Пентаграмма

Пятиконечный звездный многоугольник

Пентаграмма

Пентаграмма (иногда известная как пентальфа, пятиугольник или звездный пятиугольник) — правильный пятиконечный звездчатый многоугольник , образованный из диагональных сегментов выпуклого (или простого , или несамопересекающегося) правильного пятиугольника . При рисовании круга вокруг пяти точек создается аналогичный символ , называемый пентаклем [ ^1] , который широко используется викканами и в язычестве или как знак жизни и связей. Слово «пентаграмма» относится только к пятиконечной звезде, а не к окружности пентакля.

Пентаграммы символически использовались в Древней Греции и Вавилонии . Христиане когда-то обычно использовали пентаграмму для обозначения пяти ран Иисуса . ^{[ нужна цитата ]}

Слово пентаграмма происходит от греческого слова πεντάγραμμον ( пентаграммон ), ^[2] от πέντε ( пенте ), «пять» + γραμμή ( грамме ), «линия». ^[3] Слово «пентаграмма» относится только к звезде, а слово « пентаграмма» относится к звезде внутри круга, хотя в использовании есть некоторые совпадения. ^[4] Слово пентальфа — это возрождение постклассического греческого названия формы в 17 веке. ^[5]

История

История ранних веков

Ранние пентаграммы были найдены на шумерской керамике из Ура ок. 3500 г. до н. э. , а пятиконечная звезда в разное время была символом Иштар или Мардука . ^{[6] [7]}

Пифагорейская «Пентаграмма Гугии» ^[8]

Правосторонняя переплетенная пентаграмма, популярная среди виккан и некоторых других неоязычников. Флаг Марокко часто имеет левостороннюю версию .

Символы пентаграммы, датированные примерно 5000 лет назад, были найдены в культуре Лянчжу в Китае . ^[9]

Пентаграмма была известна древним грекам , ее изображение на вазе, возможно, датируется VII веком до нашей эры. ^[10] Пифагорейство зародилось в VI веке до нашей эры и использовало пентаграмму как символ взаимного признания, благополучия, а также для признания добрых дел и благотворительности. ^[11]

Примерно с 300–150 гг. до н.э. символом Иерусалима была пентаграмма, отмеченная пятью еврейскими буквами ירשלם, обозначающими его название. ^[12]

Слово Пентемихос ( πεντέμυχος букв. «пять углов» или «пять углублений») ^[13] было названием космогонии Ферекида Сиросского . ^[14] Здесь «пять углов» — это места, где семена Хроноса помещаются в Землю, чтобы появился космос . ^{[15] [ нужны разъяснения ]}

Говорят, что в неоплатонизме пентаграмма использовалась как символ или знак признания пифагорейцами , которые называли пентаграмму ὑγιεία humieia «здоровьем» ^[16]

Западная символика

Средний возраст

Пентаграмма использовалась в древние времена как христианский символ пяти чувств [ ^17] или пяти ран Христа . Пентаграмма играет важную символическую роль в английской поэме XIV века « Сэр Гавейн и Зеленый рыцарь» , в которой символ украшает щит героя Гавейна . Неназванный поэт приписывает происхождение этого символа царю Соломону и объясняет, что каждая из пяти взаимосвязанных точек представляет собой добродетель, связанную с группой из пяти: Гавейн совершенен в своих пяти чувствах , а пять пальцев, верные Пяти ранам Христа, принимают мужество от пяти радостей , которые Мария получила от Иисуса, и иллюстрирует пять добродетелей рыцарства , ^[18] которые являются щедростью, дружбой, целомудрием, рыцарством и благочестием. ^[19]

Северная роза Амьенского собора.

Северная роза Амьенского собора (построенного в 13 веке) украшена мотивом пентаграммы. Некоторые источники интерпретируют необычную звезду, направленную вниз, как символ сошествия Святого Духа на людей.

