В математической области теории графов граф Петерсена представляет собой неориентированный граф с 10 вершинами и 15 ребрами . Это небольшой граф, который служит полезным примером и контрпримером для многих задач теории графов. Граф Петерсена назван в честь Юлиуса Петерсена , который в 1898 году сконструировал его как наименьший кубический граф без мостов и без трехрёберной раскраски. [1] [2]
Хотя этот график обычно приписывают Петерсену, на самом деле он впервые появился 12 лет назад в статье А. Б. Кемпе (1886). Кемпе заметил, что ее вершины могут представлять десять линий конфигурации Дезарга , а ее ребра представляют собой пары прямых, не пересекающихся ни в одной из десяти точек конфигурации. [3]
Дональд Кнут утверждает, что граф Петерсена представляет собой «замечательную конфигурацию, которая служит контрпримером многим оптимистическим предсказаниям о том, что может быть верно для графов в целом». [4]
Граф Петерсена также появляется в тропической геометрии . Конус над графом Петерсена естественным образом отождествляется с пространством модулей пятиточечных рациональных тропических кривых.
График Петерсена является дополнением линейного графика . Это также граф Кнезера ; это означает, что он имеет одну вершину для каждого 2-элементного подмножества 5-элементного множества, а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие 2-элементные подмножества не пересекаются друг с другом. Как граф Кнезера формы это пример нечетного графа .
Геометрически граф Петерсена представляет собой граф, образованный вершинами и ребрами полудодекаэдра , то есть додекаэдра с противоположными точками, линиями и гранями, отождествленными вместе.
Граф Петерсена непланарен . Любой непланарный граф имеет минорами либо полный граф , либо полный двудольный граф , но граф Петерсена имеет оба минора. Минор можно сформировать, сжимая края идеального совпадения , например пять коротких краев на первом рисунке. Минор может быть сформирован путем удаления одной вершины (например, центральной вершины 3-симметричного рисунка) и стягивания ребра, инцидентного каждому соседу удаленной вершины.
Самый распространенный и симметричный плоский рисунок графа Петерсена в виде пентаграммы внутри пятиугольника имеет пять пересечений. Однако это не лучший рисунок для минимизации пересечений; существует еще один рисунок (показанный на рисунке) только с двумя пересечениями. Поскольку он неплоский, он имеет по крайней мере одно пересечение на любом рисунке, и если пересекающее ребро удалено из любого рисунка, оно остается неплоским и имеет еще одно пересечение; следовательно, его число пересечений равно 2. Каждое ребро на этом рисунке пересекается не более одного раза, поэтому граф Петерсена является 1-планарным . На торе граф Петерсена можно нарисовать без пересечений ребер; поэтому он имеет ориентируемый род 1.
Граф Петерсена также можно нарисовать (с пересечениями) на плоскости так, чтобы все ребра имели одинаковую длину. То есть это граф единичных расстояний .
Простейшей неориентируемой поверхностью , на которую без пересечений можно вложить граф Петерсена, является проективная плоскость . Это вложение, задаваемое полудодекаэдрической конструкцией графа Петерсена (показано на рисунке). Вложение проективной плоскости также можно сформировать из стандартного пятиугольного рисунка графа Петерсена, поместив перемычку внутри пятиконечной звезды в центре рисунка и проведя края звезды через эту перемычку; полученный рисунок имеет шесть пятиугольных граней. Эта конструкция образует регулярное отображение и показывает, что граф Петерсена имеет неориентируемый род 1.
Граф Петерсена сильно регулярен (с сигнатурой srg(10,3,0,1)). Он также симметричен , что означает, что он транзитивен по ребрам и вершинам . В более строгом смысле, он транзитивен по 3 дугам: каждый направленный трехреберный путь в графе Петерсена может быть преобразован в любой другой такой путь за счет симметрии графа. [5] Это один из 13 кубических дистанционно регулярных графов . [6]
Группа автоморфизмов графа Петерсена является симметрической группой ; действие на граф Петерсена следует из его построения в виде графа Кнезера . Граф Петерсена является ядром : каждый гомоморфизм графа Петерсена самому себе является автоморфизмом. [7] Как показано на рисунках, рисунки графа Петерсена могут демонстрировать пятистороннюю или трехстороннюю симметрию, но невозможно нарисовать граф Петерсена на плоскости таким образом, чтобы рисунок демонстрировал полную симметрию. группа графика.
Несмотря на высокую степень симметрии, граф Петерсена не является графом Кэли . Это наименьший вершинно-транзитивный граф, не являющийся графом Кэли. [а]
Граф Петерсена имеет гамильтонов путь , но не имеет гамильтонова цикла . Это наименьший кубический граф без мостов без гамильтонова цикла. Он гипогамильтонов , что означает, что, хотя он не имеет гамильтонова цикла, удаление любой вершины делает его гамильтоновым и является наименьшим гипогамильтоновым графом.
Как конечный связный вершинно-транзитивный граф, не имеющий гамильтонова цикла, граф Петерсена является контрпримером к варианту гипотезы Ловаса , но каноническая формулировка гипотезы требует гамильтонова пути и подтверждается графом Петерсена.
