке 8) имеют плотности с противоположными знаками, и сложение их площадей может дать общую площадь, равную нулю. на всю фигуру. ^[14]
• Рассматривая замкнутые области как наборы точек, мы можем найти площадь замкнутого набора точек. Это соответствует площади плоскости, покрытой многоугольником, или площади одного или нескольких простых многоугольников, имеющих тот же контур, что и самопересекающийся. В случае перекрестного четырехугольника он рассматривается как два простых треугольника. ^{[ нужна цитата ]}

центроид

Используя то же соглашение о координатах вершин, что и в предыдущем разделе, координаты центроида сплошного простого многоугольника будут следующими:

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

В этих формулах необходимо использовать знаковое значение площади . ${\displaystyle A}$

Для треугольников ( n = 3 ) центроиды вершин и объемной формы одинаковы, но, вообще говоря, это неверно для n > 3 . Центр тяжести множества вершин многоугольника с n вершинами имеет координаты

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

Обобщения

Идея многоугольника обобщалась по-разному. Некоторые из наиболее важных включают в себя:

• Сферический многоугольник — это схема дуг больших кругов (сторон) и вершин на поверхности сферы. Это позволяет создать двуугольник , многоугольник, имеющий только две стороны и два угла, что невозможно в плоской плоскости. Сферические многоугольники играют важную роль в картографии (составлении карт) и в построении Витхоффом однородных многогранников .
• Перекошенный многоугольник не лежит в плоской плоскости, а зигзагообразен в трех (или более) измерениях. Хорошо известными примерами являются многоугольники Петри правильных многогранников.
• Апейрогон — это бесконечная последовательность сторон и углов, которая не замкнута, но не имеет концов, поскольку бесконечно простирается в обе стороны .
• Косой апейрогон — это бесконечная последовательность сторон и углов, не лежащих в одной плоскости.
• Многоугольник с отверстиями — это плоскосвязный или многосвязный плоский многоугольник с одной внешней границей и одной или несколькими внутренними границами (дырками).
• Комплексный многоугольник — это конфигурация, аналогичная обычному многоугольнику, который существует в комплексной плоскости двух действительных и двух мнимых измерений.
• Абстрактный многоугольник — это алгебраический частично упорядоченный набор , представляющий различные элементы (стороны, вершины и т. д.) и их связность. Говорят, что реальный геометрический многоугольник является реализацией соответствующего абстрактного многоугольника. В зависимости от отображения могут быть реализованы все описанные здесь обобщения.
• Многогранник — это трехмерное тело, ограниченное плоскими многоугольными гранями, аналогичное многоугольнику в двух измерениях . Соответствующие фигуры в четырех и более измерениях называются многогранниками . ^[15] (В других соглашениях слова «многогранник» и «многогранник» используются в любом измерении, с той разницей, что многогранник обязательно ограничен. ^[16] ).

Именование

Слово «многоугольник» происходит от позднелатинского «polygōnum » (существительное), от греческого πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), существительного, использующего средний род от πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники называются (а иногда и классифицируются) в соответствии с числом сторон, сочетая числовой префикс греческого происхождения с суффиксом -gon , например пятиугольник , додекагон . Исключением являются треугольник , четырехугольник и девятиугольник .

Помимо декагонов (10-угольников) и додекагонов (12-угольников), математики обычно используют числовые обозначения, например 17-угольник и 257-угольник. ^[17]

Исключения существуют для подсчета сторон, которые легко выражаются в словесной форме (например, 20 и 30) или используются нематематиками. Некоторые специальные полигоны также имеют свои имена; например, правильный пятиугольник звезды также известен как пентаграмма .

Чтобы построить имя многоугольника с числом ребер более 20 и менее 100, объедините префиксы следующим образом. ^[21] Термин «кай» применяется к 13-угольникам и выше, использовался Кеплером и защищался Джоном Х. Конвеем для ясности связанных чисел префиксов в наименованиях квазиправильных многогранников , ^[25] хотя не все источники используют его. .

История

Историческое изображение многоугольников (1699 г.)

Многоугольники известны с давних времен. Правильные многоугольники были известны древним грекам с пентаграммой , невыпуклым правильным многоугольником ( звездным многоугольником ), появившимся еще в VII веке до нашей эры на кратере Аристофана , найденном в Цере и ныне находящемся в Капитолийском музее . ^{[40] [41]}

Первое известное систематическое исследование невыпуклых многоугольников вообще было проведено Томасом Брэдуордином в 14 веке. ^[42]

В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил идею многоугольников на комплексную плоскость, где каждое реальное измерение сопровождается воображаемым , для создания сложных многоугольников . ^[43]

В природе

Дорога гигантов в Северной Ирландии .

Многоугольники появляются в горных породах, чаще всего в виде плоских граней кристаллов , где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого сделан кристалл.

Правильные шестиугольники могут возникать, когда при охлаждении лавы образуются области плотно упакованных базальтовых колонн , которые можно увидеть на Дороге Гигантов в Северной Ирландии или на Столбе Дьявола в Калифорнии .