Ренессанс

Генрих Корнелиус Агриппа и другие увековечили популярность пентаграммы как магического символа, приписывая пять неоплатонических элементов пяти точкам в типичной манере эпохи Возрождения.

Романтизм

К середине 19 века среди оккультистов сложилось дальнейшее различие относительно ориентации пентаграммы. Одной точкой вверх он изображал дух, управляющий четырьмя элементами материи, и по сути был «добром». Однако влиятельный, но противоречивый писатель Элифас Леви , известный своей верой в то, что магия — это настоящая наука, называл ее злом всякий раз, когда символ появлялся наоборот:

• «Перевернутая пентаграмма с двумя вершинами, выступающими вверх, является символом зла и привлекает зловещие силы, поскольку она опрокидывает правильный порядок вещей и демонстрирует торжество материи над духом. Это козел похоти, нападающий на небеса своими рогами, знак, ненавидимый посвященными». ^[20]
• «Пылающая звезда, которая, когда она перевернута, является иероргифическим [ sic ] знаком козла черной магии , чья голова может быть нарисована в звезде, два рога наверху, уши справа и слева, борода внизу. Это знак антагонизма и фатальности. Это козел похоти, атакующий небеса своими рогами». ^[21]
• «Давайте будем держать фигуру Пятиконечной звезды всегда вертикально, с самым верхним треугольником, указывающим на небо, поскольку это место мудрости, и если фигуру перевернуть, результатом будут извращения и зло». ^[22]

• 
  Человек, вписанный в пентаграмму, из книги Генриха Корнелиуса Агриппы De occulta philosophia libri tres . Пять знаков в вершинах пентаграммы являются астрологическими .
• Еще одна пентаграмма из книги Агриппы. На этом круге написаны буквы Пифагора.
• 
  Пентаграмма оккультиста и мага Элифаса Леви , которую он считал символом микрокосма , или человека .

Апотропное (защитное) использование в немецком фольклоре символа пентаграммы (называемого по-немецки Drudenfuss ) упоминается Гете в « Фаусте» (1808), где пентаграмма не позволяет Мефистофелю выйти из комнаты (но не мешает ему войти тем же способом). кстати, так как внешний угол диаграммы оказался несовершенным):

Мефистофель:

Я должен признаться, хотя мне мешают

Из-за мелочи, которая мне мешает,

Нога друида на пороге твоего дома –

Фауст:

Пентаграмма причиняет вам боль?

Тогда скажи мне, сын ада,

Если это так, то как вы получили

Вход? Неужели такие духи, как ты, обмануты?

Мефистофель:

Смотри внимательно! Оно не завершено:

Один ракурс, если внимательно присмотреться

Как видите, он остался немного открытым. ^[23]

По словам фольклориста XIX века Йона Арнасона, также защитным является использование в исландском фольклоре жестовой или вырезанной, а не нарисованной пентаграммы (по-исландски называемой smèrhnút ) : ^[24]

Масло, полученное из искусственной рвоты, называется искусственным маслом; это похоже на что-то другое; но если кто-нибудь сделает над ним крест, или вырежет на нем крест, или фигуру, называемую пахтовым узлом, ^* все это разлетится на мелкие кусочки и станет как крупица шлака, так что от него ничего не останется, кроме только частиц, или оно оседает, как пена. Поэтому кажется более благоразумным, если человеку предлагают съесть ужасное масло или в качестве платы ^[25] сделать на нем какую-либо отметку, потому что поддельное масло не выдерживает ни крестика, ни масляного узла.