Известны только пять связных вершинно-транзитивных графов без гамильтоновых циклов: полный граф K 2 , граф Петерсена, граф Кокстера и два графа, полученные из графов Петерсена и Кокстера заменой каждой вершины треугольником. [6] Если G — 2-связный, r -регулярный граф с не более чем 3 r + 1 вершинами, то G — гамильтонов или G — граф Петерсена. [8]
Чтобы убедиться в отсутствии гамильтонова цикла C в графе Петерсена , рассмотрим ребра разреза, отделяющие внутренний 5-цикл от внешнего. Если существует гамильтонов цикл, необходимо выбрать четное число этих ребер. Если выбраны только два из них, их конечные вершины должны быть смежными в двух 5-циклах, что невозможно. Поэтому выбрано 4 из них. Предположим, что верхняя грань разреза не выбрана (все остальные случаи одинаковы по симметрии). Из 5 ребер внешнего цикла необходимо выбрать два верхних ребра, не выбирать два боковых ребра и, следовательно, необходимо выбрать нижнее ребро. Должны быть выбраны два верхних ребра внутреннего цикла, но это завершает неохватывающий цикл, который не может быть частью гамильтонова цикла. В качестве альтернативы мы также можем описать десятивершинные 3-регулярные графы , которые имеют гамильтонов цикл, и показать, что ни один из них не является графом Петерсена, найдя в каждом из них цикл, который короче любого цикла в графе Петерсена. Любой десятивершинный гамильтонов 3-регулярный граф состоит из десятивершинного цикла C плюс пять хорд. Если какая-либо хорда соединяет две вершины, находящиеся на расстоянии два или три вдоль C друг от друга, граф имеет 3-цикл или 4-цикл и, следовательно, не может быть графом Петерсена. Если две хорды соединяют противоположные вершины C с вершинами на расстоянии четыре вдоль C , снова возникает 4-цикл. Единственный оставшийся случай — это лестница Мёбиуса , образованная соединением каждой пары противоположных вершин хордой, которая снова имеет 4-период. Поскольку граф Петерсена имеет обхват пять, он не может быть сформирован таким образом и не имеет гамильтонова цикла.
Граф Петерсена имеет хроматическое число 3, что означает, что его вершины можно раскрасить в три цвета, но не в два, так что ни одно ребро не соединяет вершины одного цвета. Он имеет раскраску списка в 3 цвета по теореме Брукса для раскраски списков.
Граф Петерсена имеет хроматический индекс 4; для окраски краев требуется четыре цвета. Как связный кубический граф без мостов с хроматическим индексом четыре, граф Петерсена представляет собой снарк . Это наименьший возможный снарк, и он был единственным известным снарком с 1898 по 1946 год. Теорема о снаркке , результат, выдвинутый У.Т. Туттом и объявленный в 2001 году Робертсоном, Сандерсом, Сеймуром и Томасом, [9] утверждает, что каждый снарк имеет граф Петерсена как минор .
Кроме того, граф имеет дробный хроматический индекс 3, что доказывает, что разница между хроматическим индексом и дробным хроматическим индексом может достигать 1. Давняя гипотеза Голдберга-Сеймура предполагает, что это самый большой возможный разрыв.
Число Туэ ( вариант хроматического индекса) графа Петерсена равно 5.
Граф Петерсена требует как минимум трех цветов в любой (возможно, неправильной) раскраске, которая нарушает всю его симметрию; то есть его отличительное число равно трем. За исключением полных графов, это единственный граф Кнезера, отличительное число которого не равно двум. [10]
График Петерсена:
Эйлеровым подграфом графа называется подграф, состоящий из подмножества ребер графа , касающихся каждой вершины четное число раз. Эти подграфы являются элементами пространства циклов и иногда называются циклами. Если и являются любыми двумя графами, функция от ребер до ребер определяется как циклически непрерывная, если прообраз каждого цикла является циклом . Гипотеза Йегера утверждает, что каждый граф без мостов имеет циклически непрерывное отображение в граф Петерсена. Джегер показал, что из этой гипотезы следует гипотеза 5- циклов о двойном накрытии и гипотеза Берджа-Фалкерсона». [17]
Обобщенный граф Петерсена формируется путем соединения вершин правильного n -угольника с соответствующими вершинами звездчатого многоугольника с символом Шлефли { n / k }. [18] [19] Например, в этих обозначениях граф Петерсена таков : его можно сформировать путем соединения соответствующих вершин пятиугольника и пятиконечной звезды, а ребра звезды соединяют каждую вторую вершину. К обобщенным графам Петерсена относятся также n -призма , граф Дюрера , граф Мёбиуса-Кантора , додекаэдр , граф Дезарга и граф Науру .
Семейство Петерсена состоит из семи графов, которые могут быть сформированы из графа Петерсена с помощью нуля или более применений преобразований Δ-Y или Y-Δ . Полный граф K6 также принадлежит семейству Петерсена. Эти графы образуют запрещенные миноры для встраиваемых без связей графов , графов, которые можно встроить в трехмерное пространство таким образом, что никакие два цикла в графе не будут связаны между собой . [20]
Граф Клебша содержит множество копий графа Петерсена в виде индуцированных подграфов : для каждой вершины v графа Клебша десять несоседей v индуцируют копию графа Петерсена.