В биологии поверхность восковых сот, изготовленных пчелами , представляет собой массив шестиугольников , а стороны и основание каждой ячейки также являются многоугольниками.

Компьютерная графика

В компьютерной графике многоугольник — это примитив , используемый при моделировании и рендеринге. Они определены в базе данных, содержащей массивы вершин (координаты геометрических вершин , а также другие атрибуты многоугольника, такие как цвет, затенение и текстура), информацию о связности и материалах. ^{[44] [45]}

Любая поверхность моделируется как мозаика, называемая полигональной сеткой . Если квадратная сетка имеет n + 1 точку (вершину) на каждой стороне, то в сетке имеется n квадратных квадратов или 2 n прямоугольных треугольника, поскольку в квадрате два треугольника. В каждом треугольнике имеется ( n + 1) ^2/2 ( n ² ) вершин. Если n велико, оно приближается к половине. Или каждая вершина внутри квадратной сетки соединяет четыре ребра (линии).

Система визуализации вызывает из базы данных структуру полигонов, необходимую для создания сцены. Это передается в активную память и, наконец, в систему отображения (экран, ТВ-мониторы и т. д.), чтобы можно было просмотреть сцену. В ходе этого процесса система визуализации визуализирует полигоны в правильной перспективе, готовые к передаче обработанных данных в систему отображения. Хотя полигоны двумерны, с помощью системного компьютера они помещаются в визуальную сцену в правильной трехмерной ориентации.

В компьютерной графике и вычислительной геометрии часто необходимо определить, лежит ли данная точка внутри простого многоугольника, заданного последовательностью отрезков прямой. Это называется точкой в ​​полигональном тесте. ^[46] ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$

Смотрите также

• Булевы операции над многоугольниками
• Полный график
• Конструируемый многоугольник
• Циклический многоугольник
• Геометрическая форма
• Голигон
• Список полигонов
• Полиформ
• Полигональный суп
• Триангуляция многоугольника
• Прецизионный многоугольник
• Спиролатеральный
• Синтетическая геометрия
• Укладка плитки
• Плитка-головоломка

Рекомендации

Библиография

• Коксетер, HSM ; Правильные многогранники , Метуэн и компания, 1948 г. (3-е издание, Дувр, 1973 г.).
• Кромвель, П.; Многогранники , CUP хбк (1997), пбк. (1999).
• Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретный и вычислительный. geom: Фестиваль Гудмана-Полака , изд. Аронов и др. Спрингер (2003), стр. 461–488. (pdf)