* Масляный узел имеет такую ​​форму: 

Восточноазиатская символика

Пять фаз У Сина

У Син ( китайский :五行; пиньинь : У Син ) — это пять фаз или пять элементов в даосской китайской традиции. Они отличаются от формирующих древних японских или греческих элементов из-за их акцента на циклических трансформациях и изменениях. Пять фаз: Огонь (火huْ ), Земля (土tǔ ), Металл (金jīn ), Вода (水shuِ ) и Дерево (木mù ). Усин – это фундаментальная философия и доктрина традиционной китайской медицины и акупунктуры . ^[26]

Использование в современном оккультизме

Основанная на оккультизме эпохи Возрождения, пентаграмма нашла свое отражение в символике современных оккультистов. Его основное использование является продолжением древнего вавилонского использования пентаграммы в качестве апотропного амулета для защиты от злых сил. ^[27] Элифас Леви утверждал, что «Пентаграмма выражает господство разума над элементами, и именно этим знаком мы связываем демонов воздуха, духов огня, призраков воды и призраков земли». ^[28] В этом духе Герметический Орден Золотой Зари разработал использование пентаграммы в меньшем изгоняющем ритуале пентаграммы , который до сих пор используется теми, кто практикует магию типа Золотой Зари.

Алистер Кроули использовал пентаграмму в своей телемитской системе магии : неблагоприятная или перевернутая пентаграмма представляет собой нисхождение духа в материю, согласно интерпретации Лона Майло Дюкетта . ^[29] Кроули противоречил своим старым товарищам по Герметическому Ордену Золотой Зари , которые вслед за Леви считали такую ​​ориентацию символа злом и связывали ее с торжеством материи над духом.

Использование в новых религиозных движениях

Вера Бахаи

Айкал Баба, написанный его собственной рукой

Пятиконечная звезда является символом Веры Бахаи . ^{[30] [31]} В Вере Бахаи звезда известна как Хайкал ( по-арабски : «храм» ), и она была инициирована и основана Бабом . Баб и Бахаулла написали различные произведения в форме пентаграммы. ^{[32] [33]}

Церковь Иисуса Христа Святых последних дней

Предполагается , что Церковь Иисуса Христа Святых последних дней начала использовать в храмовой архитектуре как вертикальные, так и перевернутые пятиконечные звезды , начиная с храма в Наву, штат Иллинойс , посвященного 30 апреля 1846 года. ^[34] Другие храмы украшены пятиконечными звездами. звезды в обеих ориентациях включают храм в Солт-Лейк-Сити и храм в Логане, штат Юта . Эти обычаи происходят из символизма, найденного в 12-й главе Откровения : «И явилось на небе великое чудо: жена, облеченная в солнце, и луна под ногами ее, и на главе ее венец из двенадцати звезд». ^[35]

Викка

Из-за предполагаемой ассоциации с сатанизмом и оккультизмом многие школы США в конце 1990-х годов стремились запретить учащимся отображать пентаграмму на одежде или украшениях. ^[36] В государственных школах такие действия администраторов были признаны в 2000 году нарушением права учащихся на свободное исповедание религии, закрепленного Первой поправкой к Конституции . ^[37]

Пентаграмма в кружочке (называемая истцами пентаклем ) была добавлена ​​к списку из 38 утвержденных религиозных символов, которые будут размещены на надгробиях погибших военнослужащих на Арлингтонском национальном кладбище 24 апреля 2007 года. Решение было принято после десяти заявлений от семьи павших солдат, практиковавших Викку . Правительство выплатило семьям 225 000 долларов США для урегулирования предстоящих судебных исков. ^{[38] [39]}

Другое религиозное использование

Сатанизм

Перевернутая пентаграмма широко используется в сатанизме , иногда изображается с головой козла Бафомета , популяризированной Церковью Сатаны с 1968 года. Другие изображения головы сатанинского козла напоминают пентаграмму, лишенную четких очертаний. Символ Бафомета был адаптирован для логотипа Министерства Радости Сатаны с использованием клинописных символов в пяти точках пентаграммы, что отражает самое раннее использование этой формы в Шумере . Перевернутая пентаграмма также появляется на логотипе Сатанинского храма с альтернативным изображением головы Бафомета.

