Контрпримером является любое исключение из обобщения . В логике контрпример опровергает обобщение и делает это строго в области математики и философии . [1] Например, тот факт, что «студент Джон Смит не ленив», является контрпримером к обобщению «студенты ленивы», а также контрпримером и опровержением универсального количественного определения «все студенты ленивы». [2]
В математике термин «контрпример» также используется (с небольшим злоупотреблением) для обозначения примеров, иллюстрирующих необходимость полной гипотезы теоремы. Чаще всего это делается путем рассмотрения случая, когда часть гипотезы не удовлетворяется и заключение теоремы не выполняется. [ нужна цитата ]
В математике контрпримеры часто используются для доказательства границ возможных теорем. Используя контрпримеры, чтобы показать, что определенные гипотезы ложны, исследователи-математики могут избежать тупиков и научиться модифицировать гипотезы для получения доказуемых теорем. Иногда говорят, что развитие математики заключается прежде всего в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров. [3]
Предположим, что математик изучает геометрию и формы и хочет доказать о них определенные теоремы. Она предполагает , что «все прямоугольники являются квадратами », и ей интересно узнать, истинно это утверждение или ложно.
В этом случае она может либо попытаться доказать истинность утверждения, используя дедуктивные рассуждения , либо попытаться найти контрпример утверждения, если подозревает, что оно ложно. В последнем случае контрпримером будет прямоугольник, который не является квадратом, например, прямоугольник с двумя сторонами длиной 5 и двумя сторонами длиной 7. Однако, несмотря на то, что она нашла прямоугольники, которые не были квадратами, все прямоугольники, которые она нашла, находка имела четыре стороны. Затем она выдвигает новую гипотезу: «Все прямоугольники имеют четыре стороны». Это логически слабее, чем ее первоначальная гипотеза, поскольку каждый квадрат имеет четыре стороны, но не каждая четырехсторонняя фигура является квадратом.
Приведенный выше пример объяснил — в упрощенной форме — как математик может ослабить свою гипотезу перед лицом контрпримеров, но контрпримеры также могут быть использованы для демонстрации необходимости определенных предположений и гипотез . Например, предположим, что через некоторое время приведенный выше математик остановился на новой гипотезе: «Все фигуры, которые являются прямоугольниками и имеют четыре стороны одинаковой длины, являются квадратами». Эта гипотеза состоит из двух частей: форма должна быть «прямоугольником» и иметь «четыре стороны одинаковой длины». Тогда математик хотел бы знать, сможет ли он устранить любое из предположений и при этом сохранить истинность своей гипотезы. Это означает, что ей необходимо проверить истинность следующих двух утверждений:
Контрпример к (1) уже был приведен выше, а контрпример к (2) — неквадратный ромб . Таким образом, математик теперь знает, что оба предположения действительно были необходимы.
Контрпримером к утверждению «все простые числа — нечетные числа » является число 2, поскольку оно является простым числом, но не нечетным. [1] Ни одно из чисел 7 или 10 не является контрпримером, поскольку ни одно из них не противоречит утверждению. В этом примере 2 фактически является единственным возможным контрпримером к утверждению, хотя одного этого достаточно, чтобы противоречить утверждению. Аналогичным образом, утверждение «Все натуральные числа либо простые , либо составные » имеет число 1 в качестве контрпримера, поскольку 1 не является ни простым, ни составным.
Гипотеза Эйлера о сумме степеней была опровергнута контрпримером. Он утверждал, что по крайней мере n n- й степени необходимо для суммирования еще одной n- й степени. Эта гипотеза была опровергнута в 1966 г. [4] контрпримером, включающим n = 5; теперь известны другие n = 5 контрпримеров, а также некоторые n = 4 контрпримера. [5]
Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда верно (для задач управления ), что квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния предполагают линейные законы оптимального управления.
Другие примеры включают опровержения гипотезы Зейферта , гипотезы Полиа , гипотезы четырнадцатой проблемы Гильберта , гипотезы Тейта и гипотезы Ганеа .
В философии контрпримеры обычно используются, чтобы доказать, что определенная философская позиция ошибочна, показывая, что она неприменима в определенных случаях. Альтернативно, первый философ может изменить свое утверждение так, чтобы контрпример больше не применялся; это аналогично тому, как математик изменяет гипотезу из-за контрпримера.
Например, в «Горгии » Платона Калликл , пытаясь определить, что значит сказать, что некоторые люди «лучше», чем другие, утверждает, что те, кто сильнее, лучше.
Но Сократ отвечает, что из-за своей численности класс простого сброда сильнее класса имущих дворян, хотя массы на первый взгляд имеют худший характер. Таким образом, Сократ предложил контрпример утверждению Калликла, заглянув в область, которую Калликл, возможно, не ожидал, — группы людей, а не отдельные личности.
Калликл мог бы оспорить контрпример Сократа, утверждая, возможно, что простой чернь действительно лучше знати или что даже в своей большой численности они все же не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отказаться от своего утверждения, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не применялся. Например, он мог бы изменить свое утверждение, чтобы оно относилось только к отдельным людям, потребовав от него думать о простых людях как о совокупности людей, а не как о толпе.
Так случилось, что он изменил свое утверждение, сказав «мудрее» вместо «сильнее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.
Цитаты, связанные с контрпримером, в Wikiquote