Примечания

1. Крейг, Джон (1849). Новый универсальный этимологический технологический и произносительный словарь английского языка. Оксфордский университет. п. 404.Выдержка из стр. 404
2. Магнус, Вильгельм (1974), Неевклидовы мозаики и их группы, Чистая и прикладная математика, том. 61, Академик Пресс, с. 37
3. Каппрафф, Джей (2002). За гранью меры: экскурсия по природе, мифам и числам. Всемирная научная. п. 258. ИСБН 978-981-02-4702-7.
4. Б.Сз. Надь, Л. Редей: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Опубл. Математика. Дебрецен 1, 42–50 (1949)
5. Бурк, Пол (июль 1988 г.). «Вычисление площади и центроида многоугольника» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 сентября 2012 года . Проверено 6 февраля 2013 г.
6. Барт Брейден (1986). «Формула площади геодезиста» (PDF) . Математический журнал колледжа . 17 (4): 326–337. дои : 10.2307/2686282. JSTOR  2686282. Архивировано из оригинала (PDF) 7 ноября 2012 г.
7. А. М. Лопшиц (1963). Вычисление площадей ориентированных фигур . переводчики: Дж. Массальски и К. Миллс-младший. Округ Колумбия. Хит и компания: Бостон, Массачусетс.
8. «Дергиадес, Николаос, «Элементарное доказательство изопериметрического неравенства», Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130» (PDF) .
9. Роббинс, «Многоугольники, вписанные в круг», American Mathematical Monthly 102, июнь – июль 1995 г.
10. Пак, Игорь (2005). «Область циклических многоугольников: недавний прогресс в гипотезах Роббинса». Достижения прикладной математики . 34 (4): 690–696. arXiv : math/0408104 . дои : 10.1016/j.aam.2004.08.006. MR  2128993. S2CID  6756387.
11. Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
12. Площадь правильного многоугольника - вывод из Math Open Reference.
13. Правильный многоугольник с бесконечным числом сторон — это круг: . ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=\pi \cdot R^{2}}$
14. Де Вильерс, Майкл (январь 2015 г.). «Уничтожение геометрического «монстра»: нахождение площади скрещенного четырехугольника» (PDF) . Изучение и преподавание математики . 2015 (18): 23–28.
15. Коксетер (3-е изд. 1973 г.)
16. Гюнтер Циглер (1995). «Лекции о многогранниках». Тексты для выпускников Springer по математике , ISBN 978-0-387-94365-7 . п. 4. 
17. Математический мир
18. Грюнбаум, Б.; «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники», Дискретная и вычислительная геометрия: Фестиваль Гудмана-Поллака , Эд. Аронов и др., Springer (2003), с. 464.
19. Хасс, Джоэл; Морган, Фрэнк (1996), «Геодезические сети на 2-сфере», Proceedings of the American Mathematical Society , 124 (12): 3843–3850, doi : 10.1090/S0002-9939-96-03492-2 , JSTOR  2161556, МР  1343696.
20. Коксетер, HSM; Правильные многогранники , Dover Edition (1973), с. 4.
21. Саломон, Дэвид (2011). Руководство по компьютерной графике. Springer Science & Business Media. стр. 88–90. ISBN 978-0-85729-886-7.
22. Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. Математические труды Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409–424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
23. Артур Барагар (2002) Конструкции с использованием циркуля и линейки с двумя надрезами, The American Mathematical Monthly, 109: 2, 151-164, doi : 10.1080/00029890.2002.11919848
24. Новые элементы математики: алгебра и геометрия Чарльза Сандерса Пирса (1976), стр.298
25. «Именование многоугольников и многогранников». Спросите доктора Математика . Математический форум – Университет Дрекселя . Проверено 3 мая 2015 г.
26. Сепкоски, Дэвид (2005). «Номинализм и конструктивизм в математической философии семнадцатого века». История Математики . 32 : 33–59. дои : 10.1016/j.hm.2003.09.002 .
27. Готфрид Мартин (1955), Метафизика Канта и теория науки , Manchester University Press, стр. 22.
28. Дэвид Хьюм, Философские произведения Дэвида Хьюма , Том 1, Black and Tait, 1826, стр. 101.
29. Гибилиско, Стэн (2003). Геометрия демистифицирована (Online-Ausg. Ed.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-141650-4.
30. Дарлинг, Дэвид Дж., Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, 2004. с. 249. ISBN 0-471-27047-4 . 
31. Дугопольски, Марк, Студенческая алгебра и тригонометрия , 2-е изд., Аддисон-Уэсли, 1999. с. 505. ISBN 0-201-34712-1 . 
32. Маккормик, Джон Фрэнсис, Схоластическая метафизика , издательство Университета Лойолы, 1928, стр. 18.
33. Меррилл, Джон Кэлхун и Оделл, С. Джек, Философия и журналистика , Лонгман, 1983, стр. 47, ISBN 0-582-28157-1 . 
34. Хосперс, Джон, Введение в философский анализ , 4-е изд., Routledge, 1997, стр. 56, ISBN 0-415-15792-7 . 
35. Мандик, Пит, Ключевые термины философии разума , Международная издательская группа Continuum, 2010, стр. 26, ISBN 1-84706-349-7 . 
36. Кенни, Энтони, Расцвет современной философии , Oxford University Press, 2006, стр. 124, ISBN 0-19-875277-6 . 
37. Бальмес, Джеймс, Фундаментальная философия, Том II , Sadlier and Co., Бостон, 1856, стр. 27.
38. Поттер, Винсент Г., О понимании понимания: философия познания , 2-е изд., Fordham University Press, 1993, стр. 86, ISBN 0-8232-1486-9 . 
39. Рассел, Бертран, История западной философии , переиздание, Routledge, 2004, стр. 202, ISBN 0-415-32505-6 . 
40. Хит, сэр Томас Литтл (1981), История греческой математики, Том 1, Courier Dover Publications, стр. 162, ИСБН 978-0-486-24073-2. Перепечатка оригинальной публикации 1921 года с исправленными опечатками. Хит использует латинизированное написание «Аристофон» для имени художника по вазам.
41. Кратер с ослеплением Полифема и морским сражением. Архивировано 12 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Залы Кастеллани, Капитолийский музей, доступ осуществлен 11 ноября 2013 г. Рядом с центром изображения видны две пентаграммы.
42. Коксетер, HSM; Правильные многогранники , 3-е изд., Дувр (pbk), 1973, стр. 114
43. Шепард, GC; «Регулярные комплексные многогранники», Учеб. Лондонская математика. Соц. Серия 3, том 2, 1952, стр. 82–97.
44. "Спецификация вершин OpenGL" .
45. «Рендеринг Direct3D на основе вершин и треугольников» .
46. Ширра, Стефан (2008). «Насколько надежны практические стратегии «точка в многоугольнике»?». В Гальперине, Дэн; Мельхорн, Курт (ред.). Алгоритмы – ESA 2008: 16-й Ежегодный Европейский симпозиум, Карлсруэ, Германия, 15-17 сентября 2008 г., Материалы . Конспекты лекций по информатике. Том. 5193. Спрингер. стр. 744–755. дои : 10.1007/978-3-540-87744-8_62.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольник». Математический мир .
• Что такое многогранники? с греческими цифровыми префиксами.
• Многоугольники, типы многоугольников и свойства многоугольников с интерактивной анимацией.
• Как рисовать на экране монохромные ортогональные многоугольники, Герберт Гларнер.
• comp.graphics.algorithms Часто задаваемые вопросы, решения математических задач по расчету 2D и 3D полигонов
• Сравнение различных алгоритмов для полигональных логических операций, сравнение возможностей, скорости и числовой устойчивости.
• Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула. Обеспечивает интерактивное исследование Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включив в нее скрещенные (сложные) многоугольники.