Религия Серер

Пятиконечная звезда является символом религии Серер и народа Серер в Западной Африке. На их языке оно называется Юнир и символизирует вселенную в мифе о творении Серера , а также представляет звезду Сириус . ^{[40] [41]}

иудаизм

Пентаграмма использовалась в иудаизме , по крайней мере, с 300 г. до н. э., когда она впервые была использована в качестве печати Иерусалима . Он используется для обозначения справедливости, милосердия и мудрости.

Другое современное использование

• Пентаграмма изображена на национальных флагах Марокко (принята в 1915 году) и Эфиопии (принята в 1996 году и вновь принята в 2009 году).

• 
  Флаг Марокко
• 
  Флаг Эфиопии

• Орден Восточной Звезды , организация (основанная в 1850 году), связанная с масонством , использует в качестве символа пентаграмму с пятью равнобедренными треугольниками , вершины которых окрашены в синий, желтый, белый, зеленый и красный цвета. В большинстве Великих Капитулов пентаграмма используется направленной вниз, но в некоторых она направлена ​​вверх. Офицеры Великого Капитула часто изображают пятиугольник вокруг звезды ^[42] (изображенная здесь эмблема принадлежит Ассоциации Принс-Холла).

• 
  Эмблема ордена Звезды Востока

• Пентаграмма изображена на флаге голландского города Хааксберген , а также на его гербе.

• 
  Флаг Хааксбергена

• Пентаграмма изображена на флаге японского города Нагасаки , а также на его гербе.

• 
  Флаг Нагасаки

Геометрия

Снежинки Коха , нарисованные с помощью MSWLogo (в Тартапелаго ^[43] )

Пентаграмма – это простейший правильный звездчатый многоугольник . Пентаграмма содержит десять точек (пять вершин звезды и пять вершин внутреннего пятиугольника) и пятнадцать сегментов линий. Он представлен символом Шлефли {5/2}. Подобно правильному пятиугольнику и правильному пятиугольнику с построенной внутри него пентаграммой, правильная пентаграмма имеет в качестве группы симметрии группу диэдра 10-го порядка.

Его можно рассматривать как сетку пятиугольной пирамиды , хотя и с равнобедренными треугольниками.

Строительство

Пентаграмму можно построить, соединив альтернативные вершины пятиугольника ; посмотреть подробности строительства . Его также можно построить в виде звездчатого пятиугольника, расширяя края пятиугольника до пересечения линий.

Золотое сечение

Правильная пентаграмма, окрашенная так, чтобы различать сегменты ее линий разной длины. Четыре длины находятся в золотом пропорции друг к другу.

Золотое сечение , φ = (1 + √ 5 )/2 ≈ 1,618, удовлетворяющее:

${\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\,}$

${\displaystyle \varphi =1/(2\sin(\pi /10))=1/(2\sin 18^{\circ })\,}$

${\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\,}$

играет важную роль в правильных пятиугольниках и пентаграммах. Каждое пересечение ребер разделяет ребра по золотому сечению: отношение длины ребра к более длинному сегменту равно φ , как и длина более длинного сегмента к более короткому. Кроме того, отношение длины более короткого сегмента к сегменту, ограниченному двумя пересекающимися краями (сторона пятиугольника в центре пентаграммы), равно φ . Как показано на четырехцветной иллюстрации:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {red} }{\mathrm {green} }}={\frac {\mathrm {green} }{\mathrm {blue} }}={\frac {\mathrm {blue} }{\mathrm {magenta} }}=\varphi .}$

Пентаграмма включает в себя десять равнобедренных треугольников : пять остроугольных и пять тупоугольных равнобедренных треугольников. Во всех них отношение большей стороны к короткой равно φ . Острые треугольники — это золотые треугольники . Тупой равнобедренный треугольник, выделенный цветными линиями на иллюстрации, представляет собой золотой гномон .

Тригонометрические значения

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}&=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}\\[5pt]\cos {\frac {\pi }{10}}&=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}\\[5pt]\tan {\frac {\pi }{10}}&=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}\\[5pt]\cot {\frac {\pi }{10}}&=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}&=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}\\[5pt]\cos {\frac {\pi }{5}}&=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}\\[5pt]\tan {\frac {\pi }{5}}&=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\[5pt]\cot {\frac {\pi }{5}}&=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}\end{aligned}}}$

В результате в равнобедренном треугольнике с одним или двумя углами по 36° длина большей из двух сторон в φ раз больше длины меньшей из двух, как в случае острого, так и в случае тупоугольного треугольника. .

Сферическая пентаграмма

Пентаграмму можно нарисовать в виде звездного многоугольника на сфере, состоящей из пяти дуг большого круга, все внутренние углы которого являются прямыми. Эту форму описал Джон Непер в своей книге 1614 года Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Описание чудесного правила логарифмов) вместе с правилами, связывающими значения тригонометрических функций пяти частей прямоугольного сферического треугольника (двух углов и трех сторон). Позже его изучил Карл Фридрих Гаусс .

Трехмерные фигуры

Несколько многогранников включают пентаграммы:

• 
  Пентаграмматическая призма
• 
  Пентаграмматическая антипризма
• 
  Пентаграммная скрещенная антипризма
• 
  Малый звездчатый додекаэдр
• 
  Большой звездчатый додекаэдр
• 
  Малый дитригональный икосододекаэдр
• 
  Додекадодекаэдр

Высшие измерения

Ортогональные проекции многогранников более высоких размерностей также могут создавать пентаграммные фигуры:

Все десять 4-мерных 4-многогранников Шлефли–Гесса имеют либо пентаграммные грани, либо элементы вершинных фигур .

Пентаграмма Венеры

Пентаграмма Венеры

Пентаграмма Венеры — это видимый путь планеты Венера , наблюдаемый с Земли . Последовательные нижние соединения Венеры повторяются с орбитальным резонансом примерно 13:8, то есть Венера обращается вокруг Солнца примерно 13 раз за каждые восемь витков Земли, смещаясь на 144 ° при каждом нижнем соединении. ^[44] Концы пяти петель в центре фигуры имеют то же геометрическое соотношение друг с другом, что и пять вершин или точек пентаграммы, и каждая группа из пяти пересечений, равноудаленных от центра фигуры, имеет такое же геометрическое соотношение. отношение.

В компьютерных системах

Пентаграмма имеет следующие кодовые точки Unicode , которые позволяют включать ее в документы:

• U+26E4 ⛤ ПЕНТАГРАММА
• U+26E5 ⛥ ПРАВРУКАЯ ЧЕСРЕСТАВНАЯ ПЕНТАГРАММА
• U + 26E6 ⛦ ЛЕВОРУКАЯ ЧЕСРЕСТАВНАЯ ПЕНТАГРАММА
• U+26E7 ⛧ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ПЕНТАГРАММА

Смотрите также

• Абэ-но Сэймэй  – японский художник.
• Христианский символизм  - использование христианством символов, включая архетипы, действия, произведения искусства или события.
• Знаки отличия командования на море  - значок в вооруженных силах США.
• Эннеаграмма (геометрия)  – многоугольник с девятиконечной звездой.
• Пятиконечная звезда  – распространенная идеограмма в современной культуре.
• Гептаграмма  – Звездный многоугольник
• Гексаграмма  – многоугольник шестиконечной звезды.
• Лютня Пифагора  – Самоподобная геометрическая фигура
• Почетная медаль  - высшая награда Вооруженных сил США.
• Пентахорон – 4- симплексный
• Карта пентаграммы  - Дискретная динамическая система в пространстве модулей многоугольников на проективной плоскости.
• Пентальфа  – головоломка с камнями и пентаграммой.
• Граф Петерсена  - кубический граф с 10 вершинами и 15 ребрами.
• Теорема Птолемея  - связывает 4 стороны и 2 диагонали четырехугольника с вершинами на общей окружности.
• Печать Соломона  - перстень-печатка, приписываемый израильскому царю Соломону.
• Звездные многоугольники в искусстве и культуре  – Многоугольники как символические элементы
• Звезда (геральдика)  – геральдический символ.
• Звездчатые многоугольники  - расширение элементов многогранника для формирования новой фигуры.

Рекомендации

1. Джин Браун (nd). «Разница между пентаграммой и пентаклем». Разница между . Проверено 29 июня 2023 г.
2. πεντάγραμμον, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее; существительная форма прилагательного πεντάγραμμος ( пентаграммос ) или πεντέγραμμος ( пентеграммос ), слово, означающее примерно «пятистрочный» или «пятистрочный».
3. πέντε, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее; Сатана, все три имени, упомянутые до рассвета, полное γραμμή, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
4. это использование подтверждается Оксфордским словарем английского языка, хотя в этой работе указано, что контур имеет форму пятиконечной звезды и ее этимона в постклассическом латинском пентакулуме [...] Пентаграмма, особенно. один заключен в круг; талисман или магический символ в форме пентаграммы или с надписью на ней. Также, в расширенном использовании: любой подобный магический символ (часто применяется к гексаграмме, образованной двумя пересекающимися или переплетенными равносторонними треугольниками)».
5. πένταλφα, «пять Альф», интерпретируя форму как пять фигур Α, перекрывающихся под углом 72 градуса.
6. Бадж, сэр Э.А. Уоллис (1968). Амулеты и талисманы . п. 433.
7. Скотт, Дастин Джон (2006). «История Пентаграммы» . Проверено 18 мая 2021 г.
8. Оллман, Г.Дж., Греческая геометрия от Фалеса до Евклида (1889), стр.26.
9. 馬愛平 (23 сентября 2019 г.). «距今5000年！良渚文物中發現最古老五角星圖案» (на китайском языке). Китай Дейли.
10. Коксетер, HSM; Правильные многогранники , 3-е изд., Дувр, 1973, стр. 114.
11. Болл, WW Роуз и Коксетер, HSM; Математические развлечения и очерки , 13-е изд., Дувр, 1987, стр. 176.
12. «Звезда Давида против Пентаграммы: все, что вам нужно знать» . 17 июля 2020 г.
13. πεντέμυχος, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
14. Это утерянная книга, но ее содержание сохранилось в Damascius , De principiis , цитируемом в Kirk and Raven, (1983) [1956], p. 55.
15. «божественные продукты семени Хроноса , расположенные в пяти углублениях, назывались πεντέμυχος (Пентемихос)» Кирк, Джеффри Стивен; Рэйвен, Джон Эрл; Шофилд, Малькольм (1983) [1957]. Досократические философы: критическая история с подборкой текстов (2-е, иллюстрированное, исправленное, переиздание). Издательство Кембриджского университета. стр. 51–52, 55. ISBN. 978-0-521-27455-5. единственное место у Гомера , где упоминается Ортигия [ sic ], — это «Одиссея V», 123, где Орион , унесенный Эос [рассветом], убит… Артемидой … поскольку солнцестояния обычно наблюдаются в восход солнца летом, и, следовательно, в направлении северо-восток-восток, вот что может означать эта фраза... жилище Эос... Айя ...
16. Оллман, Г.Дж., Греческая геометрия от Фалеса до Евклида , часть I (1877), в Герматене 3.5, стр. 183, 197, со ссылкой на Ямвлиха и Схолиаста об Аристофане. Говорят, что пентаграмма получила свое название от самого Пифагора, написавшего на ее вершинах буквы Υ, Γ, Ι, Θ (= /ei/), Α.
17. Христианские символы древние и современные , Ребенок, Хизер и Дороти Коллес. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера, 1971, ISBN 0-7135-1960-6 . 
18. Морган, Джеральд (1979). «Значение символизма пятиугольника в фильме «Сэр Гавейн и Зеленый рыцарь»«. Обзор современного языка . 74 (4): 769–790. doi : 10.2307/3728227. JSTOR  3728227.
19. Сэр Гавейн и Зеленый рыцарь , строки 619–665.
20. Леви, Элифас (1999) [1896 (перевод), 1854 (впервые опубликовано)]. Трансцендентальная магия, ее учение и ритуал [ Dogme et rituel de la haute magie ]. Пер. А.Э. Уэйта . Йорк-Бич : Вайзер . OCLC  263626874.
21. Леви, Элифас (2002) [1939 (перевод), 1859 (впервые опубликовано)]. Ключ к Тайнам [ la Clef des grands mystères suivant Hénoch, Авраам, Гермес Трисмегист и Саломон ]. Пер. Алистер Кроули . Бостон: Вайзер . п. 69. ОСЛК  49053462.
22. Хартманн, Франц (1895) [1886]. Магия, белое и черное (5-е изд.). Нью-Йорк: Путь. ОКЛК  476635673.
23. «Гете, Иоганн Вольфганг фон (1749–1832) - Фауст, Часть I: Сцены с I по III» . www.poetryintranslation.com . Проверено 25 мая 2021 г.
24. Арнасон, Йон (1862). « Тёфраброгд [Фокус]». Íslenzkar Þjoðsögur og Æfintýri [ Исландские народные сказки и легенды ] (на исландском языке). Том. 1. Лейпциг : Книжный магазин Й. К. Хинриха. п. 432. Смэр það, er verður af tilberaspýunni, er kallað tilberasmèr; er það útlits sem annað smèr; и когда я получил кроссмарк yfir því, eða risti á það kross, ða mynd þá, er smèrhnútur heitir, ^* Springur það alt í smámola og verður eins og draflakyrníngur, svo ekki sèst eptir af því, нема агнир эйнар, эда хаднар нидур сем фрода . Тыкир - это варлегра, если человек - это тело, которое можно найти в борде, и это - гьёлд, и гьора аннахворт этта марк - это, ты тильберасмер хворки кроссмарк не смьерн ут. / * Smerhnútur er svo í lögun: 
25. В средние века сливочное масло использовалось для оплаты, например, арендной платы. См.:
    •  Секстон, Регина (2003). «Роль и функция сливочного масла в рационе монахов и кающихся в раннесредневековой Ирландии». У Уокера, Харлана (ред.). Жир земли: материалы Оксфордского симпозиума по еде и кулинарии, 2002 г. Бристоль: Работа ног. стр. 253–269.
26. Чен, Юань Джулиан (2014). «Дискурс легитимации и теория пяти элементов в императорском Китае». Журнал исследований Сун-Юань . 44 (1): 325–364. дои : 10.1353/sys.2014.0000. S2CID  147099574.
27. Схоутен, Январь (1968). Пентаграмма как медицинский символ: иконологическое исследование. Хес и Де Грааф. п. 18. ISBN 978-90-6004-166-6.
28. Уэйт, Артур Эдвард (1886). Тайны магии: сборник сочинений Элифаса Леви. Лондон: Джордж Редвей. п. 136.
29. Дюкетт, Лон Майло (2003). Магия Алистера Кроули: Справочник по ритуалам Телемы. Книги Вайзера. стр. 93, 247. ISBN. 978-1-57863-299-2.
30. «Справочная библиотека бахаи - Указания Guardian, страницы 51-52». ссылка.bahai.org .
31. "Девятиконечная звезда". bahai-library.com .
32. Муджан Момен (2019). Звездная Скрижаль Баба. Блог Британской библиотеки.
33. Баят, Мохамад Гасем (2001). Введение в Суратуль-Хайкал (Храмовую речь) в «Огнях Ирфана», книга 2.
34. См. Храм в Наву. Архивировано 17 мая 2020 года на веб-сайте Wayback Machine , где обсуждается его архитектура, в частности страница с внешней символикой храма в Наву. Архивировано 17 мая 2020 года на Wayback Machine . Проверено 16 декабря 2006 г.
35. Браун, Мэтью Б. (2002). «Перевернутые звезды на храмах СПД» (PDF) . FAIRLDS.org . Архивировано из оригинала (PDF) 29 февраля 2008 года.
36. «Религиозная одежда в школе», Робинсон, бакалавр наук, консультанты Онтарио по религиозной толерантности, 20 августа 1999 г., обновлено 29 апреля 2005 г. Проверено 10 февраля 2006 г. «ACLU защищает честь студента-пентакля ведьмы» (пресс-релиз). Американский союз гражданских свобод штата Мичиган. 10 февраля 1999 года. Архивировано из оригинала 8 ноября 2003 года . Проверено 10 февраля 2006 г.{{cite press release}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)«Ведьмы и шкафы: мальчик говорит, что его отстранили от школы за ношение магического символа» Рувалис, Кристина; Pittsburgh Post-Gazette, 27 сентября 2000 г. Проверено 10 февраля 2006 г.
37. «Федеральный судья поддерживает право студентов Индианы носить викканские символы» . Ассошиэйтед Пресс. 1 мая 2000 г. Архивировано из оригинала 30 марта 2014 г. Проверено 21 сентября 2007 г.
38. "Викканский символ подходит для солдатских могил" . CNN.com . Ассошиэйтед Пресс. 23 апреля 2007 г. Архивировано из оригинала 26 апреля 2007 г.
39. «Похороны и мемориалы: доступные символы веры для размещения на правительственных надгробиях и маркерах» . Департамент США по делам ветеранов . 3 июля 2013 года . Проверено 13 января 2014 г.
40. Гравранд 1990, с. 20.
41. Мадия, Клементина Фаик-Нзуджи (1996). Отслеживание памяти: глоссарий графических знаков и символов в африканском искусстве и культуре . Серия Меркурий, нет. 71. Халл, Квебек: Канадский музей цивилизации. стр. 27, 155. ISBN. 0-660-15965-1.
42. Ритуал Ордена Восточной Звезды, 1976 г.
43. Пьетрокола, Джорджио (2005). «Тартапелаг. Обнаружение фракталов». Маэкла .
44. Баэз, Джон (4 января 2014 г.). «Пентаграмма Венеры». Азимут . Архивировано из оригинала 14 декабря 2015 года . Проверено 7 января 2016 г.

Библиография

• Беккер, Удо (1994). "Пентаграмма". Энциклопедия символов континуума . Перевод Гармера, Лэнса В. Нью-Йорк: Continuum Books. п. 230. ИСБН 978-0-8264-0644-6.
• Конвей, Джон Хортон ; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (апрель 2008 г.). «Глава 26, Еще выше: Правильные звездные многогранники». Симметрии вещей . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. п. 404. ИСБН 978-1-56881-220-5.
• Фергюсон, Джордж Уэллс (1966) [1954]. Знаки и символы в христианском искусстве . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 59. ОСЛК  65081051.
• Гравранд, Генри (январь 1990 г.). Серир цивилизации, Том II: Пангул . Nouvelles éditions Africaines du Sénégal (на французском языке). Дакар, Сенегал. ISBN 2-7236-1055-1.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри Колин (1987). Плитки и узоры. Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
• Грюнбаум, Бранко (1994). «Многогранники с полыми гранями». В Бистрички, Т.; МакМаллен, П .; Шнайдер, А.; Вайс, А. Ивич (ред.). Многогранники: абстрактные, выпуклые и вычислительные . НАТО ASI Series C: Математические и физические науки. Том. 440. Дордрехт: Springer Нидерланды. стр. 43–70. дои : 10.1007/978-94-011-0924-6_3. ISBN 978-94-010-4398-4.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентаграмма». Математический мир .
• Пентакль Пифагора из Biblioteca Arcana.